1、相似矩阵与相似矩阵与方阵可对角化的条件方阵可对角化的条件 4.34.3.1 4.3.1 相似矩阵的概念相似矩阵的概念定义定义 设设 都是都是 阶方阵，若存在一个阶方阵，若存在一个 阶阶,A Bnn可逆矩阵可逆矩阵 使使P1,PAPB 则称矩阵则称矩阵 与与 相似相似或称或称 是是 的的相似矩阵相似矩阵，ABBAP称称 为由为由 到到 的的相似变换矩阵相似变换矩阵或或过渡矩阵过渡矩阵，AB1PAP 运算运算 称为对称为对 进行相似变换进行相似变换.A相似则等价，即相似关系是一种等价关系相似则等价，即相似关系是一种等价关系.例例 设设 101032,121143APQ,P Q可逆，令可逆，令11,
2、BPAP CQ AQ计算计算,B C并判断并判断 与它们是否相似与它们是否相似.A解解1BPAP 1101010111211 1002 1CQ AQ 1321032431243 13102116 由定义，由定义，与与 相似，相似，与与 也相似也相似.BAAC由此可知，与由此可知，与 相似的矩阵不是唯一的，也未必相似的矩阵不是唯一的，也未必A是对角阵，但可以适当选取是对角阵，但可以适当选取 使使 成为对角阵成为对角阵.P1PAP 相似矩阵的性质相似矩阵的性质（1）反身性：）反身性：与与 相似相似.AAAEAE.PAPB1 APBPPBP1111()CB（3）传递性：若）传递性：若 与与 相似，相
3、似，与与 相似，则相似，则AB 与与 相似相似.AC（2）对称性：若）对称性：若 与与 相似，则相似，则 与与 相似相似.ABBAPAPB1,Q BQC1 CQ PAPQPQA PQ111()()（4）若）若 与与 相似，则相似，则AB.AB PAPB1 BPAPPA PPP A111P P AE AA1（5）若）若 与与 相似，且相似，且 可逆，则可逆，则 也可逆，且也可逆，且ABAB 与与 相似相似.1A 1B PAPB1 BPAPPAPPA P111111111()()AB（6）若）若 与与 相似，则相似，则 与与 相似，相似，的多项式的多项式kAkB,A B(),()A B也相似也相似
4、.则则11,()(),kkAPPAPP 其中其中12(,),kkkkndiag 12()(),(),().ndiag 特别地，若特别地，若 取对角矩阵取对角矩阵Bndiag 12(,),AB（7）若）若 与与 相似，则相似，则 与与 相似相似.AE BE PAPB1 PAPPBEEAPPPE111()()定理定理 相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同.PAPB1 BPEEAP1()AE PP1 AE E APPE1 AE.AE P P1 推论推论 若若 阶方阵阶方阵 与对角阵与对角阵n ndiag 12,A相似，则相似，则 为为 的的 个特征值，且若
5、个特征值，且若n12,An()f 是方阵是方阵 的特征多项式，则有的特征多项式，则有A().AO f证明证明因为因为 与对角阵与对角阵 相似，而相似，而 是是 An12,的的 个特征值，由定理，个特征值，由定理，的的 个特征值也应该是个特征值也应该是Annn12,;同时，它们也是同时，它们也是 的特征方程的特征方程A()0 f 的解，因此有的解，因此有0()(1,2,).iinf 由相似的定义，存在可逆矩阵由相似的定义，存在可逆矩阵 使使,P112(,),nPAPdiag 1,APP 即即由相似矩阵的性质可知由相似矩阵的性质可知()Af1.POPO 1()P P f11()()nPP f f
6、001PP 4.3.2 4.3.2 方阵可对角化的充要条件方阵可对角化的充要条件证明证明12(,),nPppp 可相似对角化可相似对角化.若方阵若方阵 可以与一个对角阵相似，则称可以与一个对角阵相似，则称AA定理定理 阶方阵阶方阵 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 有有nAnA个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.必要性必要性若方阵若方阵 可对角化，则存在可逆可对角化，则存在可逆A矩阵矩阵 使对角阵使对角阵 则则,P1,PAP ,APP 令令 01,2,ipin 121212,nnnA p ppp pp 121122,nnnA pppppp 1,2,.iiiAppin 则则 可写成
7、可写成APP 从而有从而有于是有于是有由于由于 可逆，知可逆，知 线性无关，即线性无关，即 P12,npppA有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量n12,.nppp必要性必要性设设 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量nA12,nppp其对应的特征值分别为其对应的特征值分别为12,n 1,2,iiiAppin 即即取取12(,),nPppp 则则 可逆且可逆且P 1212,nnAPA pppAp ApAp 1122,nnppp 1212,nnp pp P 所以所以1,PAP 表明表明 与对角矩与对角矩 相似相似.A 说明说明推论推论 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互
8、不相同，个特征值互不相同，AnnA则则 与对角阵相似，即与对角阵相似，即 可相似对角化可相似对角化.A（1）当）当 可对角化时，使其与可对角化时，使其与 相似的相似的A 可逆矩阵可逆矩阵 的列向量的列向量 是对角阵上的对角元素是对角阵上的对角元素Pipi（特征值）的特征向量（特征值）的特征向量.（2）如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 AA还是能对角化还是能对角化n对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，nA个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能例例 判断下列矩阵是否相似于
9、对角矩阵？判断下列矩阵是否相似于对角矩阵？112(1)010;001A 211(2)020.413A 解解AE 31,112010001 若相似，则求出可逆矩阵若相似，则求出可逆矩阵 使使 是对角阵是对角阵.,P1PAP（1）求特征值：）求特征值：1231,故故 的特征值为的特征值为A且且 不相似不相似A于对角矩阵于对角矩阵.若不然，如果若不然，如果 相似于对角阵相似于对角阵 则则A,有可逆阵有可逆阵 使使,P1=PAPE,就是单位阵，就是单位阵，从而从而1APEP=E,这显然是错误的，所以这显然是错误的，所以 不相似于对角阵不相似于对角阵.211020413AE 2(1)(2)（1）求特征值
10、：）求特征值：1231,2.故故 的特征值为的特征值为A再求特征向量：再求特征向量：当当 时，解方程组时，解方程组 由由11 ()0,AE x,000010101414030111 EA得基础解系为得基础解系为10,1 特征向量为特征向量为1111(0,).p kkk所以对应于所以对应于 的全部的全部11 取一个特征向量取一个特征向量110.1p 当当 时，解方程组时，解方程组 由由(2)0,AE x232所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为2233pp kk232,0000001141140001142 EA得基础解系为得基础解系为12104,1,01 （为不同时为零的实数）为不同时为零的实数）.23,k k取两个特征向量取两个特征向量23104,1.01pp 由由 线性无关，知线性无关，知 与对角阵相似与对角阵相似.取取123,pppA12310410(1,),1,01Pppp 1000022.010P AP 则则 可逆，且有可逆，且有P矩阵矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P
