1、初高中数学衔接知识点专题 专题一 数与式的运算【要点回顾】1绝对值1绝对值的代数意义：即|a|2绝对值的几何意义：的距离的距离3两个数的差的绝对值的几何意义：a b 表示4两个绝对值不等式:|x|a(a 0)；|x|a(a 0)2乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：3完全平方差公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(a b c)2 公式 1公式 2公式 3 a a3 b3(立方和公式)3 b3(立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式乘法公式”3根式1式子 a(a 0)叫做二次根式，其性质如下：ba(a)2；(2)a2；(3)ab；(4)
2、(1)2平方根与算术平方根的概念：叫做 a 的平方根，记作 x a(a 0)，其中 a(a 0)叫做 a 的算术平方根叫做 a 的立方根，记为x 3 a3立方根的概念：4分式1分式的意义形如A 的式子，若 B 中含有字母，且 B 0，则称 A 为分式当 M0 时，分式 A 具B B B有下列性质：（1）；（2）A 的分子、分母中至少有一个是分式时，A 就叫做繁分式，如 m n p2繁分式 当分式，2mBBn p说明：繁分式的化简常用以下两种方法繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方
3、法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程-1-【例题选讲】例 1 解下列不等式：（1）x 2 1（2）x 1 x 3 4例 2 计算：1111 m2 11(x2 2x )2（2）(m n)(mn n2)（1）35225104(a 2)(a 2)(a4 4a216)（4）(x2 2xy y2)(x2 xy y2)2（3）1x23x 1 0，求x3的值例 3 已知x31 1例 4 已知 a b c 0，求 a()b()c()的值b c a b1 111ca例 5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正
4、数)：3(1 x)2 (2 x)2(x 1)（1）（2）2 311x x3 8x（3）（4）2a b22 32 32 32 3例 6 设 x,y，求x3 y3的值-2-xx2 3x 9 276x9x x2 6 2xx 1例 7 化简：（1）（2）x 1 xx21x x【巩固练习】1 解不等式 x 3 x 2 711x2 xy y2x y2 设 x,y，求代数式的值3 23 2aba2 b23a2 ab 2b5 12 0(a 0,b 0)，求 的值3 当baab4 设 x x4，求 x2 2x 1的值25 计算(x y z)(x y z)(x y z)(x y z)6化简或计算：121321(1
5、)(18 4)(2)2 2 (2 5)22 3335 2x x x y x xy yb aba ba bab(3)(4)(a)(ab a)xy y2x x y yab bab-3-专题二 因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等1公式法常用的乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：3完全平方差公式：4(a b c)2 bb5a3
6、3(立方和公式)a33(立方差公式)6由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解2分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组常见题型：（1）分组后能提取公因式3十字相乘法（2）分组后能直接运用公式（1）x (p q)x pq 型的因式分解2这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是 1；常数项是两个数之积；一次项
7、系数是常数项的两个因数之和xx2(p q)x pq x2 px qx pq x(x p)q(x p)(x p)(x q)，(p q)x pq (x p)(x q)2运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 bx c 型的因式分解ax2（2）一般二次三项式a a x2(a c a c)x c c (a x c)(a x c)我们发现，二次项系数 分解成，常数项aa a由121 22 11 211221 2a1a2 c2c1，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a c，如果它正c 分解成 c c，把 a,a,c,c 写成1 212122 1ax2 bx c的一次项系
8、数，那么bax2 bx c 就可以分解成(a x c)(a x c)，其中 位a,c1 1好等于1122于上一行，a,c 位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫22做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】3a3b 81b47 ab6；(2)a例 1（公式法）分解因式：(1)-4-ab(c2 d2)(a2b2)cd2 4xy 2y2 8z2（2）2x例 2（分组分解法）分解因式：（1）x2 5
9、x 24 xy 6y(2)(4)x2 2x 15 x)8(x x)122例 3（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)x22(x22(3)例 4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)12x 5x 2；(2)5x 6xy 8y2 2 2x33x2 4例 5（拆项法）分解因式【巩固练习】1把下列各式分解因式：ab(c2 d2)cd(a2b2)2 4mx 8mn 4n2(2)x(1)x4 64(4)x311x2 31x 213 4xy2 2x2 y 8y3(5)x(3)22已知 a b ,ab 2，求代数式a2b 2a2b2 ab2的值3111x2 x 1，x2 3x 1，x2 x，请你选择其中两
10、个进行加法运算，并3现给出三个多项式，把结果因式分解.2224已知 a b c 0，求证：a a c b c abc b 0 3 2 2 3-5-专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1一元二次方程的根的判断式 bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为：ax2一元二次方程由于可以用b2 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根的判别式，表示为：b 4ac2对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），有1当 0 时，方程有两个不相等的实数根：；2当 0 时，方程有两个相等的实数根：3当 0 时，方程没有实数根2一
11、元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax bx c 0(a 0)的两个根为 x1,x2，那么：2x x,x x 1 212说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理韦达定理”上述定理成立的前提是 0 特别地，特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x pxq0，若 x，x 是其两根，由韦达定理可知212x x p，x x q，即p(x x)，qx x，12121212所以，方程 x pxq0 可化为 x(x x)xx x 0，由于 x，x 是一元二次方程 x pxq0 的两222121212根，所以，x，x 也是一元二次方程
12、 x(x x)xx x 0因此有2121212以两个数以两个数 x，x 为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是）是 x(x x)xx x 02121212【例题选讲】已知关于 x 的一元二次方程3x2 2x k 0，根据下列条件，分别求出 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根k例 1例 2 已知实数 x、y 满足x2 y2 xy 2x y 1 0，试求、y 的值x例 3 若 x,x 是方程x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：12(1)x x22；(2)1 1；(3)(x 5
13、)(x 5)；(4)|x x|1 22112xx21-6-例 4 已知 x,x 是一元二次方程4kx2 4kx k 1 0 的两个实数根123(1)是否存在实数 k，使(2x x)(x 2x)成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理12122由(2)求使 x1 x 2 的值为整数的实数 k 的整数值x12x2【巩固练习】1若 x,x 是方程2x 6x 3 0 的两个根，则21 1 的值为(x)12x2119A 2B 2CD222若t 是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根，则判别式 b的关系是()B M px q 0 的两实根，x 1,x 12 4ac 和完全平方式M (2a
14、t b)2A MC MD大小关系不能确定是关于 的方程 qx p 0 的两实根，则3设 x,x 是方程x2xx21212p=_ _，q=_ _ 4已知实数 a,b,c 满足a 6 b,c2 ab 9，则 a=_ _，b=_，c=_ 5已知关于 x 的方程x2 3x m 0的两个实数根的平方和等于 11，求证：关于 x 的方程(k 3)x2 kmx m2 6m 4 0 有实数根6若 x,x 是关于 x 的方程x (2k 1)x k 1 0 的两个实数根，且 x1,x2 2都大于 1212(1)求实数 k 的取值范围；(2)若 x1 1，求 k 的值x22-7-专题四 平面直角坐标系、一次函数、反
15、比例函数【要点回顾】1平面直角坐标系1组成平面直角坐标系。叫做 x 轴或横轴，叫做 y 轴或纵轴，x 轴与 y 轴统称坐标轴，他们的公共原点 o 称为直角坐标系的原点。2 平面直角坐标系内的对称点：对称点或对称直线方程对称点的坐标x 轴y 轴原点点(a,b)直线 x a直线 y b直线 y x直线 y x2函数图象1一次函数：称 y 是 x 的一次函数，记为：y kx b(k、b 是常数，k0)特别的，当b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数。2 正比例函数的图象与性质：函数 y=kx(k 是常数，k0)的图象是图象过原点及第一、第三象限，y 随 x 的增大而；当限，y 随 x 的增大而3
16、一次函数的图象与性质：函数 y kx b(k、b 是常数，k0)的图象是过点(0，b)且与直线 y=kx 平行的一条直线.设 y kx b(k0)，则当的一条直线，当时，时，图象过原点及第二、第四象时，y 随 x 的增大而；当时，y 随 x 的增大而k4反比例函数的图象与性质：函数 y (k0)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象x限中，y 随 x 的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y 随 x 的增大而双曲线是轴对称图形，对称轴是直线 y x 与 y x；又是中心对称图形，对称中心是原点【例题选讲】2例 1 已知 A 2,y、B x,3，根据下列条件，求出 A、B
17、 点坐标1(1)A、B 关于 x 轴对称；(2)A、B 关于 y 轴对称；(3)A、B 关于原点对称-8-例 2 已知一次函数 ykx2 的图象过第一、二、三象限且与 x、y 轴分别交于 A、B 两点，O 为原点，若 AOB 的面积为 2，求此一次函数的表达式。k例 3 如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 y mx b的图象交于 A(1，3)，B(n，1)两点x（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当 x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值yk33解：（1）Q A(1，3)在 y 的图象上，k 3，y 又Q B(n，1)在 y 的图Axxx3 m b象上，n 3，
18、即 B(3，1)，1 3m b，解得：m 1，b 2，反比例函数OxB3的解析式为 y ，一次函数的解析式为 y x 2，x（2）从图象上可知，当 x 3或 0 x 1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。【巩固练习】m1函数 y kx m 与 y (m 0)在同一坐标系内的图象可以是（）xyyyyxxxxOOOOABCD2如图，平行四边形 ABCD 中，A 在坐标原点，D 在第一象限角平分线上，又知 AB 6，AD 2 2，求 B,C,D 点的坐标1k3如图，已知直线 y x 与双曲线 y (k 0)交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 2x（1
19、）求 k 的值；k（2）过原点O 的另一条直线l 交双曲线 y (k 0)于 P，Q 两点（P 点在第一象限），若由点 P 为顶x点组成的四边形面积为 24，求点 P 的坐标yA-9-OxB专题五 二次函数【要点回顾】1 二次函数 yax问题1 函数 yax2bxc 的图像和性质与 yx 的图象之间存在怎样的关系？22问题2 函数 ya(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象的方法：babab2b2 a(x b b2)22a 4ac4a由于 yaxax2bxca(x2x)ca(x2x)c，所以，y4a24a2bxc
20、(a0)的图象可以看作是将函数 yax二次函数 yax bxc(a0)具有下列性质：1当 a0 时，函数 yax bxc 图象开口方向2的图象作左右平移、上下平移得到的，22；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；当时，函数取最小值2当 a0 时，函数 yax2bxc 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；当时，函数取最大值yA(b,4ac b2yb)x2a4a2aOxOxb4ac b)4a2bA(,x2a2a上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题
21、时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题2二次函数的三种表示方式1二次函数的三种表示方式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：；-10-说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求给出三点，其中两点为与给出三点，其中两点为与 x 轴的两个交点轴的两个交点(x,0).(x,0)时可利用交点式来求时可利用交点式来
22、求123分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数【例题选讲】例 1 求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：x/元y/件130701505016535若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？y x2,2 x a，其中
23、a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和例 3 已知函数最小值时所对应的自变量 x 的值例 4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1）；（2）已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2；（3）已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)-11-例 5 在国内投递外埠平信，每封信不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 不超过 40g 付邮资 160 分，超过40g 不超过 60g 付邮资 240 分，依此类推，每封 xg(0 x10
24、0)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象【巩固练习】1选择题：（1）把函数 y(x1)（A）（1，4）24 的图象的顶点坐标是（B）（1，4）（C）（1，4）（）（D）（1，4）（2）函数 yx24x6 的最值情况是（）（A）有最大值 6（C）有最大值 10（B）有最小值 6（D）有最大值 2（3）函数 y2x24x5 中，当3x2 时，则 y 值的取值范围是（）（A）3y1（C）7y11（B）7y1（D）7y112填空：（1）已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(2，0)，B(1，0)，且过点 C（2，4），则该二次函数的表达式为（2）已知某二次函数的图象过点（1，0
25、），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为3根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点 A（0，1），B（1，0），C（1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与 y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（3，0），（5，0），且与 y 轴交于点（0，3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与 x 轴两交点间的距离为 44如图，某农民要用 12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡已知墙的长度为 6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5如图所示，在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上有一个动点
26、P，从点 A 出发沿折线 ABCD 移动一周后，回到 A 点设点 A 移动的路程为 x，PAC 的面积为 y（1）求函数 y 的解析式；（2）画出函数 y 的图像；（3）求函数 y 的取值范围DCP-12-AB 专题六 二次函数的最值问题【要点回顾】y ax2 bx c(a 0)的最值1二次函数b 处取得最小值 4ac b2二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a 0 时，函数在 x 2a4ab 处取得最大值 4ac b2，无最大值；当 a 0 时，函数在 x 2二次函数最大值或最小值的求法，无最小值2a4a第一步确定 a 的符号，a0 有最小值，a0 有最大值；第二步配方求顶点，
27、顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值3求二次函数在某一范围内的最值y ax2 bx c 在 m x n（其中 m n）的最值如：第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x x；0第二步：讨论：1若 a 0 时求最小值或 a 0 时求最大值，需分三种情况讨论：对称轴小于 m 即 x m，即对称轴在 m x n 的左侧；0对称轴 m x n，即对称轴在 m x n 的内部；0对称轴大于 n 即 x n，即对称轴在 m x n 的右侧。02 若 a 0 时求最大值或 a 0 时求最小值，需分两种情况讨论：m n对称轴 x，即对称轴在 m x n 的中点的左侧；02m n对称轴 x，即对称轴在 m
28、x n 的中点的右侧；02说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例况，参考例 4。【例题选讲】例 1 求下列函数的最大值或最小值y 2x2 x ；35（2）y x2 3x 4（1）例 2 当1 x 2时，求函数y x2 x 1的最大值和最小值例 3 当 x 0 时，求函数 y x(2 x)的取值范围-13-例 4 当t x t 1时，求函数y 1x2 x 5的最小值(其中t 为常数)22例 5 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量
29、 m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数 m 162 3x,30 x 54(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】y x2 (m 4)x 2m 3，当 m=_ 时，图象的顶点在 y 轴上；当 m=_ 时，图象1抛物线的顶点在 x 轴上；当 m=_ 时，图象过原点2用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 3设 a 0，当 1 x 1时，函数y x2 ax b 1的最小值是 4，最大值是 0，求 a,b 的值y x2 2a
30、x 1 1 x 2 a在 上的最大值为 4，求 的值4已知函数5求关于 x 的二次函数y x2 2tx 1 1 x 1 t在 上的最大值(为常数)-14-专题七 不 等 式【要点回顾】1一元二次不等式及其解法1定义：形如为关于 x 的一元二次不等式ax2 bx c 0(或 0)与二次函数 y ax2 bx c(a 0)及一元二次方程2一元二次不等式ax2 bx c 0的关系(简称：三个二次)（）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数；(2)观测相应的二次函数图象如果图象与 x 轴有两个交点(x,0),(x,0)，此时对应的一元二次
31、方程有两个不相等的实数根12x,x(也可由根的判别式 0来判断)则12如果图象与 x 轴只有一个交点(b,0)，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根2ax x b(也可由根的判别式 0来判断)则：x22a如果图象与 x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式 0 来判断)则：（）解一元二次不等式的步骤是：(1)化二次项系数为正；(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 x,x 那么“0”型的解为1 2x x 或x x(俗称两根之外)；“0”型的解为 x x x(俗称两根之间)；1212(3)否则，对二次三项式进行配方，变成ax bx c a(x b)2
32、2a4ac b24a，结合完全平方式为2非负数的性质求解2简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.3含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为 ax b 的形式b1当 a 0 时，不等式的解为：x；ab2当 a 0 时，不等式的解为：x；a-15-3当 a 0 时，不等式化为：0 x b；若b 0，则不等式的解是全体实数；若b 0，则不等式无解【例题选讲】x2 x 6 0(2)(x 1)(x 2)(x 2)(2x 1)例 1解下列不等式：(1)x2 2x 8 0(2)x2 4x 4 02 x 2 0(3)x例
33、 2 解下列不等式：(1)例 3 已知对于任意实数 x，kx2 2x k恒为正数，求实数 的取值范围k2x 3x 11x 2例 4 解下列不等式：(1)0(2)3例 5 求关于 x 的不等式m x 2 2mx m 的解2【巩固练习】1解下列不等式：2x2 x 0(2)(4)x 3x 18 02(1)x2 x 3x 1x(x 9)3(x 3)(3)-16-2解下列不等式：x 1x 13x 12x 122x2 x 1 0(1)0(2)2(3)1(4)x2x 13解下列不等式：111x2 2x 2x2 2(2)x2 x 0(1)2354解关于 x 的不等式(m 2)x 1 m 5已知关于 x 的不等式mx x m 0 的解是一切实数，求 m 的取值范围2x 2x 3的解是 x 3，求 k 的值6若不等式1kk27 a 取何值时，代数式(a 1)2 2(a 2)2的值不小于 0？-17-18-
