1、微专题微专题 二次函数的交点问题二次函数的交点问题函数微技能函数微技能一、含参解析式一、含参解析式例例1 (1)抛物线抛物线yx2c的对称轴的对称轴为为_，顶点坐标为，顶点坐标为_，抛物线的顶点始终在抛物线的顶点始终在_上，上，在平面直角坐标系中画出草图；在平面直角坐标系中画出草图；例1题图y轴轴(0,c)y轴轴例1题解图(2)已知抛物线已知抛物线yx22xt3，配方后可得解析式为，配方后可得解析式为_，对称轴为直线，对称轴为直线_，顶点坐标为，顶点坐标为_，抛物线的顶点在直线，抛物线的顶点在直线_上，在平面直角坐上，在平面直角坐标系中画出草图；标系中画出草图；例1题图y=(x-1)2+t-4
2、x=1(1,t-4)x=1例1题解图(3)抛物线抛物线y(xh)21的对称轴为直线的对称轴为直线_，顶点坐标为，顶点坐标为_，顶点在直线，顶点在直线_上，在平面直角坐标系中画出草图；上，在平面直角坐标系中画出草图；例1题图x=h(h,1)y=1例1题解图(4)抛物线抛物线y(xt)(xt4)与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是_，在，在x轴上截得的线轴上截得的线段长度为段长度为_，对称轴为直线，对称轴为直线_，顶点在直线，顶点在直线_上，在平面直角上，在平面直角坐标系中画出草图；坐标系中画出草图；(t,0)和和(4+t,0)4x=2+ty=-4例1题图例1题解图(5)抛物线抛物线yx22txt2
3、t，配方后可得解析式为，配方后可得解析式为_，对称轴为直线，对称轴为直线_，顶点坐标为，顶点坐标为_，抛物线的顶点在直线，抛物线的顶点在直线_上，在平面直角上，在平面直角坐标系中画出草图坐标系中画出草图例1题图y=(x-t)2+tx=t(t,t)y=x例1题解图针对含参解析式问题：针对含参解析式问题：1.将一般式转化为顶点式，看对称轴的变化情况；将一般式转化为顶点式，看对称轴的变化情况；2.当对称当对称轴确定但顶点的纵坐标不确定时，抛物线顶点在对称轴上上下移动；轴确定但顶点的纵坐标不确定时，抛物线顶点在对称轴上上下移动；3.当抛物线对当抛物线对称轴不确定时：顶点纵坐标确定，抛物线顶点在平行于称
4、轴不确定时：顶点纵坐标确定，抛物线顶点在平行于x轴的直线上左右移动；轴的直线上左右移动；顶点纵坐标不确定，抛物线顶点在直线上移动顶点纵坐标不确定，抛物线顶点在直线上移动满 分 技 法满 分 技 法二、找临界点二、找临界点例例2 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数中，已知二次函数yx2c，点，点A(1，2)，点，点B(3，2)，点点C(2，0)，完成下列问题：，完成下列问题：(1)二次函数图象经过点二次函数图象经过点A时，时，c的值为的值为_；图象；图象经过点经过点B时，时，c的值为的值为_；当顶点在线段；当顶点在线段AB上时，上时，c的值为的值为_；当图象与线段；当图象与线
5、段AB有且仅有一个交点，有且仅有一个交点，则则c的取值范围是的取值范围是_；与线段；与线段AB有两个交点时，有两个交点时，c的取值范围为的取值范围为_；例2题图1-72c=2或或-7c11c2(2)经过点经过点B的双曲线的双曲线 的解析式为的解析式为_，当横坐标分别为，当横坐标分别为2和和4时，双曲线上时，双曲线上点的坐标为点的坐标为_和和_，当二次函数，当二次函数yx2c分别经过以上两点时，分别经过以上两点时，c的值分的值分别为别为_；当二次函数；当二次函数yx2c与经过点与经过点B的双曲线的双曲线 有且仅有一个有且仅有一个交点，则交点，则c的取值范围为的取值范围为_；(3)已知直线已知直线
6、BC的解析式为的解析式为 ，当横坐标分别为，当横坐标分别为2和和2时，直线上这两点的纵时，直线上这两点的纵坐标分别为坐标分别为_和和_；若二次函数；若二次函数yx2c分别经过上面两点时，分别经过上面两点时，c的值的值分别为分别为_和和_；当二次函数；当二次函数yx2c图象的顶点在直线图象的顶点在直线BC上时，上时，c的值的值为为_；当二次函数；当二次函数yx2c(2x2)的图象与直线的图象与直线BC有一个交点，则有一个交点，则c的取值范围为的取值范围为_，并说明理由，并说明理由=kyx()=24kyxx=+2455yx6yx=(2,3),342骣琪琪桫2912-、-2912c-085-4125
7、-45=412455cc-或或-理由：直线理由：直线BC的解析式为的解析式为 当当x2时，时，y0，当，当x2时，时，；当二次函数；当二次函数yx2c图象经过点图象经过点(2，0)时，时，可得可得4c0，解得，解得c4，当二次函数，当二次函数yx2c经过点经过点 时，可得时，可得 ，解，解得得 ；当顶点在直线；当顶点在直线BC上时，上时，；当二次函数当二次函数yx2c(2x2)的图象与直线的图象与直线BC有一个交点时，有一个交点时，2455yx=+85y=,825骣琪琪桫845c+=125c=-45c=412455cc=-或或-例例3 已知二次函数已知二次函数y(xh)21.点点A(1，2)，
8、点，点B(3，2)，点，点C(2，0)，完成下，完成下列问题：列问题：(1)当二次函数的图象经过点当二次函数的图象经过点A时，时，h_，当经过点，当经过点B时，时，h_，若二次函数的图象与线段，若二次函数的图象与线段AB有唯一公共点，则有唯一公共点，则h的取值范的取值范围为围为_；(2)当二次函数的图象经过点当二次函数的图象经过点C时，时，h_，若二次函数的图象与线段，若二次函数的图象与线段BC有两有两个公共点，则个公共点，则h的取值范围为的取值范围为_；例3题图3131-或或-3333+-或或31313333hh-+或或31-或或-133h-(3)过点过点A的双曲线的双曲线 的解析式为的解析
9、式为_，点，点(5，y1)和点和点(1，y2)在反比例函在反比例函数的图象上，则数的图象上，则y1_，y2_，当二次函数，当二次函数y(xh)21经过点经过点(5，y1)时，时，h_，经过点，经过点(1，y2)时，时，h_，若二次函数，若二次函数y(xh)21(5x1)的图象与的图象与 仅有一个交点，则仅有一个交点，则h的取值范围为的取值范围为_，并说明理由，并说明理由=kyx()=0kyxx2yx=-25235355555-或或-3 13 1-或或-3535553 13 155hh-或或-理由：将理由：将A(1，2)代入双曲线代入双曲线 中得中得k2，双曲线为双曲线为 ，.当二次函数当二次函
10、数y(xh)21的右侧图象经过点的右侧图象经过点 时，时，此时与双曲线只有一个交点，当二次函数左侧图象经过点，此时与双曲线只有一个交点，当二次函数左侧图象经过点 ，此时二次函数与双曲线有两个交点，此时二次函数与双曲线有两个交点，当当 时有一个交点，时有一个交点，=kyx2yx=-12222,2551yy-=-25,5骣琪-琪桫3555h=-25,5骣琪-琪桫3555h=-35355555h-当二次函数当二次函数y(xh)21的右侧图象经过点的右侧图象经过点(1，2)时，时，此时与双曲线，此时与双曲线有两个交点，当二次函数左侧图象经过点有两个交点，当二次函数左侧图象经过点(1，2)，此时二次函数
11、与双曲，此时二次函数与双曲线有一个交点，线有一个交点，h再变大时就无交点，再变大时就无交点，当当 时有一个交点，时有一个交点，如解图所示，综上所述，如解图所示，综上所述，3 1h=-=3 1h-3 13 1h-3535553 13 155hh-或或-例3解图例例4(2020万唯河北大模考万唯河北大模考)对于题目：在平面直角坐标系中，直线对于题目：在平面直角坐标系中，直线 分别分别与与x轴、轴、y轴交于轴交于A、B两点，过点两点，过点A且平行且平行y轴的直线与过点轴的直线与过点B且平行且平行x轴的直线相交于轴的直线相交于点点C，若抛物线，若抛物线yax22ax3a(a0)与线段与线段BC有唯一公
12、共点，求有唯一公共点，求a的取值范围甲的取值范围甲的计算结果是的计算结果是 ；乙的计算结果是；乙的计算结果是 ，则，则(D)A.甲的结果正确甲的结果正确B.乙的结果正确乙的结果正确C.甲与乙的结果合在一起正确甲与乙的结果合在一起正确D.甲与乙的结果合在一起也不正确甲与乙的结果合在一起也不正确类型一线段与抛物线的交点问题类型一线段与抛物线的交点问题4-45yx=+13a 4-3a 数 据 再 现数 据 再 现满分满分平均平均分分得分率得分率 各选项选答比例各选项选答比例ABCD未选未选30.7738.61%8.73%9.81%42.69%38.61%0.15%数据解读：此题的失分率较高，从学生的
13、错误答案来看，最大的干扰项为数据解读：此题的失分率较高，从学生的错误答案来看，最大的干扰项为C，这部，这部分学生忽略了当抛物线顶点在线段分学生忽略了当抛物线顶点在线段BC上时，抛物线与线段上时，抛物线与线段BC也有唯一公共点这一也有唯一公共点这一情况，此时求出来情况，此时求出来a1，对于交点问题在分析时应考虑全面，切勿漏解，对于交点问题在分析时应考虑全面，切勿漏解1.已知点已知点A(1，1)，点，点B(1，1)，若抛物线，若抛物线yx2axa1与线段与线段AB有两个不同有两个不同的交点的交点(包含线段包含线段AB端点端点)，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是()A.B.C.D.3-12a
14、3-12a3-12a3-12aA针 对 训 练针 对 训 练2.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，二次函数中，二次函数yx22mx1的图象与的图象与y轴的交点为轴的交点为A，将点，将点A向右平移向右平移4个单位长度得到点个单位长度得到点B.(1)直接写出点直接写出点A与点与点B的坐标；的坐标；(2)求出抛物线的对称轴求出抛物线的对称轴(用含用含m的式子表示的式子表示)；第2题图解：解：(1)A(0，1)，B(4，1)；解：解：(2)二次函数的对称轴为直线二次函数的对称轴为直线22mxm-=-=解：解：(3)如解图，当如解图，当m0时，二次函数的解析式为时，二次函数的解析式为yx21，此
15、时二次函数的图象与线段此时二次函数的图象与线段AB恰有一个公共点恰有一个公共点(0，1)；当当m0时，二次函数的图象与线段时，二次函数的图象与线段AB恰有一个公共点恰有一个公共点(0，1)；当当m0时，当二次函数时，当二次函数yx22mx1经过点经过点B(4，1)时，时，代入解得代入解得m2，当，当m变大时，二次函数图象向右移动，与变大时，二次函数图象向右移动，与线段线段AB只有一个公共点只有一个公共点(0，1)，m2.m的取值范围为的取值范围为m0或或m2.第2题解图(3)若二次函数若二次函数yx22mx1的图象与线段的图象与线段AB恰有一个公共点，求恰有一个公共点，求m的取值范围的取值范围
16、例例5(2018河北河北16题题2分分)对于题目对于题目“一段抛物线一段抛物线L：yx(x3)c(0 x3)与直线与直线l：yx2有唯一公共点若有唯一公共点若c为整数，确定所有为整数，确定所有c的值的值”甲的结果是甲的结果是c1，乙的结果是，乙的结果是c3或或4，则，则()A.甲的结果正确甲的结果正确 B.乙的结果正确乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确甲、乙的结果合在一起也不正确类型二直线与抛物线的交点问题类型二直线与抛物线的交点问题D【思维教练】抛物线与一次函数的交点问题，最常规的方法是联立方程，得到一元二【思维教练】抛物线
17、与一次函数的交点问题，最常规的方法是联立方程，得到一元二次方程，根据一元二次方程有两个相等的根时判别式值为次方程，根据一元二次方程有两个相等的根时判别式值为0求出求出c的值，因为抛物线的的值，因为抛物线的对称轴是定的，顶点的纵坐标在变化，所以图象是沿对称轴上下移动的，则应考虑当对称轴是定的，顶点的纵坐标在变化，所以图象是沿对称轴上下移动的，则应考虑当抛物线图象在直线上方时，找出临界点，将其坐标代入抛物线即可求得抛物线图象在直线上方时，找出临界点，将其坐标代入抛物线即可求得c的取值范围，的取值范围，切记题目求的是所有切记题目求的是所有c的整数的整数3.已知二次函数已知二次函数yx2x6及一次函数
18、及一次函数yxm，将该二次函数在，将该二次函数在x轴上方的图轴上方的图象沿象沿x轴翻折到轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示如图所示)，当直，当直线线yxm与新图象有与新图象有4个交点时，个交点时，m的取值范围是的取值范围是()A.B.C.D.第3题图2534m-2524m-23m-62m-0)个单位后得到个单位后得到的图象记为的图象记为G，同时将，同时将(2)中得到的直线中得到的直线ykx5(k0)向上平移向上平移n个单位，当平移后的个单位，当平移后的直线与图象直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出有公共点时，请结合图象
19、直接写出n的取值范围的取值范围(3)2n5.【解法提示】如解图，设平移后的直线的解析式为【解法提示】如解图，设平移后的直线的解析式为y5x5n，点点C平移后的坐标为平移后的坐标为C(n，3)，点，点B平移后的坐标为平移后的坐标为B(3n，0)，当点当点C落在直线落在直线y5x5n上时，上时，35n5n，解得，解得n2，当点当点B落在直线落在直线y5x5n上时，上时，05(3n)5n解得解得n5，观察图象可知，满足条件的观察图象可知，满足条件的n的取值范围为的取值范围为2n5.第4题解图例例6 在平面直角坐标系中，二次函数在平面直角坐标系中，二次函数yx22kx1k2(k为常数为常数)与反比例与
20、反比例函数函数 的图象如图所示，的图象如图所示，P(2，y1)，Q(6，y2)是反比例函数图象上的两点，是反比例函数图象上的两点，记记P、Q两点间的曲线部分为两点间的曲线部分为PQ，若二次函数的图象与，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则有两个公共点，则k的取值的取值范围是范围是()A.B.C.D.类型三双曲线与抛物线的交点问题类型三双曲线与抛物线的交点问题()60yxx=-例6题图462k-062k+04k6262k-+A【思维教练】将点【思维教练】将点P，Q的横坐标代入反比例函数解析式，求得点的横坐标代入反比例函数解析式，求得点P，Q的坐标，当二次函数的左侧图象经过点的坐标，当二次函数的
21、左侧图象经过点P，右侧图象经过点，右侧图象经过点Q时，此时二次函数图象与曲线时，此时二次函数图象与曲线PQ有两个公共点，将其坐标代入二有两个公共点，将其坐标代入二次函数解析式即可求解次函数解析式即可求解5.如图，曲线如图，曲线BC是反比例函数是反比例函数 图象的一部分，其中图象的一部分，其中B(4，1m)，C(6，m)，抛物线，抛物线yx22bx的顶点记作的顶点记作A.(1)求求k的值；的值；()46kyxx=第5题图解：解：(1)B(4，1m)，C(6，m)在反比例函数在反比例函数的图象上，的图象上，k4(1m)6(m)，解得解得m2，k41(2)12；kyx=针 对 训 练针 对 训 练(
22、2)判断点判断点A是否能与点是否能与点B重合；重合；解：解：(2)m2，B(4，3)抛物线抛物线yx22bx(xb)2b2，A(b，b2)若点若点A与点与点B重合，则有重合，则有b4，且，且b23，显然不成立，显然不成立，点点A不能与点不能与点B重合；重合；(3)若抛物线与曲线若抛物线与曲线BC有交点，求有交点，求b的取值范围的取值范围解：解：(3)当抛物线经过点当抛物线经过点B(4，3)时，有时，有3422b4，解得解得此时抛物线右半支经过点此时抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点当抛物线经过点C(6，2)时，有时，有2622b6，解得解得这时仍是抛物线右半支经过点这时仍是抛物线右半支经过点C，b的取值范围为的取值范围为=198b191986b=196b
