1、在此输入您的封面副标题2020高中数学竞赛辅导课件（联赛版）基础微积分2022-9-2622022-9-263二、多元函数的极限二、多元函数的极限一、多元函数的概念一、多元函数的概念第一讲第一讲 多元函数多元函数2022-9-264一、多元函数的概念一、多元函数的概念中中的的有有关关概概念念（一一）nR欧欧氏氏范范数数.1nTnTnRyyyYxxxX ),(,),(2121设设的的欧欧氏氏范范数数为为定定义义：X niixXXX122121)(),(性性质质：（正正定定性性）且且00,0)1(XXX（齐次性）（齐次性）RXX ,)2(三点不等式）三点不等式）()3(YXYX 2022-9-26
2、5柯柯西西不不等等式式)()()(121221 niiniiniiiyxyx有有YXYX ),(即即证证明明提提示示考考虑虑,R niiiyx12)(0,nRYX 0)()(4)(4121221 niiniiniiiyxyx2022-9-266距距离离.2 niiiyxYXYXd1221)(),(性性质质：,0),(,)1(YXdYX有有),(),()2(XYdYXd),(),(),(,)3(YZdZXdYXdZYX 有有YXYXd 0),(且且),(:YXdYX之之间间的的距距离离为为与与定定义义2022-9-267中中的的收收敛敛点点列列nR.3)(收收敛敛点点列列定定义义：一个确定的点。
3、一个确定的点。中中是是中的点列，中的点列，是是设设nnmRXRmX0),2,1(.00),(0),(XXmXXdmm收收敛敛于于点点则则称称点点列列如如果果距距离离.lim.,00XXXXRXmmmnm 记记作作的的极极限限为为点点列列称称中中的的收收敛敛点点列列是是称称2022-9-268语语言言描描述述：用用N .),(,000XXXXdNmNmm收收敛敛于于点点则则称称点点列列有有时时使使当当存存在在自自然然数数对对任任给给 中中的的有有界界点点列列。是是成成立立，则则称称使使得得若若存存在在正正数数设设nmmnmRXMXMmRX,2,1,TnTmnmmmxxxXxxxX),(,),(0
4、0201021 记记nixxXXimimmm,2,1,limlim00 则则2022-9-269.),(),(,10000邻邻域域的的称称为为则则点点集集为为任任意意正正实实数数中中的的一一个个点点是是设设（邻邻域域）：定定义义 PPPdRPPURPnn ),(),(,10 aaPUn时时当当0P)(a ax中中的的开开集集与与闭闭集集nR.4,2时时当当 n)()(,),(),(2202020 yyxxRyxPU0P xyoa2022-9-2610为为半半径径的的球球内内部部。为为中中心心是是以以时时当当 ,P)zz()yy()xx(R)z,y,x(),P(U,3n0220202030P0z
5、yx2022-9-2611.GP,G),P(U),P(U,GP,RG:20000n的的一一个个内内点点是是则则称称使使若若存存在在某某个个设设（开开集集）定定义义 0PG.,集集合合为为开开集集则则称称这这个个点点都都是是它它的的内内点点如如果果一一个个集集合合的的所所有有的的.,)1(2无无内内点点一一条条直直线线Rl .,)2(2每每一一点点都都是是内内点点整整个个平平面面 R例例12022-9-2612.0,),(:)3(2是是开开集集上上半半平平面面 yRyx.,)4(2是是开开集集则则是是一一条条直直线线clRl .)(:3集集合合称称为为闭闭集集开开集集连连同同其其边边界界构构成成
6、的的闭闭集集定定义义2例例.,:)2(是闭集是闭集带边的矩形带边的矩形dcba.,:)1(是是闭闭集集闭闭区区间间ba.),(:)3(22223是是闭闭集集集集合合azyxRzyx 2022-9-2613.D,DQ,PD,RD)(:5n是是连连通通集集称称则则中中的的连连续续曲曲线线连连接接起起来来都都能能用用完完全全在在内内任任意意两两点点如如果果对对中中的的一一个个集集合合是是设设连连通通集集定定义义DE连连通通集集非非连连通通集集.)1(31通通集集中中的的任任意意非非空空区区间间是是连连例例R.0:)2(22是是连连通通集集“挖挖去去”原原点点全全平平面面RR.0,),()3(222不
7、不是是连连通通集集“剪剪一一条条缝缝”全全平平面面 yRyxRRC2022-9-2614).()(:6或或开开区区域域连连通通的的开开集集称称为为区区域域区区域域定定义义.为为闭闭区区域域开开区区域域添添加加它它的的边边界界称称.),()2(2222是是闭闭域域ayxRyxD .41),()3(222是是闭闭域域 yxRyxE.,)1(41闭闭区区间间是是闭闭域域中中的的任任意意开开区区间间是是区区域域例例R2022-9-2615为为气气态态方方程程它它们们之之间间的的关关系系表表现现的的变变化化而而变变化化体体积积与与依依温温度度强强一一定定质质量量理理想想气气体体的的压压例例.1VTP)0
8、,(),(0 VTTVRTnTVPP.,为为物物理理常常数数其其中中Rn之之间间有有关关系系式式：这这两两边边的的夹夹角角及及和和与与三三角角形形的的两两边边三三角角形形的的面面积积例例AcbS2AbcAcbSSsin21),()0,0(cb)0(AAbc（二）多元函数（二）多元函数2022-9-2616.nf,u,X,f,Rn元元函函数数上上的的一一个个是是定定义义在在则则称称与与之之对对应应都都有有唯唯一一确确定定的的实实数数它它使使每每一一个个如如果果有有一一个个规规则则的的一一个个子子集集是是设设 元元函函数数n定义定义:(多元函数多元函数).)(,),(21的的值值域域叫叫做做的的定
9、定义义域域叫叫做做叫叫做做自自变变量量维维向向量量其其中中fffxxxXnTn )(),()(:21 XxxxfXfun记记作作),(:,:,:2yxfzRDfRD 记记作作二二元元函函数数),(:,:,:3zyxfuRfR 记记作作三三元元函函数数2022-9-2617?3什什麽麽下下列列二二元元函函数数的的图图形形是是例例221)1(yxz 上上半半球球面面旋旋转转抛抛物物面面圆圆锥锥面面马马鞍鞍面面22)2(yxz 22)3(yxz 22)4(yxz .),(的图形是一张曲面的图形是一张曲面二元函数二元函数yxfz 二二元元函函数数的的几几何何意意义义.点点与与它它都都有有且且只只有有一
10、一个个交交的的直直线线轴轴且且通通过过区区域域任任何何一一条条平平行行于于Dz小结小结:2022-9-2618的的图图形形如如下下例例：2222sinyxyxz 2022-9-2619)(的的一一个个子子集集实实数数集集合合轴轴上上的的一一个个点点集集一一元元函函数数的的定定义义域域是是数数R)(2的的一一个个子子集集二二维维空空间间面面上上的的一一个个点点集集二二元元函函数数的的定定义义域域是是平平R的的一一个个子子集集维维空空间间元元函函数数的的定定义义域域是是nRnn2022-9-2620定义域的三种表示法定义域的三种表示法的的定定义义域域。写写出出例例2211yxz.01122 yx）
11、（解解：x1图图示示法法）（2联联立立不不等等式式）（3221111xyxx 221111yxyy 或或变变化化随随xy变变化化随随yx2022-9-2621yx)yxarcsin(z.222例例1,0122 yxyx）定定义义域域：（）（2 y=x122 yxxyxx 2122223）（以以及及2211122xyxx 2022-9-2622222343yxyxz.例例 03041222yxyx）（定定义义域域：(2)2123yx 422 yxxyxx)331013 ）（及及224421xyxx 2243332yxyy)比比较较简简单单)22022-9-2623.zyxzD)z,y,x(fu.
12、围围成成的的区区域域与与是是由由的的定定义义域域例例1422 ：D2211xyx 11 x122 zyx 22yxz 1.2022-9-2624.)(,)(),(),(0,0,0.,)(,)(:000000aPfPPaPfPNPPPPdaPNPfnRPn有有极极限限时时趋趋向向于于则则称称当当恒恒有有的的满满足足使使得得对对任任意意存存在在如如果果对对于于任任给给的的是是一一个个实实数数内内有有定定义义邻邻域域的的某某去去心心在在元元函函数数中中的的一一个个点点是是设设多多元元函函数数的的极极限限定定义义 aPfP)(lim:0P记记作作二、多元函数的极限二、多元函数的极限2022-9-262
13、5).,(lim),0,0(),(),(1002222yxfyxyxyxyxfyx 求求极极限限设设例例解解有有时时因因为为当当,)0,0(),(yx202222xyyxyx ,2,0 只只须须取取故故对对于于任任给给的的,),()0,0(),(0时时 TTTyxyx,yx,20,22222 yxyx所所以以.0),(lim,00 yxfyx由由定定义义xyZ当当2022-9-2626.),(,)0,0(),(2242的的极极限限函函数数时时试试讨讨论论当当例例yxyxyxfyx 解解242)0,0(),(limyxyxkxyyx 因因为为242)0,0(),(2limyxyxxyyx 不不存
14、存在在！所所以以242)0,0(),(lim,yxyxyx 0lim220 kxkxx2121lim0 x2022-9-2627xy0Po P:注注意意可可以以按按各各种种方方式式！趋趋向向于于点点动动点点在在多多元元函函数数中中,0PP.:,0从左右两边从左右两边从右边、从右边、从左边、从左边、的方式只有三种的方式只有三种在一元函数中在一元函数中xx 不不存存在在则则不不存存在在极极限限时时点点或或按按某某种种方方式式趋趋于于不不同同的的数数值值趋趋于于时时的的方方式式趋趋于于点点按按照照两两种种不不同同若若点点换换言言之之)(lim,)(,)(,000PfPfPPfPPPP.,)(,)(l
15、im00aPfPPaPfPP都都是是且且极极限限都都存存在在极极限限时时按按任任意意方方式式趋趋于于点点则则动动点点若若 2022-9-2628),(limlim00yxfyx累次极限累次极限),(limlim00yxfxy或或.),(3242的的累累次次极极限限讨讨论论函函数数例例yxyxyxf 2420lim0yxyxyx 时时，,0limlim24200 yxyxxy002 y0limlim,24200 yxyxyx同同理理解解2022-9-2629 0,00,1sin1sin)(),(xyxyyxyxyxf解解yxyyxfxyxx1sin1sinlim),(lim,000 ),(limlim00yxfxy所所以以不存在不存在不存在不存在再看二重极限再看二重极限yxyxfxy 0),(,000),(,0 yxfxy0),(lim)0,0(),(yxfyx所所以以讨讨论论函函数数例例 4
