1、.l现金流量、资金时间价值概念l单利、复利如何计息；l将来值、现值、年值的概念及计算；l名义利率和有效利率的关系，计算年有效利率；l利用利息公式进行等值计算.l 1.资金的时间价值资金的时间价值l 指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的推移会得到货币增值。推移会得到货币增值。l增值的原因是由于货币的投资和再投资。投资就是增值的原因是由于货币的投资和再投资。投资就是为了在未来获得更大的回收而对目前的资金进行某为了在未来获得更大的回收而对目前的资金进行某种安排，未来的回收应
2、当超过现在的投资，种安排，未来的回收应当超过现在的投资，即预期即预期的价值增长才能刺激人们从事投资。的价值增长才能刺激人们从事投资。l资金一旦用于投资，就不能消费。从消费者角度看，资金一旦用于投资，就不能消费。从消费者角度看，资金的时间价值体现为放弃现期消费的损失所得到资金的时间价值体现为放弃现期消费的损失所得到的必要补偿。的必要补偿。.资金时间价值的表现形式资金时间价值的表现形式在市场经济的条件下，资金增值有两种主要方式：一种是将现有资金存入银行，可以取得利息；一种是将现有资金用于生产建设，可以取得利润。资金增值示意图资金增值示意图.资金时间价值在经济计算中的作用资金时间价值在经济计算中的作
3、用考察一笔资金的价值时考虑资金时间价值考虑资金时间价值？静态的计算方法NOYES动态的计算方法数量？时间？.l 通常用货币单位来计量工程技术方案的通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，我们在经济分析时就主要着眼于方案得失，我们在经济分析时就主要着眼于方案在在整个寿命期整个寿命期内的货币收入和支出的情况，内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支出称之为这种货币的收入和支出称之为现金流量现金流量(Cash Flow)。.2.现金流量图（现金流量图（cash flow diagram)描述现金流量作为时间函数的图形，它描述现金流量作为时间函数的图形，它 能能 表示资金在不同时间点流入与流出的情
4、况。表示资金在不同时间点流入与流出的情况。是资金时间价值计算中常用的工具。是资金时间价值计算中常用的工具。大大 小小流流 向向 时间点时间点现金流量图的三大要素现金流量图的三大要素.300400 时间时间2002002001 2 3 4现金流入现金流入 现金流出现金流出 0 说明：说明：1.水平线是时间标度，时间的推移是水平线是时间标度，时间的推移是自左向右自左向右，每一格代表一个时间单位（年、月、日）；每一格代表一个时间单位（年、月、日）；2.箭头表示现金流动的方向：箭头表示现金流动的方向：向上向上现金的流入，现金的流入，向下向下现金的流出；现金的流出；3.现金流量图与立足点有关。现金流量图
5、与立足点有关。.注意：注意：1.第一年年末的时刻点同时也表示第二年年第一年年末的时刻点同时也表示第二年年 初。初。2.立足点不同立足点不同,画法刚好相反。画法刚好相反。3.净现金流量净现金流量=现金流入现金流入 现金流出现金流出 4.现金流量只计算现金流量只计算现金收支现金收支(包括现钞、转帐包括现钞、转帐支票等凭证支票等凭证),不计算项目内部的现金转移不计算项目内部的现金转移(如如折旧等折旧等)。.货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小大小有关，而且与发生的有关，而且与发生的时间时间有关。由于货币的时间价有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间
6、上发生的现金流量无法直接值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。.l（1）投资时间不同的方案评价。例如，是早投资还是晚投资，是集中投资还是分期投资？l（2）投产时间不同的方案评价。例如，是早投产还是晚投产，是分期投产还是一次投产？l（3）使用寿命不同的方案评价l（4）各年经营费用不同的方案评价。如有的方案前期经营费用大，后期小；有的方案前期费用小，后期费用大。.l例如例如，有一个总公司面临两个投，有一个总公司面临两个投资方案资方案A A、B B，寿命期都是，寿命期都是4 4年，年，初始投资也相同，均
7、为初始投资也相同，均为1000010000元。元。实现利润的总数也相同，但每年实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据见表数字不同，具体数据见表1 1一一1 1。如果其他条件都相同，我们如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案呢应该选用那个方案呢?.年末年末A方案方案B方案方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000.另有两个方案另有两个方案C和和D，其他条件相同，仅现金，其他条件相同，仅现金流量不同。流量不同。3000 3000 3000 方案方案D 3000 3000 30006000 1 2 3 4 5 6方
8、案方案C 0 1 2 3 4 5 60 3000 3000 .0 1 2 3 4 400 0 1 2 3 4 方案F 方案E 200 200 200 100 200 200 300 300 400 从现金流量的从现金流量的绝对绝对数数看，方案看，方案E比方案比方案F好好;但从货币的但从货币的时间时间价值价值看，方案看，方案F似乎似乎有它的好处。有它的好处。.3.利息利息在借贷过程中，债务人支付给债权人的超过在借贷过程中，债务人支付给债权人的超过原借款本金的部分就是利息，用原借款本金的部分就是利息，用“I”表示。在工程经表示。在工程经济学中，利息是指占用资金所付的代价或者是放弃近济学中，利息是指
9、占用资金所付的代价或者是放弃近期消费所得的补偿。期消费所得的补偿。4.利率利率在单位时间内所得利息与借款本金之比，用在单位时间内所得利息与借款本金之比，用“i”表示表示。每单位时间增加的利息每单位时间增加的利息 原金额（本金）原金额（本金）100%利率利率=计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用季度来计算，用“n”表示。表示。.l（1）社会平均利润率（利润率高于利率借款人才可能借款）l（2）金融市场上借贷资本的供求状况l（3）银行所承担的贷款风险l（4）通货膨胀率（资金贬值可能会使实际利率无形中成为负值）l（5）借出资本的期限长短.二
10、二、利息公式利息公式（一）（一）利息的种类利息的种类 设：设：I利息利息 P本金本金 n 计息期数计息期数 i利率利率 F 本利和本利和单利单利复利复利1.单利单利每期均按原始本金计息（利不生利）每期均按原始本金计息（利不生利）I=P i n F=P（1+i n）则有则有.例题例题1：假如以年利率：假如以年利率6%借入资金借入资金1000元元,共共借借4年年,其偿还的情况如下表其偿还的情况如下表年年年初欠款年初欠款年末应付利息年末应付利息年末欠款年末欠款 年末偿还年末偿还110001000 0.06=6010600210601000 0.06=6011200311201000 0.06=601
11、1800411801000 0.06=6012401240.2 复利复利利滚利利滚利F=P(1+i)nI=F-P=P(1+i)n-1公式的推导如下公式的推导如下：P(1+i)2P(1+i)n-1 P(1+i)n 1 PPiP(1+i)2P(1+i)P(1+i)in1P(1+i)n-2P(1+i)n-2 i n P(1+i)n-1P(1+i)n-1 i.例题例题2：假如以年利率假如以年利率6%借入资金借入资金1000元元,共借共借4年年,其偿还的情况如下表其偿还的情况如下表年年10001000 0.06=601060010601060 0.06=63.601123.6001123.601191.
12、0201191.021262.481262.481123.60 0.06=67.421191.02 0.06=71.46.l（1）什么叫资金的时间价值?l（2）画现金流量图时要注意哪些问题？l（3）单利计算与复利计息的根本区别是什么?.（二）复利计息利息公式（二）复利计息利息公式 以后采用的符号如下以后采用的符号如下 i i 利率；利率；n n 计息期数；计息期数；P P 现在值，即相对于将来值的任何较早时间的价值；现在值，即相对于将来值的任何较早时间的价值；F F 将来值，即相对于现在值的任何以后时间的价值；将来值，即相对于现在值的任何以后时间的价值；A A n n次等额支付系列中的一次支付
13、，在各计息期末次等额支付系列中的一次支付，在各计息期末 实现。实现。G等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入等差额（或梯度），含义是当各期的支出或收入 是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或是均匀递增或均匀递减时，相临两期资金支出或 收入的差额。收入的差额。.1.一次支付复利公式一次支付复利公式 0 1 2 3 n 1 n F=？P(已知）已知）(1+i)n 一次支付复利系数一次支付复利系数F=P(1+i)F=P(1+i)n n=P(F/P,i,n)P(F/P,i,n).例如在第一年年初，以年利率例如在第一年年初，以年利率6%投资投资1000元，元，则到第四年年末可得之本利和则到第四年
14、年末可得之本利和 F=P(1+i)n =1000(1+6%)4 =1262.50元元.I=P(1+i)n1=1000(1+10%)31=331 元元解：解：0123年年F=?i=10%1000.2.一次支付现值公式一次支付现值公式),/()1(1niFPFiFPn 0 1 2 3 n 1 n F(已知）已知）P=？.例如年利率为例如年利率为6%，如在第四年年末得到的本利，如在第四年年末得到的本利和为和为1262.5元，则第一年年初的投资为多少？元，则第一年年初的投资为多少？10007921.05.1262%6115.1262)1(14niFP.3.等额支付系列复利公式等额支付系列复利公式),/
15、(1)1(niAFAiiAFn 0 1 2 3 n 1 n F=？A(已知）.F=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1)以以(1+i)乘乘(1)式式,得得 F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1+A(1+i)n (2)(2)(1)，得，得F(1+i)F=A(1+i)n A),/(1)1(niAFAiiAFn.例如连续例如连续5年每年年末借款年每年年末借款1000元，按年利率元，按年利率6%计算，第计算，第5 年年末积累的借款为多少？年年末积累的借款为多少？解：解：)(1.56376371.51000%61%611000),/(1)1(5元niAFA
16、iiAFn.4.等额支付系列积累基金公式等额支付系列积累基金公式),/(1)1(niFAFiiFAn 0 1 2 3 n 1 n F(已知）A=？.l某公司5年后需一次性还一笔200万元的借款，存款利率为10%，从第一年年末起企业每年等额存入银行多少偿债基金？解：A=200（A/F,10%，5）万元 =200*0.1638万元 =32.75万元.5.等额支付系列资金恢复公式等额支付系列资金恢复公式),/(1)1()1(niPAPiiiPAnn 0 1 2 3 n 1 n P(已知）A=？.根据F=P(1+i)F=P(1+i)n n=P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)F=A F=A (1+
17、i)(1+i)n n 1 1i i),/(1)1()1(niPAPiiiPAnnP(1+i)P(1+i)n n=A=A (1+i)(1+i)n n 1 1i i.l某工程初期总投资为某工程初期总投资为1000万元，利率为万元，利率为5%，问在，问在10年内要将总投资连本带息收年内要将总投资连本带息收回，每年净收益应为多少？回，每年净收益应为多少？解：A=1000（A/P，5%，10）=1000*0.1295 =129.5万元.l6.等额支付系列资金恢复公式等额支付系列资金恢复公式),/()1(1)1(niAPAiiiAPnn 0 1 2 3 n 1 n P=？A(已知）.l某工程项目每年获净收
18、益某工程项目每年获净收益100万元，利率万元，利率为为10%，项目可用每年获净收益在，项目可用每年获净收益在6年内年内回收初始投资，问初始投资为多少？回收初始投资，问初始投资为多少？解：解：P=100（P/A，10%，6）万元）万元 =100*4.3553万元万元 =435.53万元万元.l例4：拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10000元，若年利率为10%，现在应投入多少钱？当 时，所以上式可变为(元)11111nnniiPAAiii n 10ni APi 1000010000010%P.7.等差（均匀梯度）系列公式等差（均匀梯度）系列公式均匀增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+G
19、A1+2GA1+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 n.A10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n（3）（n2）GG0 1 2 3 4 5 n1 n2G3G4G（n1）G（2）.一般规定，P 发生在第一年年初，F 发生在第 n 年年末，而 G 发生在每一年的年末。需要注意的是，这个等差系列是从 0 开始的，第 n 年的现金流量为（n1）G。.1 1等差系列终值公式（已知等差系列终值公式（已知 G G 求求 F F）由图可知，该等差序列的终值可以看作是若干不同年数而同时到期的资金总额，则第 n 年年末的终值 F 可以用下式计算：GniGniGiGFnn1
20、12121132等差系列典型现金流量图.niGFGnniAFiGniiiGFn,/,/11niiin111 称为等差系列终值因子，常以符号（FG，i，n）表示。.2 2等差系列现值公式（已知等差系列现值公式（已知 G G 求求 P P）将一次支付终值公式niPF1代入等差系列终值公式消去 F 可得：niiiGFn11.niGPGniFPnniAPiGiniiiiGniiiGiPnnnnn,/,/,/1111 1111nnniniiii11111 称为等差系列现值因子，常以符号（PG，i，n）表示。无限年的公式（n）2iGP.3 3等差系列年值公式（已知等差系列年值公式（已知 G G 求求 A
21、A）即根据 G 求与之等价的年等值系列 A：.代入基金存储公式 11niiFAniiiGFn11将等差系列终值公式 经整理得：niGAGiniGAn,/111111nini 称为等差系列年值因子，常以符号 （AG，i，n）表示。.【例例】有一项水利工程，在最初10年内，效益逐年成等差增加，具体各年效益如下：已知 i7，试问：到第十年末的总效益为多少？（假定效益发生在年末）这十年的效益现值（第一年年初）为多少？这些效益相当于每年均匀获益多少？.解：本例的现金流量图如下：由等差支付系列计算公式的推导过程可知，如果要直接利用这些公式进行计算，就必须满足一定的前提条件，即：系列的第一个值必须为0，现值
22、折算基准点为该系列的第1年（现金流量为0的那一年）的年初。.在图中P100的位置作水平线a（点划线），将等差系列分为两部分：上半部分依然是一个G100的等差系列，且n10年；下半部分成为一个等额系列，且A100，n10。两个系列的计算基准点均为图中的0点。于是，直接使用公式的条件就满足了，只要对两个系列分别进行计算，两部分之和就是原来的等差系列。a.十年后的效益终值为：)(7.68331007.007.0107.010007.0107.01100111111010万元niiiGiiAFnn.十年的效益现值为：)(9.3473 07.011007.0107.007.0107.010007.010
23、7.0107.01100 101010101011111111万元nnnnniniiiiGiiiAP当然，也可以利用一次支付现值公式将终值直接折算为现值：)(9.347307.017.6833101万元niFP.相当于每年均匀获益为：)(6.494107.011007.01100100 11110万元niniGaA.等差递减系列的情况：等差递减系列的情况：.图中递减等差系列（阴影ABC）可以看成是等额系列ABCD减去递增等差系列ACD后的剩余部分，而等额系列和递增等差系列均可用前面已推导得到的公式计算，于是就解决了递减等差系列的计算问题。需注意的是，这三个系列的现值折算基准点均为图中所示的0点
24、，即P所在的位置。.l 运用利息公式应注意的问题注意的问题:l 1.为了实施方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初；l 2.方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末；l 3.本年的年末即是下一年的年初；l 4.P是在当前年度开始时发生；l 5.F是在当前以后的第n年年末发生；l 6.A是在考察期间各年年末发生。当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生；当问题包括F和A时，系列的最后一个A是和F同时发生；l 7.均匀梯度系列中，第一个G发生在系列的第二年年末。.l倒数关系：（P/F i，n）=1/（F/P i，n）（P/A i，n）=1/（A/P i，n）（F/
25、A i，n）=1/（A/F i，n）l 乘积关系：(F/P i,n)(P/A i,n)=（F/A i,n）(F/A i,n)(A/P i,n)=(F/P i,n)(A/F i,n)+i=(A/P i,n).0123n-1nA0123n-1nA=A（1+i）解：11111111,/nnnniiiAiiiiAniAPAP，111111,/1iiAiiiAniAFAFnn，.答案答案:AC012345678AF=?A.F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8)B.F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7)C.F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2)D.F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2)E.
26、F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1).例：下列关于时间价值系数的关系式，表达正例：下列关于时间价值系数的关系式，表达正确的有（确的有（）A（F/A,i,n）=(P/A,i,n)(F/P,i,n)B（F/P,i,n）=(F/P,i,n1)(F/P,i,n2),其中其中n1+n2=nC（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)(P/F,i,n2),其中其中n1+n2=nD（P/A,i,n）=(P/F,i,n)(A/F,i,n)E 1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)答案答案:A B.A （F/P，i1，n1）（F/P，i2，n2）C （F/P，i1，n1）=（F/P，i2，n2）D
27、无法确定两者的关系无法确定两者的关系答案答案:A.借款还本付息的例子：【例例】某人现在借款1000元，在5年内以年利率6还清全部本金和利息，有如表21中的四种偿还方案。.三、名义利率和有效利率三、名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。名义利率和有效利率的概念。当当利率的时间单位利率的时间单位与与计息期计息期不一致时，不一致时，有效利率有效利率资金在计息期发生的实际利率。资金在计息期发生的实际利率。例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%，则则 3%（半年）有效利率（半年）有效利率如上例为如上例为 3%2=6%（年）名义利率（年）名义利率（年
28、）名义利率（年）名义利率=每一计息期的每一计息期的有效利率有效利率 一年中计息期数一年中计息期数.1.离散式复利离散式复利 按期（年、季、月和日）计息的方法。按期（年、季、月和日）计息的方法。如果名义利率为如果名义利率为r,一年中计息一年中计息n次，每次计息的次，每次计息的 利率为利率为r/n，根据一次支付复利系数公式，根据一次支付复利系数公式，年末本利和为：年末本利和为：F=P1+r/nn 一年末的利息为：一年末的利息为：P1+r/nn P 按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率按定义，利息与本金之比为利率，则年有效利率i为：为：111nnnrppnrPi.例：某厂拟向两个银行贷款以扩大
29、生产，甲银例：某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠些？优惠些？解：解：%0755.1611215.0111%1612nnrii乙甲因为因为i乙乙 i甲甲，所以甲银行贷款条件优惠些。，所以甲银行贷款条件优惠些。.例：现投资例：现投资10001000元，时间为元，时间为1010年，年利率为年，年利率为8%8%，每季度计息一次，求每季度计息一次，求1010年末的将来值。年末的将来值。F=？1000 0 1 2 3 40 季度每
30、每季度季度的有效利率为的有效利率为8%4=2%，用年实际用年实际利率求解利率求解:年有效利率年有效利率i为：为：i=（1+2%）41=8.2432%F=1000 F=1000（F/PF/P，8.2432%8.2432%，1010）=2208=2208（元）元）用季度用季度利率求解利率求解:F=1000 F=1000（F/PF/P，2%2%，4040）=1000=10002.2080=22082.2080=2208（元）元）解：.例例:某企业向银行借款某企业向银行借款10001000元元,年利率为年利率为4%,4%,如按如按季度计息季度计息,则第则第3 3年应偿还本利和累计为年应偿还本利和累计为
31、()()元。元。A.1125 B.1120 C.1127 D.1172A.1125 B.1120 C.1127 D.1172F=1000(F/P,1%,4F=1000(F/P,1%,43)3)=1000(F/P,1%,12)=1000(F/P,1%,12)=1127 =1127元元答案答案:C F=？1000 0 1 2 3 12 季度季度解解:.例例:已知某项目的计息期为月已知某项目的计息期为月,月利率为月利率为8 ,则则项目的名义利率为项目的名义利率为()。A.8%B.8 C.9.6%D.9.6解解:（年）名义利率（年）名义利率=每一计息期每一计息期的有效利率的有效利率 一年中计息期数一年
32、中计息期数 所以所以 r=128 =96 =9.6%.例：假如有人目前借入例：假如有人目前借入2000元，在今后元，在今后2年中每月等年中每月等额偿还，每次偿还额偿还，每次偿还99.80元，复利按月计算。试求月有效元，复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。利率、名义利率和年有效利率。解：解：99.802000（A/P，i，24)（A/P，i，24)99.8/2000=0.0499 查表，上列数值相当于查表，上列数值相当于 i1.5月有效利率月有效利率 则则 名义利率名义利率 r1.5 1218 年有效利率年有效利率 i（11.5)12119.56.l2.连续式复利连续式复利按瞬时
33、计息的方式。按瞬时计息的方式。l 在这种情况下，复利可以在一年中按无限在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：多次计算，年有效利率为：111lim11limrrrnnnnenrnri式中：式中：e自然对数的底，其数值为自然对数的底，其数值为2.71828.下表给出了名义利率为下表给出了名义利率为12%分别按不同计息分别按不同计息期计算的实际利率：期计算的实际利率：.名义利率的名义利率的实质实质：当计息期小于一年的当计息期小于一年的利率化为年利率时利率化为年利率时,忽略了时间因素忽略了时间因素,没有计没有计算利息的利息算利息的利息。.四、等值的计算四、等值的计算 （一）等值的
34、概念（一）等值的概念 在某项经济活动中，如果两个方案的经济效在某项经济活动中，如果两个方案的经济效果相同，就称这两个方案是等值的。果相同，就称这两个方案是等值的。例如，在年利率例如，在年利率6%情况下，现在的情况下，现在的300元等值于元等值于8年末的年末的300 (1+0.06)8=478.20元。这两个等值的现金流元。这两个等值的现金流量如下图所示。量如下图所示。478.20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 300 i=6%0 1 2 3 4 5 6 7 8 年 i=6%同一利率下不同时间的货币等值同一利率下不同时间的货币等值.货币等值是考虑了货币的时间价值。货币等值是考虑了货币的
35、时间价值。即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；一定相等；反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。却可能相等。货币的等值包括货币的等值包括三个因素三个因素 金额金额金额发生的时间金额发生的时间利率利率 在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在方案评价、比较中广泛应用。在方案评价、比较中广泛应用。.小结：小结：在工程经济分析中，利用资金等值的概念，可以将发生在不同时期的金额，换算成同一时期的金额，然后再进行评价。在资金等值计算中，把将来
36、某一时点的现金流量换算成现在时点的等值现金流量称为“贴现”或“折现”。通常把将来时点的现金流量经贴现后的现金流量称为“现值”，而把与现值等价的将来时点的现金流量称为“终值”、“期值”或“将来值”。.从利息表上查到，当从利息表上查到，当n=9，1.750落在落在6%和和7%之间。之间。%41.6%1)838.1689.1750.1689.1(%6i6%的表上查到的表上查到1.6897%的表上查到的表上查到1.839从从用直线内插法可得用直线内插法可得(二二)计息期为一年的等值计算计息期为一年的等值计算相同相同有效利率有效利率名义利率名义利率直接计算直接计算 例：当利率为多大时，现在的例：当利率为
37、多大时，现在的300元等值于第元等值于第9年年年年末的末的525元？元？解：解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750.计算表明，当利率为计算表明，当利率为6.41%时，现在的时，现在的300元等值元等值于第于第9年年末的年年末的525元。元。例：当利率为例：当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年的年末等额年的年末等额支付为多少时与第支付为多少时与第6年年末的年年末的10000 等值？等值？A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363 元元/年年 计算表明，当利率为计算表明，当利率为8%时，从现在起连
38、续时，从现在起连续6年年1363 元的年末等额支付与第元的年末等额支付与第6年年末的年年末的10000 等值。等值。解：10000 0 1 2 3 4 5 6 年 i=8%0 1 2 3 4 5 6 年 A=？i=8%.例：当利率为例：当利率为10%时，从现在起连续时，从现在起连续5年年的年末等额支付为的年末等额支付为600元，问与其等值的第元，问与其等值的第0年末的现值为多大？年末的现值为多大？解：解：P=A(P/A,10%,5)=2774.50元元 计算表明，当利率为计算表明，当利率为10%时，从现在起时，从现在起连续连续5年的年的600元年末等额支付与第元年末等额支付与第0年的现值年的现
39、值2274.50元是等值的。元是等值的。(三三)计息期短于一年的等值计算计息期短于一年的等值计算 如计息期短于一年，仍可利用以上的利息如计息期短于一年，仍可利用以上的利息公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三种情况：种情况：.l 1.计息期计息期和和支付期支付期相同相同l 例：年利率为例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，每半年计息一次，从现在起，连续连续3年，每半年为年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第元的等额支付，问与其等值的第0年末的现值为多大？年末的现值为多大？l 解：每计息期的利率解：每计息期的利率%62%12i（每半年一期
40、）（每半年一期）n=(3年年)(每年每年2期期)=6期期 P=A（P/A，6%，6）=100 4.9173=491.73元元 计算表明，按年利率计算表明，按年利率12%，每半年计息一次计算，每半年计息一次计算利息，从现在起连续利息，从现在起连续3年每半年支付年每半年支付100元的等额支付元的等额支付与第与第0年的现值年的现值491.73元的现值是等值的。元的现值是等值的。.2.计息期短于支付期计息期短于支付期 例：按年利率为例：按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，每季度计息一次计算利息，从现在起连续从现在起连续3年的等额年末支付借款为年的等额年末支付借款为1000元，问元，问与其等值的第
41、与其等值的第3年年末的借款金额为多大？年年末的借款金额为多大？解：解：其现金流量如下图其现金流量如下图 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度 F=？100010001000.l 第一种方法第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：量见下图：0 1 2 3 4239 239239 2390 1 2 3 410001000将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）A=F（A/F，3%，4）=10
42、00 0.2390=239元元（A/F，3%，4）.239F=？季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 经转变后计息期与支付期重合（单位：元）经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392元.第二种方法第二种方法：把等额支付的每一个支付看作为一次：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。这个和就是等额支付的实际结果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000 =3392元元
43、%55.121412.01114nnriF=A(F/A,12.55%,3)=1000 3.3923=3392元 第三种方法第三种方法：将名义利率转化为年有效利率，以一：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。年为基础进行计算。年有效利率是年有效利率是.通过三种方法计算表明，按年利率通过三种方法计算表明，按年利率12%，每季，每季度计息一次，从现在起连续三年的度计息一次，从现在起连续三年的1000元等额年末元等额年末借款与第三年年末的借款与第三年年末的3392元等值。元等值。.l【例214】付款情况如图213所示，年利率为8，半年计息一次，计息期内的收付款利息按单利计算，问年末金额是多
44、少？【解】计息期实际利率i=82=4，A1=1001+(5/6)*4%+1501+(3/6)*4%+501+(2/6)*4%+200=507A2=701+(4/6)*4%+1801+(3/6)*4%+801+(1/6)*4%=336F=507(1+4%)+336=863.28.l(3)复利计息 在计息周期内的收付按复利计算，此时，计息期利率相当干“实际利率”，收付周期利率相当于计息期利率”。收付周期利率的计算正好与已知名义利率去求解实际利率的情况相反。收付周期利率计算出来后即可按普通复利公式进行计算。.l【例2-15】某人每月存款100元，期限一年，年利率8，每季计息一次，复利计息，计息期内收
45、付利息按复利计算，问年末他的存款金额有多少?l 【解】据题意绘制现金流量如图2-14所示：.例:求每半年向银行借1400元，连续借10年的等额支付系列的等值将来值。利息分别按:1）年利率为12，年内不计息；2）年利率为12，每半年计息一次；3）年利率12，每季度计息一次，这三种情况计息。01210年28002800140014002800解：1）计息期长于支付期F=14002（F/A,12，10）49136（元）.2）计息期等于支付期F=1400(F/A,12%2，102）51500（元）3）计息期短于支付期F=1400(A/F，3%，2)(F/A，3%，410）52000（元）0123414
46、001400i1243A=1400(A/F,3%,2)季度.例例4:假定现金流量是：第假定现金流量是：第6年年末支付年年末支付300元，元，第第9、10、11、12年末各支付年末各支付60元，第元，第13年年末支年年末支付付210元，第元，第15、16、17年年末各获得年年末各获得80元。按年元。按年利率利率5计息，与此等值的现金流量的现值计息，与此等值的现金流量的现值P为多为多少？少？P=?03006789 10 11 12 13 1415 16 172106080.解：P=300(P/F,5%,6)60(P/A,5%,4)(P/F,5%,8)210(P/F,5%,13)+80(P/A,5%
47、,3)(P/F,5%,14)=3000.716260 3.5456 0.6768210 0.5303 +80 2.7232 0.5051 =369.16 也可用其他公式求得 P=300(P/F,5%,6)60(F/A,5%,4)(P/F,5%,12)210(P/F,5%,13)+80(F/A,5%,3)(P/F,5%,17)=3000.746260 4.3101 0.5568210 0.5303 +80 3.153 0.4363 =369.16.l例：某项工程第一年投资 1000万元，l年后又投资 1500万元，2年后再投入 2000万元，第3年建成投产。投资全部由一银行贷款，年利率为8。贷款
48、从第三年开始每年年末等额偿还，还款期10年。问每年应偿还银行多少万元？解：方案投产年年初的总投资额为：P1000（FP，8，2）+1500（FP，8，l）+2000 100011664 15001080 2000 47864（万元）AP（AP，8，10）47864 01490 71311（万元）012312A=?100015002000.l例：某企业每年将一笔款项存入银行欲建立一笔专用基金。该专用基金预计用途是：自第10年年末起，连续3年各提2万元。如果银行存款利率为8，那么10年中每年年末应等额存入银行多少元？解：将专用基金折算为第10年末的价值：F 20 000 20 000（PF，8，l
49、）+20 000（PF，8，2）20 000 20 000 0.9259 20 000 0.8573 20000 18 518 17 146 55 664（元）AF（AF，8，10）55 664 0.06903 3842.49元.l(一）若P，F，i已知，求n=?l由公式：，可求得nipF)1()0()1lg(lglg)1lg(lglgi iPFninPF.l例 银行现行年利率为3.6，若今年初存入7万元，需存多少年才能得到10万元。l解：年年10084.10)036.01lg(7lg10lg)1lg(lglgiPFn.l由公式nniiiAP)1(1)1(nnniiiAiP)1(11)1(1)
50、1(APiAAiPin1)1(1)lg(lg)1lg(iPAAin)1lg()lg(lgiiPAAn.l例 今年初借款100万元，每年末还12万元，年利率为9，多少年可以还清？l解：)1lg()lg(lgiiPAAn年年16086.16)09.01lg()09.010012lg(12lgn)1lg()lg(lgiiPAAn年年16086.16)09.01lg()09.010012lg(12lgn.l例 某企业贷款200万元，建一工程，第二年底建成投产，投产后每年收益40万元。若年利10，问在投产后多少年能归还200万元的本息。l解：以第二年年末为基准期，万元242%)101(*20022F年7
