1、电力系统计算机辅助分析潮流计算潮流计算1课程内容安排潮流计算的目的意义准备知识：交流电路潮流计算的数学模型潮流计算的工程化技术2潮流计算的目的意义潮流计算的目的意义 稳态分析的基础稳态分析的基础按时间尺度分类电力系统的动态uss电力系统各个元件中电场和磁场以及相应的电压和电流的变化过程电磁暂态电磁暂态s15s发电机和电动机电磁转矩变化引起的电机转子机械运动变化过程 机电暂态机电暂态新的稳态新的稳态旧的稳态旧的稳态所有由扰动导致的动态过程都结束了，电力系统恢复到一个新的稳定平衡点。min3 从数学建模的角度从数学建模的角度阐述阐述暂态过程暂态过程为何为何细分为电磁暂态细分为电磁暂态和机电暂态和机
2、电暂态？快慢动态解耦快慢动态解耦，对一个系统的动态过程进行描述时，对一个系统的动态过程进行描述时，一般分别描述其快动态过程和慢动态过程一般分别描述其快动态过程和慢动态过程。在考虑快在考虑快动态过程时，忽略慢动态过程，将慢动态状态量简化动态过程时，忽略慢动态过程，将慢动态状态量简化为恒定参数；在考虑慢动态过程时，忽略快动态过程为恒定参数；在考虑慢动态过程时，忽略快动态过程，将描述快动态的微分方程退化为代数方程。，将描述快动态的微分方程退化为代数方程。电力系统是一个包含多个时间尺度动态过程的混合大电力系统是一个包含多个时间尺度动态过程的混合大系统。如发电机同时包含转子的机械动态和绕组线圈系统。如发
3、电机同时包含转子的机械动态和绕组线圈的电磁动态的电磁动态等等。一般而言，电磁动态在时间尺度上要。一般而言，电磁动态在时间尺度上要远快于机械动态，即电感线圈内电流的变化要远快于远快于机械动态，即电感线圈内电流的变化要远快于发电机转子转速变化。发电机转子转速变化。正是基于快慢动态解耦的数学建模思想，仅描述电磁正是基于快慢动态解耦的数学建模思想，仅描述电磁动态而忽略机械动态的暂态分析为电磁暂态；仅描述动态而忽略机械动态的暂态分析为电磁暂态；仅描述机械动态而忽略电磁动态的暂态分析为机电暂态。机械动态而忽略电磁动态的暂态分析为机电暂态。4忽略动态过程忽略动态过程潮流计算的目的意义潮流计算的目的意义 稳态
4、分析的基础稳态分析的基础忽略动态过程，求解代数方程，确定平衡点平衡点平衡点运动过程运动过程平衡点平衡点0,yxfx 0,yxf5潮流计算的目的意义潮流计算的目的意义 潮流计算的主要作用潮流计算的主要作用潮流计算电网规划静态安全分析求解电网的运行状态，包括各母线的电压、线路的功率分布以及功率损耗确定如何扩建电力网络，以达到规划周期内所需要的输电能力，并使输电系统的费用最小对预想事故进行模拟和分析,可以校核预想事故下的电力系统安全性预测干扰后、动态过程结束后的未来稳态6潮流计算的目的意义潮流计算的目的意义 潮流计算的主要思路潮流计算的主要思路潮流计算的目标电网扰后稳定运行状态 母线的电压（关键）线
5、路的功率分布 电网的功率损耗7潮流计算的目的意义潮流计算的目的意义 潮流计算的主要思路潮流计算的主要思路实现潮流计算的关键技术问题求取母线电压构建描述电网稳态的代数方程找到符合工程实际的已知量适合工程应用的代数方程解法8准备知识：交流电路准备知识：交流电路 回顾交流电路理论回顾交流电路理论利用交流电路理论构建描述电网稳态平衡点的代数方程9准备知识：交流电路准备知识：交流电路 交流电路的相量法交流电路的相量法mI62it10()()22 cos()jtA tIeI t+把时域问题变为复数问题正弦信号用复数表示后进行电路分析的方法称为相量法准备知识：交流电路准备知识：交流电路 交流电路的相量法交流
6、电路的相量法只有同频率的正弦量才能进行相量运算。正弦电源激励下的线性时不变电路的稳态响应是与电源同频率的正弦函数。1sintItim 2sintUtum相对角度固定的旋转相量静止相量2mU1mI11时域正弦信号包含了三要素：I、，复常数只包含了I,。准备知识：交流电路准备知识：交流电路 交流电路的相量法交流电路的相量法相量的两种表示方法UUyUxUyxjUUUUeUUj直角坐标极坐标12准备知识：交流电路准备知识：交流电路 交流电路的相量法交流电路的相量法相量法大大简化正弦电路的稳态分析 tUtusin UU时域函数运算复数代数运算 代数运算 微分运算 积分运算 代数运算13准备知识：交流电路
7、准备知识：交流电路 交流电路的交流电路的KCL定律定律正弦交流电路稳态分析的基尔霍夫定律0kI0kU电流定律电压定律14潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 构建潮流模型的思路构建潮流模型的思路实现潮流计算的关键技术问题构建描述电网稳态的代数方程如何应用基尔霍夫定律构建潮流计算的数学模型？15潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 构建潮流模型的思路构建潮流模型的思路忽略掉电力系统存在的所有动态过程I机端母线V注入电流源I负荷母线V注入电流源16潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 构建潮流模型的思路构建潮流模型的思路形成具有注入电流的等值线性网络IVIVIVIVIVIV17潮流计算的数学模型潮
8、流计算的数学模型 构建潮流模型的思路构建潮流模型的思路具有注入电流的线性网络举例下一步：如何用下一步：如何用KCLKCL定律描述该交流电路网络定律描述该交流电路网络18潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 生成节点导纳矩阵生成节点导纳矩阵对母线节点1应用KCL定律 061513412zVzVVzVV352416540VyVyVyyy19潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 生成节点导纳矩阵生成节点导纳矩阵对母线节点2应用KCL定律 0323421124zVVzVVzVV41332431140VyVyVyyyVy20潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 生成节点导纳矩阵生成节点导纳矩阵对母线节点
9、3应用KCL定律 0235332531zVVzVVzVV52353223150VyVyyyVyVy21潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 生成节点导纳矩阵生成节点导纳矩阵对母线节点4应用KCL定律04142IzVV41214VyVyI22潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 生成节点导纳矩阵生成节点导纳矩阵对母线节点5应用KCL定律05253IzVV52325VyVyI23潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 生成节点导纳矩阵生成节点导纳矩阵方程联立，按节点序号排列5243221554132114524353223155413324311454352416540000000000000VyV
10、VyVVIVVyVVyVIVyVVyyyVyVyVVyVyVyyyVyVVVyVyVyyy24潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 生成节点导纳矩阵生成节点导纳矩阵生成电力网络的节点导纳矩阵54321221125323513431454654543210000000000VVVVVyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyIIIIIVYIijYiiY自导纳互导纳25潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 节点导纳矩阵的特点节点导纳矩阵的特点对称和稀疏，便于计算54321221125323513431454654543210000000000VVVVVyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyII
11、III 对称方阵jiijYY 0jiijYY 稀疏26潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 Matlab矩阵简介矩阵简介M语言利用Matlab预研复杂算法M code:uc.m uc27潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 Matlab矩阵简介矩阵简介需要掌握的Matlab函数或操作函数名称功能简介zeros生成元素全为零的矩阵load加载文件数据，形成矩阵;生成、连接矩阵(i,j)矩阵元素的取出(:,)矩阵元素的批量取出inv矩阵求逆 X=AB is the solution to the equation A*X=Blength向量的长度size矩阵的维度28潮流计算的工程化技术潮
12、流计算的工程化技术 Matlab矩阵简介矩阵简介helpMatlab最常用的命令 help inv help inv29 计算机潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 参数的批量输入参数的批量输入通用潮流程序的重要基础ijijjBGY30潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 参数的批量输入参数的批量输入形成两张表：1、节点描述表节点节点名称名称电压电压出力出力负荷负荷节点节点类型类型幅值幅值相角相角有功有功无功无功有功有功无功无功11.0400.71640.27050.00.0321.02501.63000.06650.00.0231.02500.8500-0.10860.00.0241
13、.000.00.00.00.0151.000.00.00.90.3161节点类型:1-PQ;2-PV;3-平衡节点31潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 参数的批量输入参数的批量输入形成两张表：2、支路描述表支路号支路号首端节点首端节点末端节点末端节点电阻电阻电抗电抗对地电纳对地电纳变比变比1450.0100.0850.17612460.0170.0920.15813570.0320.1610.30614690.0390.1700.35815780.00850.0720.14916将线路和变压器统一看作支路32Node9.txt潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 参数的批量输入参数
14、的批量输入M代码举例电网参数的批量输入 node=load(Node9.txt,-ascii);（）load Node9.txt（）%节点幅值相角有功无功有功无功类型11.0400.71640.27050.00.0321.02501.63000.06650.00.0231.02500.8500-0.10860.00.02433潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成回顾节点导纳矩阵的引出节点电流方程 061513412zVzVVzVV 0323421124zVVzVVzVV54321221125323513431454654543210000000000VVV
15、VVyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyIIIII归纳Y直接搞定34潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成节点导纳矩阵的快速生成准则快速生成准则：快速生成准则：矩阵阶数=网络节点数 自导纳=所连支路导纳之和 互导纳=相关支路导纳负值Y35潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成准则2自导纳=所连支路导纳之和20231222yyyY12312y13y23y10y20y30ynnnnnnYYYYYYYYY21222211121136潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成准则3互导纳=相关
16、支路导纳负值122112yYY12312y13y23y10y20y30ynnnnnnYYYYYYYYY212222111211233223yYY37潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成与线路端点相关的支路导纳4jXR5452Bj2Bj支路号支路号首端节点首端节点末端节点末端节点电阻电阻电抗电抗对地电纳对地电纳变比变比1450.0100.0850.17612144BjjXRY38潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成与变压器端点相关的支路导纳4545支路号支路号首端节点首端节点末端节点末端节点电阻电阻电抗电抗对地电纳对地电
17、纳变比变比1450.00.06250.01.05jXRZT*:1 KNKKK*TZK*1*KZKT*2*1 KZKT39潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成与变压器端点相关的支路导纳TTTZZKKZKY111*44TTTZKZKKZKY2*2*551114554*1TYYK Z 45TZK*1*KZKT*2*1 KZKT40潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵生节点导纳矩阵生成成建议流程支路循环，逐步完善YY=zeros(n);%生成生成全零的导纳阵全零的导纳阵for 支路循环支路循环 i=获取支路的首端节点号获取支路的首端节点号;j=获
18、取支路的末端节点号获取支路的末端节点号;Y(i,j)=？Y(i,j)=Y(i,j)-1/(支路阻抗支路阻抗*变比变比);Y(j,i)=Y(i,j);Y(i,i)=？;Y(j,j)=？Y(i,i)=Y(i,i)+1/支路阻抗支路阻抗+1i*支路导纳支路导纳/2;Y(j,j)=Y(j,j)+1/(变比变比2*支路阻抗支路阻抗)+1i*支路导纳支路导纳/2;end4155545352514544434241353433323125242322211514131211yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵修节点导纳矩阵修改改局部改变的网
19、络拓扑仅局部改变Y55545352514544434241353433323125242322211514131211yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy无需重新生成Y42jjjijjijiiiijijiyyyyyyyyyyyyyyyy2121222221111211潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵修节点导纳矩阵修改改1.新增一条接地的支路yyyiiiiijzy143潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵修节点导纳矩阵修改改2.新增一条支路，增加一个新节点yyyiiiiyyjjyyyjiijjjjinnninnijiniiiininiyyyy
20、yyyyyyyyyyyyyyy0000002121222221111211ijzy144jjjijjijiiiijijiyyyyyyyyyyyyyyyy2121222221111211潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵修节点导纳矩阵修改改3.在原有节点之间新增一条支路yyyiiiiyyyjjjjyyyijijijzy1yyyjiji45jjjijjijiiiijijiyyyyyyyyyyyyyyyy2121222221111211潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵修节点导纳矩阵修改改4.在原有节点之间切除一条支路yyyiiiiyyyjjjjyyyijij
21、ijzy1yyyjiji46潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 节点导纳矩阵求节点导纳矩阵求解解47现代电力系统分析例现代电力系统分析例1-1 在图1-10中表示了一个电力网络的等值电路。图出了支路阻抗和对地导纳的标幺值。其中节点2和4间、节点3和5间为变压器支路，变压器漏抗和变化如图所示。试求其导纳矩阵。1-10系统等值电路图 图1-10中接地支路（并联支路）标出的是导纳值，节点间支路（串联支路）标出的是阻抗。由式（1-31）可以求出节点1的自导纳为 与节点1有关的互导纳可根据式（1-32）求出：支路2-4为变压器支路，采用图1-4（a）的模拟电路，由式（1-31）及式（1-35）可以
22、求出节点2的自导纳为4811101213110.250.040.250.10.35 =1.3787426.291665Yyyyjjjj21121231131310.6240253.90001650.040.2510.7547172.6415090.10.35YYyjjYYyjj 与节点2有关的互导纳为 根据式（1-31）：用类似的方法可以求出导纳矩阵的其它元素。最后得到导纳矩阵为49422220122324221111 (0.250.25)0.040.250.080.30.0151.05 1.45390966.98082yYyyyKjjjjjj233210.8298763.1120330.08
23、0.30YYjj 422442421163.492060.0151.05yYYjKj 矩阵中未标数字的元素为零。MATLABMATLAB程序程序 clear all;clc;501.3787420.9240240.7547176.2916653.9001562.6415090.240241.4539090.8298760.00000003.90015666.980823.11203363.192060.000000 02.6415093.11203335.7378631.746030.0000000.00000063.49206jjjjjjYjjjjj 66.6666731.7460333.3
24、3333jjjload Node5.txt;%节点数据load Branch5.txt;%支路数据 Node=Node5;Branch=Branch5;N=Node(:,1);%节点号Bc=Node(:,9);%节点补偿电容电纳值n=length(N);%节点个数Y=Create_Y(Branch,n,Bc);disp(系统的导纳矩阵为：);disp(Y);Z=inv(Y);disp(系统的阻抗矩阵为：);disp(Z);5152结果：结果：系统的导纳矩阵为：1.3787-6.2917i -0.6240+3.9002i -0.7547+2.6415i 0.0000+0.0000i 0.0000
25、+0.0000i -0.6240+3.9002i 1.4539-66.9808i -0.8299+3.1120i 0.0000+63.4921i 0.0000+0.0000i -0.7547+2.6415i -0.8299+3.1120i 1.5846-35.7379i 0.0000+0.0000i 0.0000+31.7460i 0.0000+0.0000i 0.0000+63.4921i 0.0000+0.0000i 0.0000-66.6667i 0.0000+0.0000i 0.0000+0.0000i 0.0000+0.0000i 0.0000+31.7460i 0.0000+0.0
26、000i 0.0000-33.3333i系统的阻抗矩阵为：0.0180-0.9147i -0.0056-1.0329i -0.0069-1.0195i -0.0053-0.9837i -0.0065-0.9709i -0.0056-1.0329i 0.0078-0.9646i -0.0100-1.0379i 0.0074-0.9187i -0.0095-0.9885i -0.0069-1.0195i -0.0100-1.0379i 0.0269-0.9047i -0.0095-0.9885i 0.0256-0.8616i -0.0053-0.9837i 0.0074-0.9187i -0.00
27、95-0.9885i 0.0071-0.8599i -0.0091-0.9414i -0.0065-0.9709i -0.0095-0.9885i 0.0256-0.8616i -0.0091-0.9414i 0.0244-0.7906i 说明：说明：53节点导纳矩阵为稀疏矩阵，可以利用稀疏技术进行存储及运算，大大节省存储空间和提高运算速度，在电力系统潮流计算，暂态仿真描述网络等方面应用广泛。阻抗矩阵为满矩阵，不适合大规模潮流计算，但其中的每个元素都包含全网的信息，因此在短路计算，故障分析中应用较多。下面从物理意义说明为什么节点导纳矩阵稀疏而节点阻抗矩阵为满矩阵。节点导纳矩阵的物理意义：节点导
28、纳矩阵描述了网络的短路参数。节点阻抗矩阵描述了网络的开路参数。下面是个简单的例子。123z12z13z10 节点2的自导纳Y22，数值上等于节点2加单位电压，其他节点都接地时，节点2 向电力网络注入的电流。互导纳Y21为节点2 加单位电压，其他节点都接地时，节点1向电力网络注入的电流。可以看到，没有直接连接的节点，他们之间的互导纳值就为0，因此导纳矩阵是稀疏的。54123z12z13z1021V 1I21I130I3I2I 自阻抗，在数值上等于节点2注入单位电流，其他节点开路时，节点2的电压。互阻抗为节点2注入单位电流，其他节点都在开路状态时，节点1的电压。当节点2向网络注入单位电流而其他节点
29、开路时，所有节点电压都不应为0，因此阻抗矩阵是满矩阵，且元素包含了全网的信息。55123z12z13z1021I2V2V3V潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 电力网络方程求电力网络方程求解方法解方法 高斯消去法高斯消去法 包括消去运算和回代运算两部分。设有n阶线性方程组AX=B，把B作为第n+1列附在A之后，形成 阶增广矩阵：为了方便讨论，上式中用 替代了 (j=1,2,n)56(1)nn111211111211.1212222212222.11212.1.nnnnnnnnnnnnnnnn naaabaaaaaaabaaaaAABaaabaaaa 首先讨论按列消去过程，它的运算步骤如下
30、：第一步，消去第一列 首先，把增广矩阵 的第一行规格化为 式中：然后，用式（1-42）所表示的行消去 的第一列对角线以下各元素 ,结果使 的第2到n行其他元素化为 式中：上标（1）表示该元素第一次运算结果。这时矩阵 变为 ：57(1)(1)(1)12131.11 (1-42)naaa1(1)111 (2,3,1)jjaajna21311,naaa(1)(1)1 1 (2,3,1;2,3,)ijijijaaa ajnin 与之对应的方程组是 ,它与 同解。矩阵未标出的元素为零，下同。第二步，消去第二列。首先，把增广矩阵 的第二行规格化为 式中：58(1)(1)(1)1211.1(1)(1)(1)
31、2222.1111(1)(1)(1)2.11nnnnnnnn naaaaaaAABaaa11A XBAXB(2)(2)232.10 1 (1-43)naa(1)2(2)2(1)22 (3,4,1)jjaajna 式中：上标（2）表示该元素第二次运算的结果，这时矩阵 变为 ：一般的，在消去第k列时要做以下的运算：59(1)(1)(1)(1)121311.1(2)(2)(2)2322.1222(2)(2)(2)3.111 nnnnnnnn naaaaaaaAABaaa(1)()(1)(1,1)(1-44)kkjkkjkkkaajkna()(1)(1)()(1,1;1,)(1-45)kkkkijij
32、ikkjaaaajknikn 经过对矩阵 的n次消去运算，即k从1依次取到n按式（1-44），式（1-45）运算，使矩阵A对角线以下的元素全部化为零，从而得到增广矩阵 与之对应的方程组是 ，即60(1)(1)(1)(1)121311.1(2)(2)(2)2322.1(3)(3)33.1(1).111 (1-46)11nnnnnnnnnnn naaaaaaaAABaaannA XB 它与原方程组 同解。现在来讨论按行回代过程。对于方程组（1-47），回代运算自下而上进行。首先由第n个方程可知 然后将 带入第n-1个方程，解出 61(1)(1)(1)(1)112213311.1(2)(2)(2)2
33、23322.1(3)(3)333.1().1 (1-47)nnnnnnnnnnnn nxa xa xa xaxaxaxaxaxaxaAXB().1nnn nxa(1)(1)11.11.nnnnnnnnxaax 再将 和 代入第n-2个方程，可解出 。一般的，把已求出的 代入第i个方程，即可求出 式（1-48）就是按行回代的一般公式。6212,iinxxx(i)(i),n 11 (,2,1)(1 48)niiijjj ixaaxin 例例1-2 1-2 利用高斯消去法求解下列线性方程组：解：解：由原方程组可写出增广矩阵 首先按式（1-44）对第一行规格化，得到631234121314252322
34、xxxxxxxxxx(1)2115210031010210012 然后按式（1-45）消去第一列，得到 然后依照上述过程，对后面各行反复进行式（1-44）的规格化和各列进行式(1-45)的消去运算最终得到：6412115(2)1003(1)0102(1)001212115322720132103 这样，经过去运算后，我们得到原方程组的同解方程组为65121157221333511441112342343442522733315441xxxxxxxxxx 按式（1-48）对以上同解方程组进行回代运算，即可逐个求出 MATLABMATLAB程序程序664321,:x x x x4342341234
35、1511447221333521xxxxxxxxxx 因子表因子表 求解适用情况：对于方程组需要多次求解，每次仅常数项B变化，系统矩阵A不变。形式如下：下三角元素由常数项B的消去运算中的运算因子构成，上三角元素用于回代运算。67(1)(1)(1)(1)111213141(1)(2)(2)(2)212223242(1)(2)(3)(3)313233343(1)(2)(3)(4)414242434(1)(2)(3)(n 1)1223nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1112131412122232423132333434141413331234nnnnnnnnn
36、nduuuulduuullduullldulllld 为了求解方程组，还需对常数项B进行相应运算 由于 上两式可写成 最后进行回代运算，得出方程解68()(1)(1)(k)(1)(k 1)(k)/(1,2,)(1,2,1)iiiiiiikiiikkbbainbbabki(1)(i)(1);();()ijiiiiijijijijdauaij laj i()(1)(k)(1)()/(1,2,)(1,)iiiiiikkiiikkbbdinbbl bikn()()1nnnniiiijjj ixbxbu x 例：，求解方程组。对照例1-2的求解过程，即可写出系数矩阵A的因子表为6912112223334
37、1123415123411121314212223243132333441424344duuulduulldullld 1 120TB 首先对首先对 规格化，再对规格化，再对 进行消去运进行消去运算算 得到得到 然后再对然后再对 规格化，再对规格化，再对 进行消去运进行消去运算，同上得算，同上得70 11(1)11111(1)2221 11(1)3331 11(1)4441 1/;/1/11121321130111iikkkiiiiiiikkbbdbbl bbbdbbl bbbl bbbl b (1)1331TB 11b 234bbb、123b 1134bb、(2)11 11TB 同上，依次得
38、到同上，依次得到 然后通过回代运算公式得到然后通过回代运算公式得到71(3)113/45/4TB(4)113/41TB 1444333344222233244111122133144;1311144221111331211 1 111nninniiijjj ixbxbu xxbxbu xxbu xu xxbu xu xu x 三角分解三角分解 如前所述，系数矩阵A的因子表为 式中：72121122233341123415123411121314212223243132333441424344duuulduulldullld (1-55)ALU 或者还可把 进一步分解为 在上例中，只要用 中各列
39、对角元素除相应列的各非对角元素，即可得到 ；而 的对角元素构成 ，即731000121123002201334,1201300141512000134LU (1 56)LLD 这样，原系数矩阵A一般可以表示为 由上例可以看出 这一现象并非偶然，可以证明当系数矩阵A为对称矩阵时，上式必然成立74100010002100030024,1100003321511000344LD (1-57)ALDU (1-58)TTLUUL或 稀疏技术稀疏技术 充分利用电力网络方程组的稀疏特性，减少不必要的计算的技术。如因子表中的某些元素为零，则相应的运算可以省略 例1.2：做如下变换：75123412131425
40、2322xxxxxxxxxx14223341,xyxyxyxy 则有：系数矩阵经规格化运算与消去运算后得：减少两次消去运算 减少一次761424341234223225yyyyyyyyyy(1)001010 2001 1(1)21 110010(1)0 2001 10(2)1 01001010200(1)100(1)4100101020011000(5)系数矩阵经规格化运算与消去运算后得系数矩阵的因子表：下面对常数向量 进行回代求解 由于 均为零，所以 可不计算7710010102001112152325TB 2131ll、1(1)111111(1)2221 1211(1)(1)3331 13
41、4441 1/;/2/12;32;5 1 23iiiiiikkkiiikkbbdbbdbbl bbbl bbbbl bbbbl b 1123bb、同样，由于同样，由于 为零，为零，可以不进行计算可以不进行计算 这样，在回代计算中，可省去三次运算，加上消去运这样，在回代计算中，可省去三次运算，加上消去运算的节省的三次，一共节省六次运算。算的节省的三次，一共节省六次运算。其实，通过观察因子表，有几个零元素就减少几次运其实，通过观察因子表，有几个零元素就减少几次运算。算。Matlab程序程序7832l 23b1001010200111215 节点编号优化节点编号优化 通常导纳矩阵非零元素的分布和分解
42、后的三角阵是不同的，这主要因为在消去过程或分解过程中产生了新的非零元素，即注入元素。其原因可以直观的用电路的星网变换进行解释。7980 1、静态优化法，静态地按最少出线支路数编号 依据：依据：出线支路数最少的节点所对应的行中非零元素也最少，因此在消去过程中产生的注入元素的可能性也比较小。优点：简单。思路：思路：首先统计电力网络各节点的出线支路数，然后，按出线支路数由少到多进行编号，如出线支路数相同，可随意纺号。81 2、半动态优化法，动态地按最少出线支路数编号 依据：依据：每消去一个节点以后，与该节点相连的各节点的出线支路数也将发生变化。思路：思路：每消去一个节点，立即修正尚未编号节点的出线支
43、路数，选其中出线支路数最少的一个节点进行编号。82 3、动态优化法，动态地按增加出线数最少进行编号 依据：依据：前两种方法不能保证在消去节点时出现的新支路最少 思路：思路：统计消去各节点时增加的出线数，选其中最少的进行编号，完成后，再重复上述操作，对下一个节点进行编号，直到编完。（Matlab程序）83 非线性方程解法比较非线性方程解法比较 1 1、高斯法讨论、高斯法讨论 对于形如 的形式，由于有 ，于是，我们有如下的高斯迭代公式：高斯法迭代的收敛性主要由84()0 (7-26)f x(0)0(1)()(7-27)()kkxxxx*()()(7-28)Tx xxxx()xx 的谱半径或矩阵 的
44、最大特征值决定。是x在解点处的值。当 的谱半径小于1时高斯法迭代可以收敛，的谱半径越小收敛性越好。求解（7-27）式有两种方法，即高斯法和高斯-赛德尔法。高斯法的迭代格式是 高斯-赛德尔法的迭代公式是 每当求得x的新值就在下次迭代计算中立即使用。当两次迭代之间x的变化 时，迭代收敛。85(1)()()()12(,)1,2,(7-29)kkkkiinxxxxin(1)(1)(1)(1)()()121(,)1,2,(7-30)kkkkkkiiiinxxxxxxin(1)()maxkkiixx*x*()x*()x*()x 2 2、牛顿、牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 求解潮流，数学上就是求解用潮流方程表示的
45、非线性代数方程组，因此可用数学上的逐次线性化的方法，即牛顿-拉夫逊法求解。电力网络的节点功率方程可用 表示，是节点注入功率给定值（Specified Value），y是节点注入功率和节点电压之间的函数表达式，x是节点电压。当然也是可以写成功率偏差的形式 如果我们能找到一组x，代入（7-32）式使得 等于0，这组x就是潮流问题的解。实际上x是无法预先知道的，于是我们给定x的初值 （或写成 ),在 处将（7-32）式进行一阶泰勒展开86()(7-31)SPyy x()()0 (7-32)SPf xyy x 定义 为潮流雅可比（Jacobi）矩阵，则有 用 修正 而得到x的新值，如果迭代序列收敛，它
46、应当更新近解点值。写成一般的表达式，有 对于潮流收敛的情况，比 更接近于解点。8700()0TXff xxx TfJx100()xJf x ()1()(1)()()()(7-33)kkkkkkxJf xxxx (1)kx 举例比较（举例比较（MatlabMatlab程序程序）1、求解 ,有两个解 ，初值都是 ，迭代得到一个解 。由仿真结果可知牛顿拉夫逊法迭代了4次,且越接近真值,收敛速度越快,高斯赛德尔法迭代了19次,线性收敛,收敛性较牛拉法差很多。882430 xx121,3xx00 x 11x 02468101214161820-8-7-6-5-4-3-2-10迭 代 次 数迭代误差 高
47、斯 塞 德 尔 法牛 顿 拉 夫 逊 法 2、求解这个方程组，在初 值为0.5 0.5时，收敛性的比较。891122120.7sin0.2cos00.7cos0.2sin0 xxxxxx0510152025-8-7-6-5-4-3-2-1迭 代 次 数迭代误差 高 斯 塞 德 尔 法牛 顿 拉 夫 逊 法 由于系统规模较小,这两个例子主要体现出收敛速度的问题。高斯塞德尔迭代法收敛速度慢,且受求解规模的影响很大,但其对初值的要求不高,牛顿拉夫逊法收敛速度快,精度高,但对初值的要求比较严格,潮流计算中可以用高斯塞德尔法迭代几步后的值作为牛拉法的初值。90潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 全
48、网功率流动求全网功率流动求解解掌握全网的功率流动情况1,niiiijjjj iPjQVYV 平衡节点的注入有功/无功 PV节点的注入无功91潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 全网功率流动求全网功率流动求解解掌握全网的功率流动情况 输电线路的有功/无功ijyij0iyijSjiijiVVyV02iiyVijiijijijIVjQPSjiijiiiVVyVyV0292潮流计算的工程化技术潮流计算的工程化技术 全网功率流动求全网功率流动求解解掌握全网的功率流动情况 输电线路的网损计算ijyij0iyijSjiijijSSSjiS93潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 确定已知量的难题确定已
49、知量的难题实现潮流计算的关键技术问题构建描述电网稳态的代数方程找到符合工程实际的已知量如何根据工程实际确定已知量，求解母线电压？94潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 确定已知量的难题确定已知量的难题将注入电流作为可测的已知量异地测量的两个电流缺少时间同步信息VYI95潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 确定已知量的难题确定已知量的难题以注入功率替换注入电流作为已知量njjijiVYI11 niii iiijjjPjQVIVYV每节点2iV1iI同地测量可以保证同步96潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 确定已知量的难题确定已知量的难题njijijijijjiiBGVVP1sincosn
50、jijijijijjiiBGVVQ1cossin每节点jQPVn个节点2n个实数方程4n个变量大部分情况：已知P Q，求解V 97潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 确定已知量的难题确定已知量的难题将所有节点的PQ都作为已知量，可以吗98潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 确定已知量的难题确定已知量的难题潮流计算目的：应用于扰后稳态的快速预测电力系统存在保持功率平衡的控制机制。虽未予建模，但计算平衡点时必须考虑！出力变化负荷变化网损变化都将PQ作为已知量无法保证电网的功率平衡99潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型 确定已知量的难题确定已知量的难题至少选择一台发电机来平衡全网有功功率至少选
