1、上页下页结束返回首页数量关系 第七章第一部分 向量代数第二部分 空间解析几何 在三维空间中:空间形式 点,线,面基本方法 坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数 第1页，共33页。上页下页结束返回首页四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第七章 第2页，共33页。上页下页结束返回首页.a或表示法:向量的模:向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模
2、为 1 的向量,.a或记作 a零向量:模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或第3页，共33页。上页下页结束返回首页规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;第4页，共33页。上页下页结束返回首页二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法三角
3、形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba 第5页，共33页。上页下页结束返回首页s3a4a5a2a1a54321aaaaas第6页，共33页。上页下页结束返回首页2.向量的减法向量的减法三角不等式ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabababa0baba第7页，共33页。上页下页结束返回首页aa3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数,.a规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量,记作，反向
4、与aa总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 第8页，共33页。上页下页结束返回首页定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证:略.abab例1.设 M 为MBACD解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD第9页，共33页。上页下页结束返回首页xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z
5、 轴(竖轴)过空间一定点 o,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1.空间直角坐标系的基本概念第10页，共33页。上页下页结束返回首页xyzo向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点 M特殊点的坐标:有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0);rrM第11页，共33页。上页下页结束返回首页坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo第12页，共33页。上页下页
6、结束返回首页2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M,),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA,ixOA,jyOBkzOC第13页，共33页。上页下页结束返回首页四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzab
7、xxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数第14页，共33页。上页下页结束返回首页例例2.已知两点已知两点在AB直线上求一点 M,使解:设 M 的坐标为,),(zyx如图所示ABMo11MAB,),(111zyxA),(222zyxB及实数,1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM)(OMOB OMOBOA(第15页，共33页。上页下页结束返回首页说明说明:由由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(
8、zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式:第16页，共33页。上页下页结束返回首页五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA第17页，共33页。上页下页结束返回首页例例4.求证以求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证:1M2M3
9、M21MM 2)47(2)31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点第18页，共33页。上页下页结束返回首页oyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量,ba任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称 =AOB(0 )为向量 ba,的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角,rr称为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.记作),(ba第19页，共33页。上页下页结束返回首页o
10、yzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos第20页，共33页。上页下页结束返回首页例例5.已知两点已知两点)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM第21页，共33页。上页下页结束返回首页xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),(zyxM rNxo)0,0,(xP),(zyxM r 3.向
11、量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.,kzORj yOQi xOP 在三个坐标轴上的分向量：r轴的关系，有轴的关系，有与与只考虑只考虑xr,i xOPxr 轴上的分向量轴上的分向量在在.cos rx 且且一般地，第22页，共33页。上页下页结束返回首页空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴 u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.第23页，共33页。上页下页结束返回首页空间一向量在轴上的投影uOMM 向向量量r在在轴轴 u上上的的投投影影.e 已知向量的起点已知向量的起点 O,终点终点 M 在轴在轴 u上的投影为上的投影为M,.轴
12、上的分向量轴上的分向量在在称为向量称为向量则向量则向量uOMrMO 为为则称则称设设 ,eMO uurrj)(Pr或或记为记为第24页，共33页。上页下页结束返回首页关于向量的投影定理（1）ABjuPr cos|AB 证uABA B B ABjuPrABju Pr cos|AB u 由此定义，则则设设),(zyxaaaa ,Prajaxx,Prajayy.Prajazz 第25页，共33页。上页下页结束返回首页定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,2 2)2(,)3(,2 ABjuPrABju Pr cos|AB 投影定理（1）第26页
13、，共33页。上页下页结束返回首页关于向量的投影定理（2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和.PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC（可推广到有限多个）u1a2a第27页，共33页。上页下页结束返回首页关于向量的投影定理（3）ajajuuPrPr 作业 P300 3,5,13,15,18第28页，共33页。上页下页结束返回首页第29页，共33页。上页下页结束返回首页第30页，共33页。上页下页结束返回首页例例 9 9 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在
14、在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.第31页，共33页。上页下页结束返回首页备用题备用题解:因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131.设,853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k第32页，共33页。上页下页结束返回首页2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3 对角线的长为解：为边的平mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim第33页，共33页。
