1、第1页，共17页。一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不不存存在在观察各极限观察各极限第2页，共17页。);(,0lim)1(o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(l
2、im)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0,0(lim)3(无无穷穷小小阶阶的的的的是是就就说说如如果果kkCCk 第3页，共17页。例例1 1解解.tan4,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxx
3、x ,21.sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 第4页，共17页。常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim ,0lim ),(o即即).(o于是有于是有例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx .21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 第5页，共17页。二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存存在在且且设设证证 lim)lim(limli
4、mlim.lim 第6页，共17页。例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意第7页，共17页。例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.16
5、1 错错 第8页，共17页。例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(5tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 第9页，共17页。三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条
6、件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.第10页，共17页。思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？第11页，共17页。思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.第12页，共17页。一、一、填空题：填空题：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)(sinarcsinlim0=_.=_.3
7、3、xxx)21ln(lim0=_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim=_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练 习习 题题第13页，共17页。7 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小.8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim；2 2、eelim；3 3、xxxx sinsinlim0；4 4、axaxa
8、x tantanlim；第14页，共17页。三、三、证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 .四、设四、设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式.2 2、确定、确定ba,的值的值,使得使得)1()(lim1fxfx，)1()(lim1 fxfx.第15页，共17页。一、一、1 1、23；2 2、nmnmnm,1,0；3 3、2 2；4 4、；5 5、x；6 6、na；7 7、3 3；8 8、21,2.2.二、二、1 1、21；2 2、e；3 3、；4 4、a2sec.练习题答案练习题答案第16页，共17页。四四、1 1、1),cos(1,2)cos(11,2)cos(11,2sinxbxaxbaxbaxxx；2 2、0,),1,0(2 bkka.第17页，共17页。
