1、五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,1.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相 切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .,答案 (x-1)2+y2=2,解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由mR知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2 m-1=0的距离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60= 0及其上一点A(2,4). (1)设圆N
2、与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得 + = ,求实数t的取值范围.,解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圆心为M(6,7),半径为5. (1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0y07, 于是圆N的半径为y0, 从而7-y0=5+y0,解得y0=1. 因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为 =
3、2. 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M到直线l的距离 d= = . 因为BC=OA= =2 ,而MC2=d2+ , 所以25= +5,解得m=5或m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)解法一: + = ,即 = - = ,即| |=| |, 因为| |= ,又0| |10, 所以0 10,解得t2-2 ,2+2 . 对于任意t2-2 ,2+2 ,欲使 = ,此时0| |10,只需要作直线TA的平行线,使圆心 到直线的距离为 ,必然与圆交于P,Q两点,此时| |=| |,即 = , 因此对于任意t2-2 ,2+2 ,均满足题意.
4、故t2-2 ,2+2 . 解法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2). 因为A(2,4),T(t,0), + = , 所以 因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. 将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5 5+5, 解得2-2 t2+2 . 因此,实数t的取值范围是2-2 ,2+2 .,解后反思 1.根据已知条件求圆的方程,一般地,可采用两种不同的方法:一是待定系数法,即先 根
5、据条件用圆的标准式或一般式设出方程,再根据条件来确定参数的值;二是通过几何图形的 性质来确定圆心的位置或坐标及半径,进而求得圆的方程.,2.已知直线与圆相交来确定弦长的问题,通常要利用圆心到直线的距离d,圆的半径r以及弦长l 之间的关系l=2 来进行求解.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点一 直线方程,1.(2018北京理改编,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos ,sin )到直线x-my-2=0的距离. 当,m变化时,d的最大值为 .,答案 3,解析 解法一:由点到直线的距离公式得d= , cos -msin = , 令sin = ,cos = , cos -msin
6、= sin(-), d = =1+ , 当m=0时,dmax=3. 解法二:cos2+sin2=1,P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜 率不为0的直线, 如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.,名师点睛 解法一:利用点到直线的距离公式求最值. 解法二:首先得出P点的轨迹是单位圆,x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,然后利用数 形结合思想轻松得到答案.,2.(2016四川改编,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l 2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,
7、则PAB的面积的取值范围是 .,答案 (0,1),解析 设l1是y=-ln x(01)的切线,切点P2(x2,y2), l1:y-y1=- (x-x1), l2:y-y2= (x-x2), -得xP= , 易知A(0,y1+1),B(0,y2-1), l1l2,- =-1, x1x2=1, SPAB= |AB|xP|= |y1-y2+2| = = ,= = = , 又01,x1x2=1, x1+x22 =2, 0SPAB1.,3.(2015课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y= 与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两 点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方
8、程; (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.,解析 (1)由题设可得M(2 ,a),N(-2 ,a)或M(-2 ,a),N(2 ,a). 又y= ,故y= 在x=2 处的导数值为 ,C在点(2 ,a)处的切线方程为y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0. y= 在x=-2 处的导数值为- ,C在点(-2 ,a)处的切线方程为y-a=- (x+2 ),即 x+y+ a=0. 故所求切线方程为 x-y-a=0和 x+y+a=0. (5分) (2)存在符合题意的点,证明如下: 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率
9、分别为k1,k2. 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而k1+k2= + = = . 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P (0,-a)符合题意. (12分),疑难突破 要使OPM=OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.,考点二 圆的方程,1.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .,答案 x2+y2-2x=0,解析 本题主要考查圆的方程. 解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶
10、点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半 径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由已知条件可得 解得 所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.,方法总结 常见的求圆的方程的方法: (1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程. (2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给 条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.,2.(2016北京改编,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距
11、离为 .,答案,解析 由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离 d= = .,3.(2016课标全国改编,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= .,答案 -,解析 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得 =1,解得a=- .,4.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y= 0的距离为 ,则圆C的方程为 .,答案 (x-2)2+y2=9,解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0), 由题意可得 解
12、得 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.,5.(2015课标全国改编,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= .,答案 4,解析 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),| PA|= =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-22 ,则|MN|=|(-2+2 )-(-2-2 )|=4 .,6.(2015课标全国改编,7,5分)已知三点A(1,0),B(0, ),C(2, ),则ABC外接圆的圆心到原 点的距离为 .
13、,答案,解析 在平面直角坐标系xOy中画出ABC,易知ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆 心为D .因此|OD|= = = .,7.(2015课标全国,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则 该圆的标准方程为 .,答案 +y2=,解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线 的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐标为 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程为 +y2= .,评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.,8.(2018课标全国理,19,12分)设抛物
14、线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交 于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0), 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16k2+160,故x1+x2= . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . 由题设知 =8,解得k=-1(舍去)或k=1, 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即
15、y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重 利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.,9.(2017课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段 AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,解析 (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y
16、2),l:x=my+2. 由 可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. 又x1= ,x2= ,故x1x2= =4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 = =-1,所以OAOB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r= . 由于圆M过点P(4,-2),因此 =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-
17、 . 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为 ,圆M的方程为(x-3)2+(y -1)2=10.,当m=- 时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为 ,圆M的半径为 ,圆M的方程为 + = .,解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与 系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表 示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,C组 教师专用题组,考点一 直线方程,1.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y
18、=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲 线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .,答案 -3,解析 y=ax2+ ,y=2ax- , 由题意可得 解得 a+b=-3.,2.(2013课标全国改编,5分)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面 积相等的两部分,则b的取值范围是 .,答案,解析 (1)当直线y=ax+b与AB、BC相交时,如图所示. 图 易求得:xM=- ,yN= . 由已知条件得: =1,a= . 点M在线段OA上,-1- 0,0ba. 点N在线段BC上,0 1,b1. 由 解得 b .,
19、(2)当直线y=ax+b与AC、BC相交时,如图所示. 图 设MC=m,NC=n,则SMCN= mn= ,mn=1. 显然,0n ,m= . 又0m 且mn, m 且m1. 设D到AC、BC的距离为t,则 = , = , + = + =1. t= , = + = +m.,而f(m)=m+ 的值域为 , 即2 , t . b=1-CD=1- t, 1- b . 综合(1)(2)可得:1- b .,思路分析 由于a0,所以直线l可能与AB、BC相交,也可能与AC、BC相交,因此应进行分类讨 论.根据题意在每类情况下构造关于b的不等式进行求解.,考点二 圆的方程,1.(2014课标全国,16,5分)
20、设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取 值范围是 .,答案 -1,1,解析 解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使OMN=45 .当x00时,过M作圆的两条切线,切点为A、B. 若在圆上存在N,使得OMN=45, 应有OMBOMN=45,AMB90, -1x00或0x01.综上,-1x01. 解法二:过O作OPMN,P为垂足,则OP=OMsin 451, OM ,OM22, +12, 1,-1x01.,思路分析 解法一:利用切线的性质及数形结合思想得出x0的取值范围;解法二:过O作OP MN
21、(垂足为P),在RtOPM中利用三角函数的定义得出OP与OM的关系,利用OP的范围得出 OM的范围,从而求得x0的取值范围.,2.(2012湖北改编,5,5分)过点P(1,1)的直线,将圆形区域(x,y)|x2+y24分为两部分,使得这两部 分的面积之差最大,则该直线的方程为 .,答案 x+y-2=0,解析 设过P点的直线为l,当OPl时,过P点的弦最短,所对的劣弧最短,此时,得到的两部分的 面积之差最大.易求得该直线的方程为x+y-2=0.,3.(2010课标理,15,5分)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .,答案 (x-3)2+y2=2,解析
22、 解法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d= =r, 又圆C过点A(4,1),B(2,1), (4-a)2+(1-b)2=r2, (2-a)2+(1-b)2=r2, 由,得a=3,b=0,r= , 圆的方程为(x-3)2+y2=2. 解法二:圆C过A、B两点,圆心C在线段AB的中垂线上, 而kAB= =0,AB中点坐标为(3,1). AB的中垂线方程为x=3. 又圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1), 圆心C在过点B且与x-y-1=0垂直的直线x+y-3=0上, 由 得圆心C(3,0),r=|CA|= = , 圆的方程为(x-
23、3)2+y2=2.,评析 考查利用点、直线和圆的位置关系的特征求解的能力,也考查直线和圆的基本知识.,4.(2009江苏,18,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2 ,求直线l的方程; (2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C 2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的 坐标.,解析 (1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
24、由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d= =1, 由点到直线的距离公式,得 =1, 化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=- , 故直线l的方程为y=0或y=- (x-4), 即y=0或7x+24y-28=0. (2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为 y-n=k(x-m),y-n=- (x-m), 即kx-y+n-km=0,- x-y+n+ m=0, 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆 心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等.,故有 = , 化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,
25、由题意得 或 解得 或 故点P的坐标为 或 .,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 直线方程,1.(2019苏州中学期初,9)若直线x= 是函数y=asin x+bcos x图象的一条对称轴,则直线ax+by+c= 0的倾斜角为 .,答案,解析 y=asin x+bcos x=sin(x+),其中tan = . 直线x= 是y=asin x+bcos x图象的一条对称轴, + = +k,kZ,故= +k,kZ. tan = ,即b= a. 由题意,直线的斜率为- =- . 直线的倾斜角为 .,2.(2019淮安五校联考,6)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a
26、-2)x+3y+2a=0,若l1l2,则a= .,答案 -1,解析 因为l1l2,根据l2的方程知道,斜率必定存在,所以k1=k2,即- =- ,a=-1或a=3,经检 验,当a=3时两条直线重合,所以a=-1.,3.(2019扬州期末,7)若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则两平行直线l1,l2间的距离为 .,答案,解析 因为两直线平行,所以 = ,解得m=2,经检验,符合题意. 在直线x-2y+4=0上取一点(0,2),该点到直线l2:2x-4y+3=0的距离为d= = ,即两平行 直线l1,l2间的距离为 .,4.(2017泰州中学期初,10)点P为直线y= x
27、上任意一点,F1(-5,0),F2(5,0),则|PF1|-|PF2|的取值范围 是 .,答案 0,8),解析 设点F1(-5,0)关于直线y= x的对称点为M(x,y),则 解得M , 则|PM|=|PF1|,易知直线y= x与直线MF2平行,所以0|PF1|-|PF2|MF2|,易得|MF2|= =8,所以0|PF1|-|PF2|8.,考点二 圆的方程,1.(2019淮安五校联考,10)已知过点(-2,-3)的直线l被圆x2+y2+2x-4y-5=0截得的弦长为6,则直线l 的方程是 .,答案 12x-5y+9=0或x=-2,解析 圆x2+y2+2x-4y-5=0化为标准方程为(x+1)2
28、+(y-2)2=10,因为直线l被圆截得的弦长为6,所以 圆心到直线的距离d= =1.当直线斜率不存在时,过点(-2,-3)垂直于x轴的直线符合题意; 当斜率存在时,设直线l:y+3=k(x+2),由d=1= 解得k= ,则直线方程为12x-5y+9=0.所以直 线l的方程为12x-5y+9=0或x=-2.,易错警示 解得d=1后,容易忽视直线的斜率不存在的情况,从而漏解.,2.(2019苏州期末,10)在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆 的标准方程为 .,答案 (x-5)2+(y-2)2=17,解析 设所求圆的圆心为(a,b),半径为
29、R,则 化为 解得 R2=17, 所以,圆的标准方程为(x-5)2+(y-2)2=17.,一题多解 设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由于圆经过A、B两点,所以圆心在AB的 中垂线y=-x+7上,又圆心在直线x-2y-1=0上,所以有 解得 圆心为(5,2),半径为 ,则圆的方程为(x-5)2+(y-2)2=17.,3.(2019镇江期末,13)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两 条切线,切点为A,B,使得PAPB,则实数a的取值范围为 .,答案 -2,2,解析 如图,因为PAPB,所以四边形PAOB为矩形,
30、又OA=OB,所以四边形PAOB为正方形, 则OP= ,因为圆M的半径为 ,所以根据三角形两边之和大于第三边,得|OM|2 ,即a2+4 8,解得-2a2.,4.(2019海安期末,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y2=r2(r0)上 有且仅有一对点M,N,使得MAB的面积是NAB的面积的2倍,则r的值为 .,答案,解析 由题意知kAB=-1,直线AB的方程为y=-x-3, 圆上有且仅有一对点M,N,使得MAB的面积是NAB的面积的2倍,即圆上有且仅有一对点M, N,使得M到直线AB的距离是N到直线AB的距离的2倍, 显然,MN为直径,
31、且MNAB,即圆心(2,0)到直线AB的距离为3r,所以3r= = ,所以r= .,5.(2019连云港期中,18)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的 位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动, 目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都 简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平 面直角坐标系,解决下列问题: (1)如图1,设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动,求母球 A球心运动的直
32、线方程; (2)如图2,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标 球B向(8,-4)处运动? (3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B时,目标球B(4 ,0)运动方向可以碰到目标球 C(7 ,-5 ),求a的最小值(只需要写出结果即可).,图1 图2,解析 (1)点B(4,0)与点C(8,-4)所在的直线方程为x+y-4=0, 依题意,知两球碰撞时,母球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限, 此时|AB|=2,设两球碰撞时母球A的球心坐标为(a,b), 则有 解得a=4- ,b= , 即两球碰撞时,母球A的球心坐标为A(
33、4- , ), 所以,母球A球心运动的直线方程为y= x= x.,(2)因为 =(4- ,2+ ), =(- , ), 而 =(4- ,2+ )(- , )=4-2 0, 所以AAB是锐角, 所以点B(4,0)到线段AA的距离小于2,即母球A的球心不到直线BC上时,就会与目标球B碰撞,故 目标球B不可能向(8,-4)处运动.,(3)a的最小值为-2 . 要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A处撞击球B后,球B从球C的右上方B处撞 击球C.如图所示,设点B(x,y)是球B的所有路径中最远离BC的那条路径上离球C最近的点,则有 则 解得B(8 ,-4 ),所以直线CB的倾斜角为45,所
34、以直线AB的倾斜角为135.易得A(3 , ). 过A(3 , )作倾斜角为45的直线,交y轴于点A, 易得A(-2 ,0)就是一个符合题意的初始位置. 若a-2 ,则母球A会在到达A(3 , )之前就与目标球B碰撞,不合题意. 因此a的最小值为-2 .,一、填空题(每小题5分,共30分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：40分钟 分值：50分),1.(2019南京三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知MN是C:(x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CM CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l:x-3y-5=0上存在两点A,B,使得APB 恒 成立,
35、则线段AB长度的最小值是 .,答案 2 -2,解析 圆心C的坐标为(1,2),半径为 , 易知PC=1,点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1. 圆心(1,2)到直线l的距离d= = , 由大边对大角知AB最小时,APB= . 故当APB= ,且P在AB的中垂线上时,线段AB长度最小. 易知ABmin=2 -2.,2.(2019如皋检测,11)如图,已知ABC为等腰直角三角形,其中BAC=90,且AB=2,光线从AB 边上的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+ QR+RP= .,答案,解析 建立如图所示的直角坐标系,则P(1,0).
36、设点P关于直线BC的对称点为P,点P关于直线 AC的对称点为P. 易知P(1,0),直线BC的方程为y=-x+2,设点P(a,b), 则 P(2,1),又P(-1,0), PQ+QR+RP=PQ+QR+RP=PP= = .,3.(2019如皋检测,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,过点P(1,1)的直线l交圆O于A,B 两点,且AP=2PB,则满足上述条件的所有直线斜率之和为 .,答案 -,解析 取AB的中点C,设CP=x,x0, AP=2BP, AC+CP=2(CB-CP), 3CP=AC=BC, BC=AC=3x,BP=2x. 由勾股定理得 x2= ,x0,x= .
37、 AB=3,OC2= . 设lAB:y=k(x-1)+1,即kx-y+1-k=0. = , 整理得3k2+8k+3=0,=64-4330,k1+k2=- ,所以所有直线斜率之和为- .,一题多解 设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为过点P(1,1)的直线l交圆O于A,B两点,且AP=2PB,所以 = 2 ,即 得x2= ,y2= ,又 + =4,且 + =4,故A 或A ,又因为P(1,1),直线斜率为- 或- ,斜率之和为- .,4.(2019南京、盐城期末,10)设N=(x,y)|3x+4y7,点PN,过点P引圆(x+1)2+y2=r2(r0)的两条 切线PA,PB,若APB的最大
38、值为 ,则r的值为 .,答案 1,解析 设圆(x+1)2+y2=r2的圆心为M. 根据题意得N=(x,y)|3x+4y7表示直线3x+4y=7及其上方的部分. 若APB最大,必有MP长度最小,即为点M到直线3x+4y=7的距离. |MP|min= =2, APM= = ,则r=1.,5.(2019南京期初调研,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(1,-1),点P为圆(x-4)2+y2=4上 任意一点,记OAP和OBP的面积分别为S1和S2,则 的最小值是 .,答案 2-,解析 易得OA= ,直线OA的方程为x-y=0,S1=SOAP= d1;OB= ,直线OB的方程为x+y
39、=0, S2=SOBP= d2.(其中d1,d2分别为点P到直线OA,OB的距离) 设P(x,y), 则 = = = . 令 =k(k-1)x+(k+1)y=0. 又P(x,y)在圆C上, 2, 解得2- k2+ , =2- .,6.(2017常州一中质量检测,11)动直线2ax+(a+c)y+2c=0(aR,cR)过定点(m,n),x1+x2+m+n=15 且x1x2,则 的最小值为 .,答案 16,解析 由直线2ax+(a+c)y+2c=0(aR,cR)得a(2x+y)+c(y+2)=0, 因为a,cR,所以 解得 所以动直线2ax+(a+c)y+2c=0(aR,cR)过定点(1,-2),
40、即m=1,n=-2,m+n=-1,又x1+x2+m+n=15, 所以x1+x2=16,所以 = = ,因为x1x2,所以 = = + 2 =2 =16(当且仅当x1=16,x2=0时,取等号), 故 的最小值为16.,思路分析 要求 的最小值,由x1x2,可考虑把表达式转化为关于x1-x2的表达式,利用x1+x2+ m+n=15及 + = (x1-x2)2+(x1+x2)2,结合不等式知识可求得结果.,二、解答题(共30分) 7.(2019七大市三模,18)南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2 m,宽1.5 m的长方形 牛皮纸ABCD裁剪出面积为4 m2的风筝面,裁剪方法如下:分别在边
41、AB,AD上取点E,F,将三 角形AEF沿直线EF翻折到三角形AEF处,点A落在牛皮纸上,沿AE,AF裁剪并展开,得到风筝面 AEAF,如图1. (1)若点E恰好与点B重合,且点A在BD上,如图2,求风筝面ABAF的面积; (2)当风筝面AEAF的面积为 m2时,求点A到AB距离的最大值.,解析 (1)解法一:建立如图所示的直角坐标系. 则B(2,0),D ,直线BD的方程为3x+4y-6=0. (2分) 设F(0,b)(b0), 因为点F到AB与BD的距离相等, 所以b= ,解得b= 或b=-6(舍去). (4分) 所以ABF的面积为 2 = m2, 所以四边形ABAF的面积为 m2. 答:
42、风筝面ABAF的面积为 m2. (6分),解法二:设ABF=,则ABA=2, . 在直角ABD中,tan 2= = , (2分) 所以 = ,解得tan = 或tan =-3(舍去). 所以AF=ABtan = m. (4分) 所以ABF的面积为 2 = m2, 所以四边形ABAF的面积为 m2. 答:风筝面ABAF的面积为 m2. (6分),(2)解法一:建立如图所示的直角坐标系. 设AE=a m,AF=b m,A(x0,y0), 则直线EF的方程为bx+ay-ab=0, 因为点A,A关于直线EF对称,所以 解得y0= . (10分) 因为四边形AEAF的面积为 m2,所以ab= , 所以y
43、0= = . 因为0a2,0b ,所以 a2. (12分) 设f(a)=a+ , a2. f (a)=1- = , 令f (a)=0,得a= 或a=- (舍去). 列表如下:,当a= 时, f(a)取得极小值,即最小值, f( )= , 所以y0的最大值为 ,此时点A在CD上,a= ,b=1. 答:点A到AB距离的最大值为 m. (15分),解法二:设AE=a m,AEF=, 则AF=atan m. 因为四边形AEAF的面积为 m2,所以AEAF= , 即a2tan = ,所以tan = . 过点A作AB的垂线AT,垂足为T, 则AT=AEsin 2=AEsin 2=asin 2,=a =a
44、=a = . (10分) 因为0AE2,0AF ,所以 a2. (12分) (下同解法一),8.(2019南通基地学校三月联考,18)某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地,准备建成各 种不同鲜花景观带.为了便于游客观赏,准备修建三条道路AB,BC,CA,其中A,B,C分别为圆上的 三个进出口,且A,B分别在圆心O的正东方向与正北方向上,C在圆心O南偏西某一方向上.在道 路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾(其中点M,N分别在BC和CA 上,且M在圆心O的正西方向上,N在圆心O的正南方向上),并在区域MNC内种植柳叶马鞭草. (1)求水渠MN长度的最小值; (2)求种
45、植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值(水渠宽度忽略不计).,解析 (1)以圆心O为原点,百米为长度单位,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1, 设点C(cos ,sin ), . (2分) 直线AC的方程为y= (x-1),令x=0,得N . 直线BC的方程为y= x+1, 令y=0,得M . (4分) 所以MN2= + = + . 令f()= + , , 即f()=-2+ + , , 则f ()= ,令f ()=0,得= . (6分) 当 时, f ()0,则f()单调递增; 所以当= 时, f()min=6-4 . 所以MNmin=2- . 答:水渠MN长度的最小值为(2- )百
46、米. (8分) (2)解法一:由(1)可知,M ,N , 则SCMN=SCMO+SCNO- OMON = sin cos . (12分) 设t=sin +cos ,因为 ,所以- t-1. 所以SCMN=- ,- t-1.,所以当t=- 时,(SCMN)max= . 答:种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值为 平方百米. (15分) 解法二:因为AOB=90,所以ACB=45, (10分) 由CM= = , CN= = , 所以SCMN= CMCNsin 45 = = . (12分) 下同解法一.,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,1.(2019 53高考考前原创预测卷三文,16)
47、在ABC中,BC=3,点D在边BC上,且BC=3DC,AB2+AD2 =5,则ABC面积的最大值为 .,答案,解析 解法一:由AB2+AD2=5,知A点的轨迹是以线段BD的中点为圆心, 为半径的圆(不包括 该圆与直线BC相交的两点),设ABC中,BC边上的高为h,则SABC= BCh取最大值时,h= ,即 (SABC)max= 3 = . 解法二:由BC=3,BC=3DC可得BD=2,设ABC中,BC边上的高为h,在ABD中,AB2+AD2=5,设 BAD=,由余弦定理可得cos = ,即ABAD= 0,可知 ,则SABD= ABADsin = BDh,可得h= ,又 =2ABADAB2+AD2=5,当且仅当AB=AD时取“=”, 所以cos ,又 ,从而tan 2 ,所以SABC= BCh= ,即(SABC)max= .,2.(2019 53高考考前原创预测卷七文,16)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要研究成果 集中在代表作圆锥曲线论一书中,其中阿波罗尼斯圆是研究成果之一.已知动点M与两定 点A,B的距离之比为(0,1),那么点M的轨迹就是关于点A,B的阿波罗尼斯圆.我们据此来 研究一个相关问题:已知圆O:x2+y2=9和点A(-1,0),点B
