1、问题分析（1）lclear：清理内存：清理内存lclc：清屏：清屏1问题分析（2）23问题分析（3）l设三个复数a34i，b12i,，计算x=ab/c a=3+4i;?4*i b=1+2i;c=2*exp(i*pi/6);?x=a*b/cx=0.3349+5.5801iiec624问题分析（4）l计算下式的结果，其中计算下式的结果，其中x=45 x=pi/180*(45);%将角度单位由度转换为函数要求的弧度值z=(sin(x)+sqrt(35)/72(1/5)z=2.8158 57235sinx5第2讲 MATLAB数值运算 matlab 具有出色的数值计算能具有出色的数值计算能力，占据世界
2、上数值计算软件的主力，占据世界上数值计算软件的主导地位导地位6本讲目标l理解数值运算的有关概念l加深对MATLAB中矩阵和数组的理解l掌握使用MATLAB数值运算的基本方法7数值运算的功能l数组运算数组运算l矩阵运算矩阵运算l多项式运算多项式运算l线性方程组线性方程组l数值统计数值统计l线性插值线性插值8实例图像92019年年“人与水人与水”国际摄影大赛比赛特等奖国际摄影大赛比赛特等奖 被取消被取消 沿Y轴翻转 A*B（翻转矩阵）=A原图A参赛图A fliplr(A)10年华赛金奖作品广场鸽注射禽流感疫苗的获奖资格年被取消 整体姿态 图像矩阵中两只鸽子特征值高 边缘11实例信号lBuzzing
3、Bee.wav(windowssystem32)12一.数值变量l变量名区分大小写；变量名区分大小写；l变量名的长度是有规定的，超过时给出警告信息；变量名的长度是有规定的，超过时给出警告信息；l变量名必须以字母开头，其余可包含字母、数字、下变量名必须以字母开头，其余可包含字母、数字、下划线，但不得使用标点符号。划线，但不得使用标点符号。MATLABMATLAB是以矩阵是以矩阵(二维数组二维数组)为基本运算单元的，为基本运算单元的，而构成数值矩阵的基本单元就是数值。而构成数值矩阵的基本单元就是数值。MATLABMATLAB中的中的变量名必须遵循：变量名必须遵循：13比如以下的例子就是输入了变量x
4、和X，这是两个不同的变量，一个是数字，一个是矩阵。14二.创建数组的方法一维数组的创建一维数组的创建规则：规则：元素必须用元素必须用 括住括住 元素必须用逗号或空格分隔元素必须用逗号或空格分隔 可以是实数可以是实数，也可以是复数，也可以是复数A=first:增量增量:lastA=linspace(first,last,n)2.二二维数组维数组的创建的创建 在在 内的行与行之间必须内的行与行之间必须 用分号分隔用分号分隔15 数组运算指元素对元素的算术运算，数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同矩阵运算不同l 数组加减数组
5、加减(+,-)a+b a-b三.数组运算 对应元素相加减（与矩阵加对应元素相加减（与矩阵加减等效）减等效）162.数组乘除数组乘除(，./右除，右除，.左除）左除）a b a，b两数组必须有相同的行两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。和列两数组相应元素相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 90 17a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172 18a./b=b.aa.b
6、=b./aa./b=b.a 都是都是a的元素被的元素被b的对应元的对应元 素除素除a.b=b./a 都是都是a的元素被的元素被b的对应元的对应元 素除素除例例:a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./ac1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000 给出a,b对应元素间的商.19 a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=3 2 1;1 0 3;1 2 4;c=a*bc=8 8 19 23 20 43 29 14 31 cc=a.*bcc=3 4 3 4 0 18 7 16 0 203.数组乘方数组乘方(.)元素对元素的幂元素对
7、元素的幂例例:a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1.00 4.00 9.00z=a.bz=1.00 32.00 729.0021常见的基本数学函数函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能sin正弦正弦tan正切正切atan反正切反正切asin反正弦反正弦cot余切余切acot反余切反余切cos余弦余弦sec正割正割asec反正割反正割acos反余弦反余弦csc余割余割acsc反余割反余割三角函数22函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能exp以以e为底的指数为底的指数pow22的幂次的幂次log2以以2为底的对数为底的对数log自然对数自然对数log10以以1
8、0为底的对数为底的对数sqrt开平方开平方nextpow2返回返回2的下一个最近幂的下一个最近幂指数与对数函数23复数函数函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能abs复数的模复数的模real实部实部angle相位角相位角unwrap相位展开相位展开complex构造复数构造复数isreal判断实数判断实数conj共轭复数共轭复数cplxpair整理为共轭对整理为共轭对imag虚部虚部24取整函数函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能fix朝朝0方向取整方向取整round四舍五入四舍五入floor朝负无穷方向取整朝负无穷方向取整rem除后取余除后取余ceil朝正无穷方向取整朝正无穷方向取整s
9、ign符号函数符号函数mod模数（带符号余）模数（带符号余）25矩阵函数函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能cond矩阵的条件数矩阵的条件数rank矩阵的秩矩阵的秩condest1范数条件数范数条件数svd奇异值分解奇异值分解rcond矩阵倒条件数矩阵倒条件数trace矩阵的迹矩阵的迹det方阵的行列式方阵的行列式expm矩阵指数矩阵指数inv方阵的逆方阵的逆logm矩阵对数矩阵对数norm一般范数一般范数sqrtm矩阵开方矩阵开方normest2范数范数funm一般矩阵函数一般矩阵函数26特殊函数函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能bessel贝塞尔函数贝塞尔函数rat有理逼近有理逼
10、近beta贝塔函数贝塔函数cross矢量叉乘矢量叉乘gamma伽马函数伽马函数dot矢量点乘矢量点乘ellipj雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数cart2sph直角直角-球球ellipk完全椭圆积分完全椭圆积分cart2pol直角直角-极极erf误差函数误差函数pol2cart极极-直角直角erfinv逆误差函数逆误差函数sph2cart球球-直角直角27四、创建矩阵的方法1.直接输入法直接输入法规则：规则：矩阵元素必须用矩阵元素必须用 括住括住 在在 内矩阵的行与行之间必须内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔用分号分隔 矩阵元素必须用逗号或空格分隔矩阵元素必须用逗号或空格分隔 28 矩阵元素可以是
11、任何矩阵元素可以是任何matlab表达式表达式，可以是实数可以是实数，也可以是复数，复数，也可以是复数，复数可用特殊数可用特殊数i，j 输入输入 a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2;sqrt(3)3+5i 矩阵元素29符号的作用l逗号和分号的其他作用逗号和分号的其他作用 逗号和分号可作为指令间的分隔逗号和分号可作为指令间的分隔符，符，matlab允许多条语句在同一行出允许多条语句在同一行出现。现。分号如果出现在指令后，屏幕上分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。将不显示结果。30注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可
12、能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用续行 当屏幕内容过多，用clc清除命令窗口31l冒号的作用冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间用于生成等间隔的向量，默认间隔为隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句循环语句32l空阵空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。无结果时，返回空阵。lrand 产生产生0和和1之间均匀分布的随机矩阵之间均匀分布的随机矩阵lrandn 产生均值为产生均值为0,方差为方差为1的正态分布的的正态分布的随机矩阵随机矩阵leye 单位矩阵单位矩阵(对角元素为对角元素为1,其
13、他为其他为0)lzeros 全部元素都为全部元素都为0的矩阵的矩阵lones 全部元素都为全部元素都为1的矩阵的矩阵2.用matlab函数创建矩阵33 还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。一介绍了。注意：注意：matlab严格区分大小写字母严格区分大小写字母，因此，因此a与与A是两个不同的变量。是两个不同的变量。matlab函数名必须小写函数名必须小写。34矩阵的修改l 直接修改直接修改 可用可用 键找到所要修改的矩阵，用键找到所要修改的矩阵，用键移动到键移动到要修改的矩阵元素上即
14、可修改要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改指令修改 可以用可以用A(,)=来修改。来修改。35例如a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a=1 2 0 3 0 5 7 8 036l矩阵加、减（矩阵加、减（,）运算）运算规则：规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。矩阵对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。与矩阵的所有元素分别进行加减操作。五、矩阵运算37规则：规则：lA矩阵的列数必须等于矩阵的列数必须
15、等于B矩阵的行数矩阵的行数l标量可与任何矩阵相乘。标量可与任何矩阵相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*bc=14 32 23 2.矩阵乘（矩阵乘（）运算运算38d=-1;0;2;f=pi*df=-3.1416 0 6.2832 393.矩阵除（矩阵除（/）运算运算矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算中有两种矩阵除运算l左除左除 ab 等价于等价于inv(a)*b l右除右除 b/a 等价于等价于b*inv(a)linv(a)矩阵的逆矩阵的逆40 a=1 2 3;3 0 1
16、;4 2 1;det(a)ans=18 b=5 5 5;5 5 5;5 5 5;c=abc=1.1111 1.1111 1.1111 -0.5556 -0.5556 -0.5556 1.6667 1.6667 1.6667 c=b/ac=1.3889 -0.2778 1.1111 1.3889 -0.2778 1.1111 1.3889 -0.2778 1.111141 a p a 的的p次幂次幂 4.矩阵乘方矩阵乘方 an,ap,pa42 a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans=30 36 42 66 81 96 102 126 15043 a0.5 ans=0.4498+0.
17、7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i 1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i 1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717ilap:a的的p次方次方l条件：在条件：在ap 中中a,p不可都是矩阵，必须一个是不可都是矩阵，必须一个是标量，一个是方阵标量，一个是方阵（1）a是一个方阵，是一个方阵，p是一个标量是一个标量 p 是大于是大于1 的正整数，则的正整数，则a的的p次幂即为次幂即为a自乘自乘p次。当次。当P为负整数时，为负整数时，A-1自乘自乘p次。次。44p1 a=
18、magic(3)a=8 1 6 3 5 7 4 9 2 a2ans=91 67 67 67 91 67 67 67 9145 p是不为整数的标量时，是不为整数的标量时，ap=v*D.p/v。其中其中D为矩阵为矩阵a的特征值矩阵的特征值矩阵，v为对应的特征矢量为对应的特征矢量阵，用阵，用eig函数求出函数求出D和和v，v,D=eig(a).a=vDv-1-(对角化对角化)aa=1 1 3 4 a0.5ans=0.7559 0.3780 1.1339 1.889846 v,D=eig(a)v=-0.7842 -0.2550 0.6205 -0.9669D=0.2087 0 0 4.7913 v*D
19、.0.5/vans=0.7559 0.3780 1.1339 1.889847（2）p 是方阵而是方阵而a是标量时是标量时，ap=v*aD/v,其中其中v,D=eig(p).p=1 1;1 2p=1 1 1 2 2pans=2.6398 2.1627 2.1627 4.802548 v,D=eig(p)v=-0.8507 0.5257 0.5257 0.8507D=0.3820 0 0 2.6180 v*2D/vans=2.6398 2.1627 2.1627 4.80254950linv 矩阵求逆矩阵求逆ldet 行列式的值行列式的值leig 矩阵的特征值矩阵的特征值ldiag 对角矩阵对角
20、矩阵 l 矩阵转置矩阵转置lsqrt 矩阵开方矩阵开方5.矩阵的其它运算矩阵的其它运算 516.矩阵的一些特殊操作矩阵的一些特殊操作l矩阵的变维矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)l矩阵的变向矩阵的变向 rot90:旋转旋转;fliplr:左右翻左右翻;flipud:上下翻上下翻l矩阵的抽取矩阵的抽取 diag:抽取主对角线抽取主对角线;tril:抽取主下三角抽取主下三角;triu:抽取主上三角抽取主上三角l矩阵的扩展矩阵的扩展52关系运算 关系符号关系符号意义意义=小于小于小于或等于小于或等于大于大于大于或等于大于或等于等于等
21、于不等于不等于53逻辑运算 逻辑符号逻辑符号意义意义与（与（AND）或（或（OR）非（非（NOT）54关系函数和逻辑函数函数名函数名功能功能函数名函数名功能功能all是否为全是否为全1矩阵矩阵isinf是否无穷大是否无穷大any找非零元素找非零元素isnan是否非值是否非值exist存在性与类别存在性与类别issparse是否稀疏是否稀疏find找非零元素找非零元素isstr是否字串是否字串isempty是否为空是否为空isglobal是否全局是否全局isfinite是否有限是否有限xor(x,y)异或运算异或运算55matlab语言把多项式表达成一个行向量，语言把多项式表达成一个行向量，该向
22、量中的元素是按多项式降幂排列的。该向量中的元素是按多项式降幂排列的。f(x)=anxn+an-1xn-1+a0 可用行向量可用行向量 p=an an-1 a1 a0表示表示1.poly2sym 由系数行向量产生多项式由系数行向量产生多项式六、多项式运算 56例例:p=1-5-4 3-2 1;y=poly2sym(p)y=x5-5*x4-4*x3+3*x2-2*x+1p是多项式是多项式p(x)=x5-5x4-4x3+3x2-2x+1的的matlab描述方法，我们可用：描述方法，我们可用：p1=polyval(p,x)函数文件，求数学多项函数文件，求数学多项式在式在x点的值点的值.p1=polyv
23、al(p,6)p1=529572.roots 求多项式的根使用使用roots函数函数p=1 2 3 4;r=roots(p)r=-1.6506 -0.1747+1.5469i -0.1747-1.5469i58当然我们可用当然我们可用poly由根矢量返回多项式形由根矢量返回多项式形式式p2=poly(r)p2=1.00 -6.00 -72.00 -27.00lmatlab规定多项式系数向量用行向量表规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。示，一组根用列向量表示。593.conv多项式乘运算例例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5
24、x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6)c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p=4 x4+13 x3+28 x2+27 x+18604.deconv多项式除运算a=1 2 3;c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00d=deconv(c,a)d=4.00 5.00 6.00d,r=deconv(c,a)余项余项c除除a后的整项后的整项615.多项式微积分matlab提供了提供了polyder函数多项式的微分。函数多项式的微分。命令格式：命令格式：polyder(p
25、):求求p的微分的微分例：例：a=1 2 3 4 5;poly2str(a,x)ans=x4+2 x3+3 x2+4 x+5b=polyder(a)b=4 6 6 4poly2str(b,x)ans=4 x3+6 x2+6 x+462polyint求多项式函数的不定积分：求多项式函数的不定积分：命令格式：命令格式：p=polyint(a):求求a的不定积分，常数项为的不定积分，常数项为0例：例：a=1 2 3 4 5;poly2str(a,x)ans=x4+2 x3+3 x2+4 x+5b=polyint(a)b=0.2000 0.5000 1.0000 2.0000 5.0000 0poly
26、2str(b,x)lans=0.2 x5+0.5 x4+x3+2 x2+5 x63七、代数方程组求解matlab中有两种除运算左除和右除。中有两种除运算左除和右除。对于方程对于方程ax=b，a 为为anm矩阵，有三种情矩阵，有三种情况：况：当当n=m时，此方程成为时，此方程成为“恰定恰定”方程方程 当当nm时，此方程成为时，此方程成为“超定超定”方程方程 当当nm时，此方程成为时，此方程成为“欠定欠定”方程方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上定义的除运算可以很方便地解上述三种方程述三种方程641.恰定方程组的解方程方程ax=b(a为非奇异为非奇异)x=a-1 b 矩阵逆矩阵逆两种解两
27、种解:lx=inv(a)b 采用求逆运算解方程采用求逆运算解方程 lx=ab 采用左除运算解方程采用左除运算解方程 65方程方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=ab x=x=2.00 2.00 3.00 3.00322121xx138 =a x =b例:x1+2x2=8 2x1+3x2=13662.超定方程组的解方程方程 ax=b,mn时此时不存在唯一解。时此时不存在唯一解。方程解方程解(a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一用最小二乘法找一 个准确地基本解。个准确地基本解。定理定理:当当RTR可
28、逆时，以上超定方程组存在最小二乘解可逆时，以上超定方程组存在最小二乘解.67例例:x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;解解1 x=ab 解解2 x=inv(a a)a b x=x=1.00 1.00 0 0.00 21xx321 =433221 a x =b683.欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时当方程数少于未知量个数时,即不定即不定情况情况,有无穷多个解存在。有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：可求出两个解：l用除法求的解用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最多零元素的解l是具有最小长度或范数的解，这个解是基
29、是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆于伪逆pinv求得的。求得的。69 x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2a=1 2 3;2 3 4;b=1;2;x=ab x=pinv(a)b x=x=1.00 0.83 0 0.33 0 -0.17432321321xxx21=a x =b70八、数据分析与插值函数八、数据分析与插值函数max 各列最大值各列最大值 mean 各列平均值各列平均值sum 各列求和各列求和std 各列标准差各列标准差var 各列方差各列方差sort 各列递增排序各列递增排序71九、拟合与插值1.多项式拟合多项式拟合x0=0:0.1:1；y0=-.447
30、1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22;p=polyfit(x0,y0,3)p=56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,or)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-20246810722.插值插值l插值的定义插值的定义是对某些集合给定的数据点之是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。间函数的估值方法。l当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个
31、非常有价值的工具。是一个非常有价值的工具。lMatlab提供了一维、二维、提供了一维、二维、三次样条等许多三次样条等许多插值选择插值选择73intep1 interp2 spline v利用已知点确定未知点利用已知点确定未知点v粗糙粗糙 精确精确v集合大的集合大的 简化的简化的插值函数插值函数74 本节介绍了本节介绍了matlab语言的数值运算语言的数值运算功能，通过学习应该掌握：功能，通过学习应该掌握：如何创建数组如何创建数组,矩阵矩阵符号的用法符号的用法矩阵及数组运算矩阵及数组运算多项式运算多项式运算线性方程组与微分运算线性方程组与微分运算小小 结结75Task例例1 数组与矩阵乘法的对比示例数组与矩阵乘法的对比示例例例2 矩阵的除法与幂运算矩阵的除法与幂运算例例3 基于数值运算的多项式创建、求值、求根乘除法、微基于数值运算的多项式创建、求值、求根乘除法、微积分积分 例例4代数方程组求解代数方程组求解分三种情况，用左除和求逆运算来求解分三种情况，用左除和求逆运算来求解x，判断解是否相，判断解是否相同？并进行分析。同？并进行分析。76思考问题l为什么矩阵在数值运算中那么重要为什么矩阵在数值运算中那么重要?l说明曲线拟合的最小二乘法说明曲线拟合的最小二乘法
