1、第四节基本不等式及其应用,总纲目录,教材研读,1.基本不等式,考点突破,2.几个重要的不等式,3.利用基本不等式求最值,考点二常数代换或消元法求最值,考点一利用配凑法求最值,考点三基本不等式的实际应用,1.基本不等式(1)基本不等式?成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.(3)其中?称为正数a,b的算术平均数,?称为正数a,b的几何平均数.,教材研读,2.几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)ab?(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)?(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(4)?+?2(a,b同号),当且仅
2、当a=b时取等号.,3.利用基本不等式求最值已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2?.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是?.(简记:和定积最大),基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a,b,x,yR+,若ax+by=1,则有?+?=(ax+by)?=a+b+?+?a+b+2?=(?+?)2.(2)已知a,b,x,yR+,若?+?=1,则有x+y=(x+y)?=a+b+?+?a+b+2?=(?+?)2.,1.下列不等式中正确的是?()A.若aR,则a2+96aB.若a,bR,则?2C.若a,b
3、0,则2lg?lg a+lg bD.若xR,则x2+?1,C,答案Ca0,b0,?.2lg?2lg?=lg(ab)=lg a+lg b.,2.设x0,y0,且x+y=18,则xy的最大值为?()A.80B.77C.81D.82,C,答案Cx0,y0,x+y=18,18=x+y2?,即?9,xy81.故xy的最大值为81.,3.已知x,y0且x+4y=1,则?+?的最小值为?()A.8B.9C.10D.11,B,答案Bx+4y=1(x,y0),?+?=?+?=5+?5+2?=5+4=9?当且仅当x=2y=?时,取等号?.,4.若x1,则x+?的最小值为.,5,答案5,解析x+?=x-1+?+14
4、+1=5.当且仅当x-1=?,即x=3时等号成立.,5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.,答案2,解析x2+2y22?=2?xy=2?,当且仅当x=?y时取“=”,x2+2y2的最小值为2?.,典例1(1)已知x1)的最小值是.,答案2?+2,解析x1,x-10.y=?=?=?=?=x-1+?+22?+2=2?+2.当且仅当x-1=?,即x=1+?时,取等号.,典例2(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是.(2)已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.,考点二常数代换或消元法求最值,答案(1)5(2)6,解析(1)由x+3y=5xy
5、,得?+?=5(x0,y0),则3x+4y=?(3x+4y)?=?=?(13+12)=5.当且仅当?=?,即x=2y时,等号成立,此时由?解得,(2)由已知得x=?.因为x0,y0,所以0y0,y0且x+y=1,则?+?的最小值为.,答案(1)A(2)18,解析(1)由x0,y0,x+2y=xy,得?+?=1,则x+2y=(x+2y)?=?+2+2+?4+2?=8,当且仅当?=?,即x=2y时等号成立,故x+2y的最小值为8.(2)因为x0,y0,且x+y=1,所以?+?=?(x+y)=10+?+?10+2?=18,当且仅当?=?,即x=2y时等号成立,所以当x=?,y=?时,?+?有最小值1
6、8.,变式练已知直线ax+by+c-1=0(b,c0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则?+?的最小值是?()A.9B.8C.4D.2,A,深化练已知不等式(x+y)?9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为?()A.2B.4C.6D.8,B,答案B因为a0,所以(x+y)?=1+a+?+?1+a+2?=(1+?)2,由题设可知(1+?)29,所以1+?3,即a4.a的最小值为4.,典例3某厂家拟在2019年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x=3-?(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知
7、2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?,考点三基本不等式的实际应用,解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,1=3-k?k=2,x=3-?,每件产品的销售价格为1.5?(元),y=1.5x?-8-16x-m=-?+29(m0).(2)m0时,?+(m+1)2?=8,当且仅当?=m+1,即m=3时,取等号,y-8+29=21.故该
8、厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.,易错警示对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.,3-1(2018广东惠州质检)某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)=?(k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值及f(n)的表达式;(2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元?,解析(1)当n=0时,由题意得k=8.从而f(n)=(100+10n)?-100n=1 000-80?,nN.(2)由(1)知f(n)=1 000-80?1 000-802?=520,当且仅当?=?,即n=8时取等号.所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.,
