1、4.3数列大题-2-3-4-1.求通项公式的常见类型(1)已知an与Sn的关系或Sn与n的关系,利用公式(2)等差数列、等比数列求通项或转化为等差(比)数列求通项.(3)由递推关系式求数列的通项公式.形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.形如an+1=pan+q,等式两边同时加 转化为等比数列求通项.-5-2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消
2、中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.-6-3.数列单调性的常见题型及方法(1)求最大(小)项时,可利用:数列的单调性;函数的单调性;导数.(2)求参数范围时,可利用:作差法;同号递推法;先猜后证法.4.数列不等式问题的解决方法(1)利用数列(或函数)的单调性.(2)放缩法:先求和后放缩;先放缩后求和,包括放缩后成等差(或等比)数列再求和,或者放缩后裂项相消再求和.-7-4.3.14.3.24.3.3考向
3、一考向二考向三4.3.1等差、等比数列的通项及求和等差、等比数列的通项及求和等差、等比数列的通项及求和例1(2013浙江,理18)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.-8-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三解:(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求d及Sn;(2
4、)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.解析:(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(nN*).(2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1).所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,kN*知2m+k-1k+11,-21-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三4.3.2数列的通项及求和求数列的通项及错位相减求和求数列的通项及错位相减求和例1(2018浙江,理20)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5
5、=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.-22-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-23-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-24-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-25-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三解题心得解题心得 求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.-26-4.3.14
6、.3.24.3.3考向一考向二考向三对点训练对点训练1(2012浙江,文19)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足an=4log2bn+3,nN*.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.所以an=4n-1,nN*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,nN*.(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1,nN*.所以Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1,2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n
7、,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,nN*.-27-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-28-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-29-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三解题心得解题心得 先用等差、等比数列的通项与求和公式算出an,Sn,然后发现 可拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得和,注意抵消后所剩余的项一般前后对称.另在比较大小时要进行简单的放缩.-30-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三对点训练对点训练2(2018天津,理18)设an是等
8、比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(nN*),bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*),求Tn;-31-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三(1)解:设等比数列an的公比为q.由a1=1,a3=a2+2,可得q2-q-2=0.因为q0,可得q=2,故an=2n-1.设等差数列bn的公差为d.由a4=b3+b5,可得b1+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16,从而b1=1,d=1,故bn=n.所以,数列an的通项公式为an=2n-1,数列bn的通项
9、公式为bn=n.-32-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三涉及奇偶数讨论的数列求和涉及奇偶数讨论的数列求和例3已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列bn的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列cn的前n项和.d=2,an=2n.对数列bn:当n=1时,b1=T1=21-1=1,当n2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.bn=2n-1.-33-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三(2)cn=(-1)n(anbn+ln Sn)
10、=(-1)nanbn+(-1)nln Sn.ln Sn=ln n(n+1)=ln n+ln(n+1).而(-1)nanbn=(-1)n2n2n-1=n(-2)n,设数列(-1)nanbn的前n项和为An,数列(-1)nln Sn的前n项和为Bn,则An=1(-2)1+2(-2)2+3(-2)3+n(-2)n,则-2An=1(-2)2+2(-2)3+3(-2)4+n(-2)n+1,-34-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三当n为偶数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);
11、当n为奇数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+ln(n+1)=-ln(n+1)-ln 1=-ln(n+1).由以上可知,Bn=(-1)nln(n+1).-35-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三对点训练对点训练3已知函数f(x)=4x,4,f(a1),f(a2),f(an),2n+3(nN*)成等比数列.(1)求数列an的通项公式;-36-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-37-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-38-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三4.3.3数列中的证明及
12、存在性问题等差等差(比比)数列的证明与判断数列的证明与判断(1)求a1,a2;(2)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;(3)如果数列bn满足an=log2bn,试证明数列bn是等比数列,并求其前n项和Tn.-39-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-40-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三解题心得解题心得 1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.(2)通项公式法:若an=kn+b(nN*),则an为等差数列;若an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若 =a
13、n-1an+1(nN*,n2),则an为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.-41-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三对点训练对点训练1设数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an+1=Sn+3n(nN*).(1)求证:Sn-3n是等比数列;(2)若an为递增数列,求a1的取值范围.-42-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三(1)证明 an+1=Sn+3n,Sn+1=2Sn+3n.Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)
14、.a13,数列Sn-3n是首项为a1-3,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)得,Sn-3n=(a1-3)2n-1.Sn=(a1-3)2n-1+3n.当n2时,an=Sn-Sn-1=(a1-3)2n-2+23n-1.an为递增数列,当n2时,(a1-3)2n-1+23n(a1-3)2n-2+23n-1,a2=a1+3a1,a1的取值范围是(-9,+).-43-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-44-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-45-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三解题心得解题心得 要证明数列不等式,首先要进行变形放缩,然后通过迭代、累加等
15、方法得出结论,而且一般情况下,第(1)问的结论可为第(2)问应用.-46-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三对点训练对点训练2(2017浙江,文22)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0 xn+10.当n=1时,x1=10,假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0 xn+1xn(nN*).-48-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,xnxn+1-4xn+1+
16、2xn=-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x0),函数f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,因此 -2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,-49-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-50-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三数列中的存在性问题数列中的存在性问题例3已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.-51-4.3.14.3.2
17、4.3.3考向一考向二考向三(1)证明 由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.因为an+10,所以an+2-an=.(2)解:由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.-52-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三解题心得解题心得 假设推理法:先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.-53-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三-54-4.3.14.3.24.3.3考向一考向二考向三空白演示 在此输入您的封面副标题
