1、4.2.24.2.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.2.34.2.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用课标要求课标要求:1.1.能根据圆的方程能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系.2.2.能用直线与圆能用直线与圆的方程解决一些简单的问题的方程解决一些简单的问题,了解代数方法解决几何问题的思想了解代数方法解决几何问题的思想.自主学习自主学习知识探究知识探究1.1.圆与圆的位置关系及其判断圆与圆的位置关系及其判断(1)(1)几何法几何法.由两圆的圆心距由两圆的圆心距d d与半径长与半径长r,R(Rr)r,R(Rr)的关系来判断的关系来判断.位置关系位置关系外离外离外切
2、外切相交相交内切内切内含内含图示图示d,r,Rd,r,R的的 关系关系dR+rdR+rd=R+rd=R+rR-rR-rdR+rdR+rd=R-rd=R-rdR-rd00有两个不同实数解有两个不同实数解两圆相交两圆相交;=0=0有两个相同实数解有两个相同实数解两圆相切两圆相切(外切或内切外切或内切););00),(r0),其中其中a,ba,b是定值是定值,r,r是参数是参数.(2)(2)半径长相等的圆系方程半径长相等的圆系方程:(x-a):(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r0),(r0),其中其中r r是定值是定值,a,b,a,b是参数是参数.(3)(3)过直线过直
3、线Ax+By+C=0Ax+By+C=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程交点的圆系方程:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(Ax+By+C)=0(R R).).(4)(4)过两圆过两圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0与与C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2=0=0交点的圆系方程交点的圆系方程:x:x2 2+y y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1+(x+
4、(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2)=0(-1)()=0(-1)(其中不含有圆其中不含有圆C C2 2,因此注意检验因此注意检验圆圆C C2 2是否满足题意以防漏解是否满足题意以防漏解).).当当=-1=-1时时,方程变为方程变为(D(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+F)y+F1 1-F-F2 2=0,=0,表示过两圆的交点的直线表示过两圆的交点的直线(当两当两圆是同心圆时圆是同心圆时,此直线不存在此直线不存在;当两圆相交时当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线此直线为公共弦所在直线;当两圆当两圆相切时相切时,此直线为两
5、圆的公切线此直线为两圆的公切线).).自我检测自我检测(教师备用教师备用)1.1.圆圆x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0和圆和圆x x2 2+y+y2 2+4y=0+4y=0的位置关系是的位置关系是()(A)(A)相离相离(B)(B)外切外切(C)(C)相交相交(D)(D)内切内切2.2.圆圆x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆(x-4)(x-4)2 2+(y-7)+(y-7)2 2=1=1的位置关系是的位置关系是()(A)(A)相交相交(B)(B)外切外切(C)(C)内切内切(D)(D)相离相离3.3.与圆与圆O O1 1:x:x2 2+y+y2 2+4x-4y+7=0+4
6、x-4y+7=0和圆和圆O O2 2:x:x2 2+y+y2 2-4x-10y+13=0-4x-10y+13=0都相切的直线条都相切的直线条数是数是()(A)4 (A)4 (B)3 (B)3 (C)2 (C)2 (D)1(D)1C CD DB B5.5.若关于若关于x x的方程的方程x+k=x+k=有两个相异实根有两个相异实根,则实数则实数k k的取值范围为的取值范围为 .4.4.已知两圆已知两圆x x2 2+y+y2 2=10=10和和(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=20=20相交于相交于A,BA,B两点两点,则直线则直线ABAB的方程的方程为为 .21x答案答案:
7、x+3y=0 x+3y=0题型一题型一 圆与圆位置关系的判断圆与圆位置关系的判断【例【例1 1】已知圆已知圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2ax-2y+a-2ax-2y+a2 2-15=0,-15=0,圆圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2-4ax-2y+4a-4ax-2y+4a2 2=0(a0).=0(a0).试求试求a a为何值时为何值时,两圆两圆C C1 1,C,C2 2的位置关系为的位置关系为(1)(1)相切相切;课堂探究课堂探究解解:圆圆C C1 1,C,C2 2的方程的方程,经配方后可得经配方后可得C C1 1:(x-a):(x-a)2 2+(y-1)+(y-1)
8、2 2=16,=16,C C2 2:(x-2a):(x-2a)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,所以圆心所以圆心C C1 1(a,1),C(a,1),C2 2(2a,1),(2a,1),半径半径r r1 1=4,r=4,r2 2=1.=1.所以所以|C|C1 1C C2 2|=a.|=a.(1)(1)当当|C|C1 1C C2 2|=r|=r1 1+r+r2 2=5,=5,即即a=5a=5时时,两圆外切两圆外切;当当|C|C1 1C C2 2|=r|=r1 1-r-r2 2=3,=3,即即a=3a=3时时,两圆内切两圆内切.2221 1aa解解:(2)(2)当当3|C3|C1 1
9、C C2 2|5,|5,即即3a53a5,|5,即即a5a5时时,两圆外离两圆外离.(4)(4)当当0|C0|C1 1C C2 2|3,|3,即即0a30a3时时,两圆内含两圆内含.(2)(2)相交相交;(3);(3)外离外离;(4);(4)内含内含.方法技巧方法技巧 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种,几何法比代几何法比代数法简便数法简便,因此解题时常用几何法因此解题时常用几何法,用几何法判断两圆位置关系的步骤用几何法判断两圆位置关系的步骤如下如下:(1)(1)将两圆的方程化为标准方程将两圆的方程化为标准方程.(2)(2)求出两圆的圆心距求出两圆的圆
10、心距d d和半径和半径r r1 1,r,r2 2.(3)(3)根据根据d d与与|r|r1 1-r-r2 2|、r r1 1+r+r2 2的大小关系作出判断的大小关系作出判断.即时训练即时训练1-1:1-1:(1)(1)圆圆x x2 2+y+y2 2+4x-4y+7=0+4x-4y+7=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2-4x+10y+13=0-4x+10y+13=0的公切线的条的公切线的条数是数是()(A)1 (A)1 (B)2 (B)2 (C)3 (C)3 (D)4(D)4(2)(2)已知已知0r +1,0r0).=0(a0).试求试求a a为何值时两圆为何值时两圆C C1 1,C,C2
11、 2(1)(1)相切相切;(2);(2)相交相交;(3);(3)相离相离.解解:对圆对圆C C1 1,C,C2 2的方程的方程,经配方后可得经配方后可得C C1 1:(x-a):(x-a)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=16,=16,C C2 2:(x-2a):(x-2a)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,所以圆心所以圆心C C1 1(a,1),r(a,1),r1 1=4,C=4,C2 2(2a,1),r(2a,1),r2 2=1,=1,所以所以|C|C1 1C C2 2|=a,|=a,(1)(1)当当|C|C1 1C C2 2|=r|=r1 1+r+r2 2=5=5即即a
12、=5a=5时时,两圆外切两圆外切,当当|C|C1 1C C2 2|=r|=r1 1-r-r2 2=3=3即即a=3a=3时时,两圆内切两圆内切.(2)(2)当当3|C3|C1 1C C2 2|5|5即即3a53a5|5即即a5a5时时,两圆外离两圆外离,当当|C|C1 1C C2 2|3|3即即0a30a0),(r0),因为点因为点F F在圆上在圆上,所以所以60602 2+160-(200-r)+160-(200-r)2 2=r=r2 2(r0),(r0),解得解得r=65,r=65,故圆的方程为故圆的方程为x x2 2+(y-135)+(y-135)2 2=4 225.=4 225.(2)
13、(2)当当y=180y=180时时,x,x2 2+(180-135)+(180-135)2 2=65=652 2,解得解得x x2 2=2 20040=2 200402 2,故冰箱可以通过此过道故冰箱可以通过此过道.方法技巧方法技巧 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)(1)认真审题认真审题,明确题意明确题意.(2)(2)建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,用坐标表示点用坐标表示点,用方程表示曲线用方程表示曲线,从而在实际问题从而在实际问题中建立直线与曲线的方程中建立直线与曲线的方程.(3)(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题利用直线与
14、圆的方程的有关知识求解问题.(4)(4)把代数结果还原为实际问题的解把代数结果还原为实际问题的解.即时训练即时训练3 3-1:1:已知已知RtRtABCABC的斜边的斜边BCBC为定长为定长2m,2m,以斜边的中点以斜边的中点O O为圆心作为圆心作直径为定长直径为定长2n(nm)2n(nm)的圆的圆,直线直线BCBC交此圆于交此圆于P,QP,Q两点两点,求证求证:|AP|:|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|PQ|2 2为定值为定值.证明证明:如图如图,以以O O为原点为原点,以直线以直线BCBC为为x x轴轴,线段线段BCBC的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴建立轴建立直角坐
15、标系直角坐标系,则则B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设设A(x,y),A(x,y),因为因为|OA|=|BC|=|m|=m,|OA|=|BC|=|m|=m,所以点所以点A A在圆在圆x x2 2+y+y2 2=m=m2 2(除除B,CB,C两点两点)上上,所以所以|AP|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2=(x+n)=(x+n)2 2+y+y2 2+(x-n)+(x-n)2 2+y+y2 2+(2n)+(2n)2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2+6n+6n2 2=2m=2m2 2+6n+6n2 2(定值定值).).12点击进入点击进入 课时作业课时作业
