1、考点 直线与圆、圆与圆的位置关系 (2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(- 2,-1),则m= ,r= .,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,答案 -2;,解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考 查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养. 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC= =- ,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|= = .,一题多解 由题知点C到直线的距离为 , r=|AC|= . 由直线与圆C相切得 = ,解得m=-2, r
2、= = .,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2018课标全国理,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则 ABP面积的取值范围是 ( ) A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 ,答案 A 本题考查直线与圆的位置关系. 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r= ,ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为 d,则有S= |AB|d.易知|AB|=2 ,dmax= + =3 ,dmin= - = ,所以2S6, 故选A.,方法总结 与圆有关的最值问题的解题方法: (
3、1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.形如u= 的最值问题,可转化为 过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截 距的最值问题;形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,2.(2016课标全国,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( ) A.- B.- C. D.2,答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),
4、圆心到直线ax+y-1=0的距离为 =1,解得a=- .故选A.,3.(2015课标,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ( ) A.2 B.8 C.4 D.10,答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1, -2),|PA|= =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22 ,则|MN|=|(-2+ 2 )-(-2-2 )|=4 .,4.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y
5、2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作 圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.2,答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知 直线l过点C,所以2+a1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= = = 6.故选C.,5.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线 所在直线的斜率为 ( ) A.- 或- B.- 或- C.- 或- D.- 或-,答案 D
6、由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2), 即kx-y-2k-3=0. 反射光线所在直线与圆相切, =1,解得k=- 或k=- .,评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.,6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且 M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4),答案 D 当直线AB的斜率不存在,且00和kAB4(y00),即r2. 另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y
7、0-y1), 点B,A在抛物线上,(2y0-y1)2=4(6-x1),=4x1, 由得 -2y0y1+2 -12=0, =4 -4(2 -12)0, 12. r2=(3-5)2+ =4+ 16,r4. 综上,r(2,4),故选D.,7.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 =0,则点A的横坐标为 .,答案 3,解析 本题考查直线与圆的位置关系. 设A(a,2a),a0,则C , 圆C的方程为 +(y-a)2= +a2, 由 得 =(5-a,-2a) = +2a2-4a=0,a=3
8、或a=-1,又a0,a=3,点A的横 坐标为3.,一题多解 由题意易得BAD=45. 设直线DB的倾斜角为,则tan =- , tanABO=-tan(-45)=3,kAB=-tanABO=-3. AB的方程为y=-3(x-5), 由 得xA=3.,8.(2016课标全国,16,5分)已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l 的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|= .,答案 4,解析 由题意可知直线l过定点(-3, ),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3, ),由于|AB|=2 ,r=2 ,所以圆心到直线AB的距离为
9、d= =3,又由点到直线的距离公式可得d= =3,解得m=- ,所以直线l的斜率k=-m= ,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CH BD,垂足为H,所以|CH|=2 ,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|= =4.,解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.,9.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相 切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .,答案 (x-1)2+y2=2,解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由mR知该直线过定点(2,-1),
10、从而点(1,0)与直线mx-y-2 m-1=0的距离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,10.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上 有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要 求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均 圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为 AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由
11、; (3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.,解析 本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数 学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解法一: (1)过A作AEBD,垂足为E. 由已知条件得,四边形ACDE为矩形, DE=BE=AC=6,AE=CD=8. 因为PBAB,所以cosPBD=sinABE= = . 所以PB= = =15. 因此道路PB的长为15(百米).,(2)不能,理由如下: 若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,
12、所以 P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知AD= =10, 从而cosBAD= = 0,所以BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.,综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求; 当OBP90时,对线段PB上任意一点F,OFOB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于 圆O的半径,点P符合规划要求.,设P1为l上一点,且P1BAB,由(1)知,P1B=15, 此时P1D=P1BsinP1BD=P1BcosEBA=15 =9
13、; 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ= = =3 . 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=3 时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+ CQ=17+3 .,因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米. 解法二: (1)如图,过O作OHl,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9
14、,点A,B的纵坐标分别为3,-3.,因为AB为圆O的直径,AB=10, 所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为 . 因为PBAB,所以直线PB的斜率为- , 直线PB的方程为y=- x- . 所以P(-13,9),PB= =15. 因此道路PB的长为15(百米).,(2)若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3), 所以线段AD:y=- x+6(-4x4). 在线段AD上取点M , 因为OM= =5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于
15、圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求. 综上,P和Q均不能选在D处.,(3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由 AQ= =15(a4),得a=4+3 , 所以Q(4+3 ,9). 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.,综上,当P(-13,9),Q(4+3 ,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3 -(-13)=17+3 . 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米.
16、,11.(2017课标全国文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的 坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,解析 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为 =- ,所以不能出现ACBC的情况. (2)BC的中点坐标为 ,可得BC的中垂线方程为y- =x2 . 由(1)可得x1+x2=-m,所以A
17、B的中垂线方程为x=- . 联立,又 +mx2-2=0,可得 所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 , 半径r= .,故圆在y轴上截得的弦长为2 =3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,12.(2015课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.,解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点,所以 1. 解得 k . 所以k的取值范围为 . (5分) (2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1
18、代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . (7分), =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = +8. 由题设可得 +8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2. (12分),考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,教师专用题组,1.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=
19、0 D.2x-y+ =0或2x-y- =0,答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c1),结合题意可得 = ,解得c=5.故选A.,2.(2018课标全国文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .,答案 2,解析 将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2, 圆心到直线x-y+1=0的距离d= = , |AB|=2 =2 =2 .,方法归纳 求解圆的弦长的常用方法: (1)几何法:l=2 (其中l为圆的弦长,r为圆的半径,d为弦心距); (2)代数法
20、:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|= |x1-x2|= 或|AB|= |y1-y2|= (k0)求解.,3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若 20,则点P的横坐标的取值范围是 .,答案 -5 ,1,解析 本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆的相交. 解法一:设P(x,y),则由 20可得, (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20, 即(x+6)2+(y-3)265, 所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点. 又点P在圆x2+y2=50上,
21、联立得 解得 或,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图), 易知-5 x1.,解法二:设P(x,y),则由 20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即x2+12x+y2-6y20, 由于点P在圆x2+y2=50上, 故12x-6y+300,即2x-y+50, 点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+50的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图), 同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5), 易知-5 x1.,4.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且| AB|=2. (1
22、)圆C的 方程为 ; (2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论: = ; - =2; + =2 . 其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号),答案 (1)(x-1)2+(y- )2=2 (2),解析 (1)设圆心C(a,b),半径为r,圆C与x轴相切于点T(1,0),a=1,r=|b|, 又圆C与y轴正半轴交于两点, b0,则b=r. |AB|=2,2=2 ,r= , 故圆C的标准方程为(x-1)2+(y- )2=2. (2)设N(x,y),而A(0, -1),B(0, +1), 则 = = , 又x2+y2=1, = = =( +1)2, = +
23、1,同理, = +1. = ,且 - = +1- =2, + = +1+ = +1+ -1=2 ,故正确结论的序号是.,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2019浙江诸暨高三上期末,5)直线ax+y=0(a0)与圆x2+y2+2ax+2y=0的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交不过圆心,答案 B 圆的方程可化为(x+a)2+(y+1)2=a2+1,则半径r= ,圆心O(-a,-1),故圆心到直线ax+ y=0的距离d= =r,故直线与圆相切,故选B.,2.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),6)直线ax+y-2=0
24、与圆x2+y2=b总有2个不同的交点,则b 的取值范围是 ( ) A.(2,+) B.(4,+) C.(0,+) D.( ,+),答案 B 直线ax+y-2=0过定点(0,2),要使直线与圆总有2个不同的交点,定点(0,2)必须在圆内, 从而02+224.故选B.,3.(2017浙江名校协作体期初,6)直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则ECF的面 积为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 B 圆心(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离d= = ,所以|EF|=2 =4, 因此SECF= 4 =2 ,故选B.,4.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟
25、(一),5)直线 x+y-2 =0截圆x2+y2=4所得的劣弧所对的 圆心角的大小为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 易得圆心到该直线的距离为 ,如图,OAB为等腰三角形,且OA=OB=2,OC= ,所 以cosBOC= = ,所以BOC= ,从而AOB=2BOC= .故选C.,5.(2019浙江嵊州高三上期末,16)已知M(x0,y0)是椭圆 +y2=1上的一点,直线y=k1x与直线y=k2x为 圆M: + =r2(br0)的两条切线,若k1k2=- ,则r= .,答案,解析 因为直线y=k1x与直线y=k2x为圆M: + =r2(br0)的两条切线, 所以有 =r,可知k1,k2
26、是方程(r2- )k2+2x0y0k+r2- =0的两个不相等的实数根,所以k1k2= =- , 因为点M(x0,y0)在椭圆C上,所以 =1- ,所以 =- ,解得r= .,6.(2019浙江名校协作体联考(2月),16)若P(x0,y0)是抛物线C1:y2=4x上的点,过点P作射线PAB,交 圆C2:(x+4)2+y2=1于A,B两点,且|PA|=2|AB|,则x0的取值范围是 .,答案 0,3 -6,解析 连接C2P,由题意可得|PA|PB|=|C2P2|-1=6|AB|224,因此|C2P|5, 则 + 25,又 =4x0,因此 +12x09,解得x03 -6,且x00,因此x0的取值
27、范围是0,3 -6.,解后反思 本题主要考查直线与圆的位置关系,关键是通过切割线定理将已知的数量关系转 化为|C2P|5.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:25分钟 分值:41分 一、选择题(每小题4分,共8分),1.(2018浙江诸暨高三上学期期末,6)如图,已知点P是抛物线C:y2=4x上一点,以P为圆心,r为半径 的圆与抛物线的准线相切,且与x轴的两个交点的横坐标之积为5,则此圆的半径r为 ( ) A.2 B.5 C.4 D.4,答案 D 设P(4t2,4t),则r=4t2+1. 由题可知5=(4t2- )(4t2+ ), 即5=(r-1)2-r2-4(r-1),解得
28、r=4,故选D.,2.(2019浙江高考模拟试卷(二),9)如图,已知F1,F2为椭圆 + =1(ab0)的两个焦点,P为椭圆 上一点,过F2作直线PF1的垂线交椭圆于P,Q两点,设椭圆的离心率为e,若圆x2+y2=1与直线PF1相 切,且|QF1|=6,则e2等于 ( ) A. B. C.5-2 D.,答案 D 设切点为M,连接OM,由题意得OM=1,OMPF2,O为F1F2的中点,|PF2|=2,|PF1|=2 a-2,又|QF1|=6,|QF1|+|QF2|=2a,|QF2|=2a-6,|PQ|=2a-4,在PF1F2中,由勾股定理得(2a-2)2+22= 4c2, 在PF1Q中,由勾股
29、定理得(2a-2)2+(2a-4)2=62, 由得a= a2= ,c2= . e2= .故选D.,3.(2018浙江镇海中学阶段性测试,16)圆心在抛物线y2=2x(y0)上,经过点(2,0)且面积最小的圆 为C,直线y=kx+2与C相交于A,B两点,当弦长|AB|取得最小值时,k= .,二、填空题(共18分),答案,解析 设C ,则半径r= = .要使圆面积最小,则y2=2,又y0,所以 y= ,所以圆心C的坐标为(1, ),半径r= .直线y=kx+2恒过点D(0,2),当直线垂直于CD时,有 最短弦长,而kCD= -2,故k=- = .,4.(2018浙江高考模拟卷一,15)已知直线 a
30、x+by=1(其中a,b为非零实数)与圆x2+y2=1相交于A, B两点,O为坐标原点,且AOB为直角三角形,则 + 的最小值为 .,答案 4,解析 AOB为直角三角形,圆心到直线的距离为 ,即 = ,2a2+b2=2, + = = (4+4)=4,当且仅当2a2=b2时等号成立,即 + 的 最小值为4.,5.(2018浙江高考模拟卷,14)已知曲线C:(mx-y-m)(x+my-1)=0,则曲线C过定点 ;若x,y满 足x2+y24,则曲线C长度的取值范围是 .,答案 (1,0);4+2 ,2 ,解析 显然,曲线C表示过定点(1,0)的两条互相垂直的直线.如图: 则满足x2+y24的曲线C的
31、长度为线段MN的长度和线段PQ的长度的和.作OEPQ,OFMN, 设|OE|=d1,|OF|=d2,其中d1,d20,1,且 + =1. 则|MN|+|PQ|=2( + ). |MN|+|PQ|=2( + )=2( + ), |MN|+|PQ|=2 =2 ,d10,1,12- + +12 +12= ,而 =2+ , = . 4+2 |MN|+|PQ|2 .,6.(2019浙江高考信息优化卷(二),17)在平面直角坐标系xOy内,定点N(0,1),点P在圆C:(x-2)2+y2= 12上运动,则 |PO|-|PN|的最大值是 .,答案,解析 由对称性设M(m,0),P(x,y),由|PM|= |
32、PO|得点P轨迹方程是 +y2= m2,得m=-4,则 |PO|-|PN|=|PM|-|PN|MN|= .,7.(2019浙江台州高三上期末,21)设点P为抛物线:y2=x外一点,过点P作抛物线的两条切线PA, PB,切点分别为A,B. (1)若点P的坐标为(-1,0),求直线AB的方程; (2)若点P为圆(x+2)2+y2=1上的点,记两条切线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求 的取值范围.,三、解答题(共15分),解析 (1)设直线PA的方程为x=m1y-1(m10),直线PB的方程为x=m2y-1(m20). 由 可得y2-m1y+1=0. (3分) 因为直线PA与抛物线相切,所以=
33、-4=0,不妨取m1=2,则yA=1,xA=1. (5分) 即A(1,1),同理可得B(1,-1),所以直线AB的方程为x=1. (7分) (2)设P(x0,y0),则直线PA的方程为y=k1x-k1x0+y0, 直线PB的方程为y=k2x-k2x0+y0. 由 可得k1y2-y-k1x0+y0=0. (9分) 因为直线PA与抛物线相切, 所以=1-4k1(-k1x0+y0)=4x0 -4y0k1+1=0. (10分) 同理可得4x0 -4y0k2+1=0,所以k1,k2是方程4x0k2-4y0k+1=0的两根.所以k1+k2= ,k1k2= . (12 分) 则|k1-k2|= = .,又因
34、为 + =1,所以-3x0-1, (13分) 所以 = =4 =4 =4 , 易得 的取值范围为4,2 . (15分),解题思维 (1)设直线PA的方程与抛物线方程联立=0求出切点A的坐标同理得出切 点B的坐标直线AB的方程; (2)设点P的坐标为(x0,y0)PA的点斜式方程与抛物线方程的联立=0构造直线PA与直线 PB的斜率k1和k2的同构式由根与系数的关系得出k1和k2的关系将根与系数的关系式代入 目标式化简成关于x0,y0的式子代入圆的方程消去y0转化为求解关于x0的二次函数的值域 问题.,疑难突破 本题中的PA,PB两直线“地位相同”,都是圆上一点向抛物线引的两条切线,所以 其代数表达式属于“同构式”,我们可以借助这一结构得到k1,k2的一个“同构”二次方程,利 用根与系数的关系得到两者满足的关系式.,
