1、2.3.1平面向量基本定理教学目的教学目的 （1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；（2）初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的准确性.一、问题情境一、问题情境（1）如何求此时竖直和水平方向速度？（2）利用什么法则？vsinvcosvBAMN2e 1e探究探究：给定平面内两个向量给定平面内两个向量 、，平面内，平面内任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？1 1e e
2、2 2e e分解平移共同起点1e2ea1e1e2eaa2eOABOBOAa11eOA22eOB2211eea 链接几何画板链接几何画板平面向量基本定理 如果如果 ,是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量的任意向量 ，存在唯一一对实数，存在唯一一对实数、，使，使 1 1e e 2 2e eaa1 1a2 2aa 11221122a=e+ea=e+e我们把不共线的向量我们把不共线的向量 ，叫做叫做表示这一平面内所有向量的一组表示这一平面内所有向量的一组基底基底，记为：记为：1 1e e 2 2e e2e e1，如果如果 ,是同
3、一平面内的两个是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量的任意向量 ，存在唯一一对实数，存在唯一一对实数、，使，使 1 1e e 2 2e eaa1 1a2 2aa 11221122a=e+ea=e+e 探究定理探究定理内涵内涵1.基底基底 、条件：条件：1e2e基底组数：基底组数：不共线向量不共线向量无数组无数组3.定理的价值何在？定理的价值何在？12a a，2.定理中的值是否唯一？驾考宝典网 http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ 驾照宝典 驾驶宝典.M AM D 请 同 学 们 自
4、 选 基 底表 示 向 量和试 一 试：.MA MDDB 为了求和，关键是先求AC,分析：111()222MAACabab 111222MDDBab 课堂练习课堂练习oABM12ab （）a bMAOBABOAOB 已知点是三角形的边的中点，若，则OM变式探究：变式探究：oABM （1）若P是AB靠近A的三等分点，则OPa bMAOBABOAOB 已知点 是三角形的边的中点，若，则OM12ab（）Pt （2）若AP=AB，则OP2ab3 1OP31t atb OP（）t （2）若AP=AB，则OP()(1)APtABOPOAAPOAtABOAt OBOAt OAtOB 解解：结结论论 若若A
5、A、B B是直线上任意两点，是外一点。是直线上任意两点，是外一点。则对直线上任一点，存在实数，使则对直线上任一点，存在实数，使 关于基底关于基底 ，的分解式为的分解式为 =（1 1t t）t t （*）并且满足（并且满足（*）式的点一定在）式的点一定在L上上 OP OA OB OP OA OB 说明：1（）向量等式（*）叫做直线L的向量参数方程式.其中实数叫做参变数，简称参数.(2MOAOBOMAB 1（2）特殊：当 时，点是中点，2则 线段中点的向量表达式）PAOMBL(1)证明：设(R)，则=()，由，不共线得1212e ee e12121212a=a=b be-2ee+3ee-2ee+3
6、e=1=1 23=-2=-3 所以 不存在，故不共线，可以作为一组基底。a,ba,b(2)()()mn 解:设(m,nR)得1212cabcab 3e-e 3e-e12121212e-2ee+3ee-2ee+3e=m+n12=(m+n)+(-2m+3n)eeee322311mnmmnn 所以,所以c=2a+bc=2a+b12 例2.设是不共线的非零向量，且（）证明：可以作为一组基底；（）以为基底，求向量的分解式；12121212e,ee,ea,ba,ba,bc=3e-ea,bc=3e-e12121212a=e-2e,b=e+3ea=e-2e,b=e+3e 知识总结：知识总结：（1 1）平面向量基本定理。平面向量基本定理。（2 2）平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用（3 3）直线的向量参数方程式。直线的向量参数方程式。（4 4）线段中点的向量表示式。线段中点的向量表示式。合作交流合作交流 自我总结自我总结作业作业 课本第课本第105页练习页练习A第第5题、题、B第第2题题思考思考实数运算实数运算？思想方法总结：思想方法总结：待定系数法、反证法待定系数法、反证法数形结合数形结合、转化思想、转化思想、方程思想方程思想任意向量运算任意向量运算基底向量运算基底向量运算类比归纳：特殊类比归纳：特殊 一般一般
