1、第第 4 章章力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性 经典力学经典力学中中,处于一定状态下的体系的每一个处于一定状态下的体系的每一个力学量力学量 ,作为时间的函数作为时间的函数,在每一时刻都具有一在每一时刻都具有一个确定值个确定值.量子力学量子力学中中,处于量子态处于量子态 下的体系下的体系,在每一时刻在每一时刻,不是所有力学量都具有确定值不是所有力学量都具有确定值,一般一般说来说来,只具有确定的概率分布和平均值只具有确定的概率分布和平均值.A先讨论先讨论力学量的平均值如何随时间改变力学量的平均值如何随时间改变.引言引言:量子力学中力学量随时间演化的问题与经典量子力学中力学量随时
2、间演化的问题与经典力学有所不同力学有所不同.4.1.1 4.1.1 守恒量守恒量第四章第四章 力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性 4.1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化*()(,)(,)A tx t Ax t dx在波函数在波函数(x,t)所描写的态中，力学量所描写的态中，力学量A的平均值为的平均值为(1)dAdt*AA dxAdxdxttt(2)一、力学量平均值随时间的变化一、力学量平均值随时间的变化 HtiHit1*)(1Hit由薛定谔方程，由薛定谔方程，*11()()AHA dxAHdxdxiit 因为因为是厄密算符是厄密算符*1()dAAAHHAdxdxdtit
3、dAdt*AA dxAdxdxttt(2)1,dAAA Hdtit(3)这就是力学量这就是力学量平均值随时间平均值随时间变化的公式。变化的公式。0At1,dAA Hdti如如不显含不显含t，即，即:(4)则有则有:若若,0A H 则则0dAdt(5)即这种力学量在即这种力学量在任何态任何态 之下的平均值都不随之下的平均值都不随时间改变。时间改变。()t力学量力学量 的平均值为的平均值为 d,dAA tAAtttt 1所以所以,iiHHAAAt11,iiAHAAHt1,iAA Ht1,iAA Ht用标积表示用标积表示 2 ,A ttAtAt0At 如如 不显含时间不显含时间 (以后如不特别声明以
4、后如不特别声明,都是都是指这种力学量指这种力学量),即即 ,则则因此，若因此，若则则即这种力学量在即这种力学量在任何态任何态 之下的平均值都不随之下的平均值都不随时间改变。时间改变。()t 4 5 3d1,diAA Htd0dAt,0A H A0,HA证明：证明：，kkkEHkkkAA且任意态均可以用且任意态均可以用 来展开，即来展开，即kkkktat)()(可取包含可取包含 和和 在内的一组力学量完全集，其共同的本征在内的一组力学量完全集，其共同的本征函数记为函数记为 ，则有，则有，k,AH此式表明，在态此式表明，在态 下，测量下，测量 得到得到 的几率为的几率为 。)(tA2|kakA)(
5、,()(ttakk 二、二、在任意态在任意态 下下 的概率分布也不随时间改变的概率分布也不随时间改变.tA 2dd(ddkkkaataCCtt复共轭）,kkttCCt 1,ikktHtCC 2,0ikkEtCC 8而而按照上述定义，量子力学中的按照上述定义，量子力学中的守恒量守恒量A是指是指：（1）力学量）力学量不显含时间，不显含时间，（2）力学量）力学量与与对易对易（,=0）则无论体系处于什么状态（定态或非定态），则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把。所以把A称为量子称为量子体系的一个守恒量或者运动
6、恒量体系的一个守恒量或者运动恒量。守恒量有两个重要性质：守恒量有两个重要性质：(1)(1)在任意态在任意态(t)t)之下的之下的平均值都不随时间改变平均值都不随时间改变；(2)(2)在任意态在任意态(t)t)之之下的下的概率分布不随时间改变概率分布不随时间改变。1、证明：若、证明：若不显含时间不显含时间t,t,则则为为守恒量守恒量H 不显含不显含t0,HH又又0tH即即为为 守恒量（能量守恒）。守恒量（能量守恒）。三、举例三、举例证：证：0,1)(ddtHHHitHtmPH22 例例2 2、证明自由粒子动量、证明自由粒子动量p p和和角动量角动量为守恒量。为守恒量。自由粒子的哈密顿算符：自由粒
7、子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量所以自由粒子的动量p和角动量和角动量是守恒量。是守恒量。0Hl，0Hp可证：可证：2()2pHV rm 例例3 粒子在中心力场中运动：角动量粒子在中心力场中运动：角动量是守恒量，是守恒量，动量动量 p 不是守恒量。不是守恒量。02pl，0)(rVl，所以角动量所以角动量是守恒量是守恒量。可以证明：可以证明：0Hl，可见：但是由于 0)(,rVp所以动量所以动量 p不是守恒量不是守恒量 就不能写成就不能写成 的形式。的形式。(a)与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，定取确定值，即体系的状态并不一定就
8、是某个守恒即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态量的本征态。例如，自由粒子的动量是守恒量，但自由粒子的状态不一定例如，自由粒子的动量是守恒量，但自由粒子的状态不一定是动量本征态。是动量本征态。量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。念不同。这实质上是不确定度关系的反映。202111),(YcYcY),()1(),(2YllYL 例如，在中心力场中，例如，在中心力场中，是守恒量，显然是守恒量，显然L L2 2也是守恒量也是守恒量，但这里所给出的波函数但这里所给出的波函数不一定是不一定是L2的本征态的本征
9、态。守恒量是否处于某本征态由初始条件确定守恒量是否处于某本征态由初始条件确定:（1 1）若若初始时刻初始时刻(t=0)(t=0)为为A A的本征态，则体系保持在该的本征态，则体系保持在该 本征态；本征态；本征态对应的量子数称为好量子数本征态对应的量子数称为好量子数（2 2）若初始时刻若初始时刻(t=0)(t=0)没有处于没有处于A A的本征态，则以后的本征态，则以后 任意时刻也不会处于本征态，但是任意时刻也不会处于本征态，但是A A的的平均值和平均值和测测 值概率的分布不随时间变化。值概率的分布不随时间变化。详见第十一章详见第十一章 教材第教材第204页证明页证明(b)量子体系的各守恒量并不一
10、定都可以同时取确定值，量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值，除非除非在同一个守恒量完全集中在同一个守恒量完全集中。例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量 都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值。能同时取确定值。但特殊情况但特殊情况 ，是它们的共同本征态是它们的共同本征态。zyxLLL，0l0l因而此时它们同时有确定值因而此时它们同时有确定值0。00Y守恒量与定态的异同：守恒量与定态的异同：（1）概念不一样）概念不一样 a.定态是定态是能量取确定值能量取确定值的状
11、态的状态能量本征态能量本征态 b.守恒量是特殊的力学量，不含时间守恒量是特殊的力学量，不含时间 t，且和且和 Hamilton算符对易算符对易（2）性质不一样）性质不一样 a.在定态下，一切不含在定态下，一切不含 t 的力学量，不管是否守恒量，的力学量，不管是否守恒量，其平均值、概率分布都不随其平均值、概率分布都不随 t 改变。改变。b.守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值、守恒量对一切状态，不管是否定态，其平均值、概率分布都不随概率分布都不随 t 改变。改变。可见，不管是定态问题还是力学量问题，都存在可见，不管是定态问题还是力学量问题，都存在力学量的平均值和取值的概率分布不随时间变化问题
12、。力学量的平均值和取值的概率分布不随时间变化问题。所以，只有所以，只有当体系在非定态，而所研究的力学量又当体系在非定态，而所研究的力学量又不是守恒量时不是守恒量时，才讨论力学量的平均值和取值几率分布，才讨论力学量的平均值和取值几率分布随时间的变化问题。随时间的变化问题。4.1.2、能级简并与守恒量的关系、能级简并与守恒量的关系定理：定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，设体系有两个彼此不对易的守恒量，0,0,0,GFHGHF但但即即则：体系能级一般是简并的。则：体系能级一般是简并的。守恒量在能量本征值问题中的应用，要害是涉守恒量在能量本征值问题中的应用，要害是涉及能级简并，其中包括及能级简并，
13、其中包括:(a)能级是否简并？能级是否简并？（b）在能级简并的情况下，如何标记各简并态？在能级简并的情况下，如何标记各简并态？,0,F HFHHE FF 由由于于与与 可可以以有有共共同同本本征征函函数数，证明：证明：,0,F GFGGFFGGFFGHE 由由于于，一一般般来来说说，即即不不是是 的的本本征征态态。但但 是是 的的本本征征态态，因因此此与与 不不是是同同一一个个量量子子态态。但但它它们们又又都都是是的的本本征征值值为为 的的本本征征态态，因因此此能能级级是是简简并并的的。,0,G HHGGHEGGHE 考考虑虑到到有有即即也也是是 的的本本征征态态，对对应应于于能能量量本本征征
14、值值。推论：如果体系有一个守恒量推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本只有一个本 征态），则征态），则 必为必为F的本征态。的本征态。E E EEEEHFFHFEEF证明证明：EEEEEEFHEEFFFFFF即也是 的本征值为的本征态。但已知能级 无简并，所以与只能是同一个量子态。因此最多只能 相差一个常数因子，即，所以也是 的本征态（本征值）位力位力(virial)定理定理 当体系处于当体系处于定态定态下，关于下，关于平均值随时间的变化平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即有一个有用的定理，即位
15、力（位力（virial）定理）定理.di,dHtr pr p 设粒子处于势场设粒子处于势场 中，中，Hamilton量为量为 V r 22HpmVr 9 考虑考虑 的平均值随时间的变化的平均值随时间的变化.按式按式 ，有，有r p 3 21,2pVmr pr pr1021ipVm r21pVmr2TV r11对于对于定态定态，所以，所以即即22Tpm式中式中 是粒子动能，上式即是粒子动能，上式即位力定理位力定理.d0dtr pdi,dHtr pr p 21,2pVmr pr pr21ipVm r 22HpmVr位力定理详细证明2222222222222,=,=0,0=,2xxxyzxxyzxy
16、zxxxxxxxxxx ppx ppppx ppppx ppppx pppx ppx ppi p d1,diAA tA Htt22,2yyy ppi p22,2zzz ppi p同理因为 ,=,0 xxxxp Vx p Vx VpdVxidxdVi xdx rrrrr ,=-dVVidrrr prrVnzVzyVyxVxn 1)()()(作业：作业：本章课后习题第4.4、4.5题4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子体系与波函数的交换对称性前面我们实际上学习了量子力学的四个基本原理：原理1 微观体系的状态可以用波函数完全描述原理2 力学量可以用厄米算符来描述原理3 体系状态的波函数可
17、以用算符的本征函数来展开原理4 体系状态的波函数要满足Schrdinger方程。今天我们开始学习第五个基本原理-全同性原理 自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质子，中子，光子，子，质子，中子，光子，介子等。介子等。同一类粒子同一类粒子具有完全相同的内禀属性具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷，包括静质量，电荷,自自旋，磁矩，寿命等旋，磁矩，寿命等.在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒在量子力学中，把内禀属性相同的一类粒子称为子称为全同（全同（identical）粒子）粒子.4.5.1 全同粒子的交换对称性全同粒子的交换对称性全同粒子组成的多体系
18、的全同粒子组成的多体系的基本特征基本特征是：是：任何可观测量，特别是任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任量，对于任何两个粒子交换是不变的，即何两个粒子交换是不变的，即交换对称性交换对称性.222221212122222ppeeeHmmrrrr12P12,0PH 例如例如氦原子中两个电子组成的体系氦原子中两个电子组成的体系,Hamilton量为量为 当两个电子交换时，当两个电子交换时，显然不变，显然不变，是两个电子交换的算符是两个电子交换的算符,亦即亦即H(1,2)(2,1)HH1212(1,2)(1,2)(2,1)(2,1)(1,2)(1,2)P HHHP1212(1,2)(2,1
19、)P HHP12,0PH 故这说明，是一个守恒量，即全同粒子系的交换对称性不随时间改变。12P因为 全同粒子系的交换对称性，反映到描述量全同粒子系的交换对称性，反映到描述量子态的波函数上就有了极深刻的内容。例如对子态的波函数上就有了极深刻的内容。例如对于氦原子，当人们在某处测得一个电子时，由于氦原子，当人们在某处测得一个电子时，由于两个电子的内禀属性完全相同因此不能（也不必）判断于两个电子的内禀属性完全相同因此不能（也不必）判断它究竟是两个电子中的哪一个。换言之，只能说测到了一它究竟是两个电子中的哪一个。换言之，只能说测到了一个电子在那里，但不能说它是两个中的哪一个。个电子在那里，但不能说它是
20、两个中的哪一个。对于全同粒子多体系，任何两个粒子交换一下，其量对于全同粒子多体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不变的，因为一切测量结果都不会因此有所改变。子态是不变的，因为一切测量结果都不会因此有所改变。这样，就给描述全同粒子系带来很强的限制，这样，就给描述全同粒子系带来很强的限制，即要求即要求该该体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性.1ijPC 2 对于有对于有 个全同粒子组成的多体系，其量子态个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数用波函数 描述描述,表示每一个粒子的表示每一个粒子的全部坐标全部坐标(例如包括空间坐标与自例如包括空间坐标与自旋
21、坐标旋坐标).表示第表示第 粒子与第粒子与第 粒子的全部坐标的粒子的全部坐标的交换，即交换，即1,ijNqqqq1,2,iq iNijPijN 由于所有粒子的内禀属性完全相同，由于所有粒子的内禀属性完全相同，和和 这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描描述的是同一个量子态述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一，因此它们最多可以相差一个常数因子个常数因子 ,即即ijPC11,ijijNjiNPqqqqqqqq用用 再运算一次，得再运算一次，得22ijijPCPC显然显然 ，所以，所以 ，因而，因而代入式（代入式（2），可看出，），可看出，有（而且有
22、（而且只有只有）两个两个本征值本征值，即，即 .即全同粒子系的波函数必须即全同粒子系的波函数必须满足下列关系之一满足下列关系之一ijP1C 1C 3ijijPP 4b4a2ijP21C 21ijP ijP 注意注意，对于全同粒子系，对于全同粒子系式中式中 .凡满足凡满足 的，称为的，称为对称波函数对称波函数；满足；满足 的的,称为称为反对称波函反对称波函数数.1,2,3,ijNijP ijP 所有所有 都是守恒量都是守恒量.ijp 5 所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数很强的限制，即要求它们数很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交对于任意两个粒子交
23、换，或者对称，或者反对称换，或者对称，或者反对称.,0,1,2ijP Hij 实验表明实验表明 凡自旋为凡自旋为 的的整数倍整数倍 的粒子，波的粒子，波函数对于两粒子函数对于两粒子交换总是对称的交换总是对称的，称为，称为Bose子子.例如例如介子介子 ，光子，光子 .凡自旋为凡自旋为 的的半奇数倍半奇数倍 的粒子，的粒子，波函数对于两粒子波函数对于两粒子交换总是反对称的交换总是反对称的，称为，称为Fermi子子.例如电子，质子，中子等例如电子，质子，中子等.31,22s 对于给定的一类全同粒子对于给定的一类全同粒子,其多粒子体系的波其多粒子体系的波函数的交换对称性是完全确定的函数的交换对称性是
24、完全确定的,而且与而且与粒子的自粒子的自旋旋有确定的关系有确定的关系.0,1,2,s 0s 1s 设有两个全同粒子设有两个全同粒子(忽略它们的相互作用忽略它们的相互作用)，Hamilton 量量表示为表示为 64.5.2 两个全同粒子组成的体系两个全同粒子组成的体系 kkkh qqq 7 表示单粒子的表示单粒子的Hamilton 量量.与与 形式形式上完全相同，只不过上完全相同，只不过 互换而已互换而已.显然，显然，12qq12,0.PH h q h q设设的本征方程为的本征方程为1h q2h q12Hh qh q 这种与这种与交换相联系的简并交换相联系的简并,称为交换简并称为交换简并.但这但
25、这两个波函数还不一定具有交换对称性两个波函数还不一定具有交换对称性.在上式中，在上式中，为单粒子能量为单粒子能量,为相应的为相应的归一化单粒子波函数归一化单粒子波函数,代表一组完备的量子代表一组完备的量子数数.k kqk 设两个粒子中有一个处于设两个粒子中有一个处于 态态,另一个处另一个处于于 态态,则则 与与 对对应的能量都是应的能量都是 1k2k1212kkqq1221kkqq12kk 对于对于Bose子子，要求波函数对于交换是对称的，要求波函数对于交换是对称的.这里要分两种情况：这里要分两种情况：1 212121212211,2sk kkkkkq qqqqq 是归一化因子是归一化因子（b
26、),归一化波函数为归一化波函数为（a），归一化的对称波函数可如下构成，归一化的对称波函数可如下构成 8121212112kkPqq1 21212,sk kkkq qqq 912kk12kkk121 212121212211,2Ak kkkkkq qqqqq1122121212kkkkqqqq 对于对于Fermi子子，要求波函数对于交换是反对，要求波函数对于交换是反对称的称的.归一化的波函数可如下构成归一化的波函数可如下构成10121212112kkPqq著名的著名的Pauli不相容原理不相容原理：对全同费米子体系，不允许有两个或两个对全同费米子体系，不允许有两个或两个以上的粒子处于完全相同的量
27、子态。这一结论以上的粒子处于完全相同的量子态。这一结论称为称为Pauli不相容原理不相容原理。Pauli不相容原理对研不相容原理对研究原子的结构和元素周期表等起着非常重要的究原子的结构和元素周期表等起着非常重要的作用。作用。在上式中在上式中,若若 ，则，则 ，即这样的，即这样的状态是不存在的状态是不存在的.0A12kk 对于玻色子体系，处于同一量子态的粒子数目没有限对于玻色子体系，处于同一量子态的粒子数目没有限制，在一般情况下，由于玻色子体系的各个粒子具有不同制，在一般情况下，由于玻色子体系的各个粒子具有不同的动量它们不能处于完全相同的量子态。但在极低的温度的动量它们不能处于完全相同的量子态。
28、但在极低的温度下，由于体系的各个粒子的动量都趋于零，体系的大量粒下，由于体系的各个粒子的动量都趋于零，体系的大量粒子可以处于完全相同的量子态，这种现象叫做子可以处于完全相同的量子态，这种现象叫做玻色玻色-爱因斯坦爱因斯坦凝聚凝聚。玻色爱因斯坦凝聚是玻色子原子在冷却到接近绝对零度所呈现出的一种气态的、超流性的物质状态（物态）。1995年，麻省理工学院的沃夫凯特利与科罗拉多大学鲍尔德分校的埃里克康奈尔和卡尔威曼使用气态的铷原子在170 nK的低温下首次获得了玻色-爱因斯坦凝聚。在这种状态下，几乎全部原子都聚集到能量最低的量子态，形成一个宏观的量子状态。)sin()2(22)2(2)2(1)1(21
29、)(2/32/32/312rkiieeiePrrk irk irk iAk这就是两全同粒子波函数交换反对称时在空间相对距离的几率分布，见下图。这就是两全同粒子波函数交换反对称时在空间相对距离的几率分布，见下图。注意：全同粒子相对距离的几率分布与波函数的交换注意：全同粒子相对距离的几率分布与波函数的交换对称性密切相关。对称性密切相关。这是可观测效应，尤其在电子这是可观测效应，尤其在电子-电子散射及介子电子散射及介子-介子散介子散射中，这种全同性效应可观测到。射中，这种全同性效应可观测到。先考虑三个先考虑三个无相互作用无相互作用全同全同Fermi 子组成的体系子组成的体系.设三个粒子处于三个不同的
30、单粒子态设三个粒子处于三个不同的单粒子态 ,和和 ,则反对称波函数可表示为则反对称波函数可表示为1111 2 22223331231231231231,3!kkkAk k kkkkkkkqqqq q qqqqqqq4.5.3 N个全同个全同Fermi子组成的体系子组成的体系3k2k1k12323131232112312312312312312321313213!kkkkkkkkkkkkkkkkkkqqqqqqqqqqqqqqqqqq233112232331121,3!IP PP PPPP123123kkkqqq11其中其中称为称为反对称化算符反对称化算符.111222112121121,!NN
31、NNkkkNkkkNAkkNkkkNqqqqqqqqNqqq 类似类似可以推广到可以推广到N个全同个全同Fermi子组成的体系子组成的体系.设设N个个Fermi子分别处于子分别处于 态下，态下，则反对称波函数可如下构成则反对称波函数可如下构成 12Nkkk121212ANkkkNqqq P 代表代表N个粒子的一个个粒子的一个置换置换(permutation).N 个粒子分别排列在个粒子分别排列在N个单粒子态上个单粒子态上,共有共有N！个置换（包括恒等变换个置换（包括恒等变换 I）。）。在上式中在上式中1212,kkkNNqqqP1!PPPN称为反对称化算符称为反对称化算符.从标准排列从标准排列
32、 经过经过各种可能的置换各种可能的置换P，得到，得到 一共得出一共得出N！项，即行列式展开后得出的！项，即行列式展开后得出的N!项项.1212NkkkNqqq Bose 子不受子不受Pauli原理限制，可以有原理限制，可以有任意数目任意数目的的Bose子处于子处于相同的单粒子态相同的单粒子态.设有设有 个个Bose子子处于处于 态上态上 ，这些，这些 中，中，有些可以为有些可以为0，有些可以大于，有些可以大于1.此时，对称的多粒此时，对称的多粒子波函数可以表示成子波函数可以表示成 inik1,2,iN1NiinNin111212121211kknknknnPnnPqqqq 个个134.5.4
33、N个全同个全同Bose子组成的体系子组成的体系注意注意：这里的这里的P是指那些是指那些只对处于不同单粒子态上的粒只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换子进行对换而构成的置换，因为只有这样，式（而构成的置换，因为只有这样，式（13）的求和中的各项才彼此正交的求和中的各项才彼此正交.这样的置换共有这样的置换共有个个.因此，归一化的对称波函数可表示为因此，归一化的对称波函数可表示为1111!,!NNisinnNkkNPnqqPqqN1412!NN n nn！例例 N=3体系，设三个单粒子态分别记为体系，设三个单粒子态分别记为123,.123(.)1.annn1111231122331123321221
34、331223311321321322311(,)()()()()()()3!()()()()()()()()()()()()sq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqq这种对称态只有一个。这种对称态只有一个。2101231112331113221213211(,)()()()()()()3()()()sq q qqqqqqqqqq123()2,10.,.bnnn这种对称态共有这种对称态共有6个。个。300123111213(,)()()()sq q qqqq123()3,00.,.cnnn这种对称态共有这种对称态共有3个。个。4.2设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态设体系有两个粒
35、子，每个粒子可处于三个单粒子态 中的任何一个态，试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：中的任何一个态，试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同玻色子；）两个全同玻色子；（b）两个全同）两个全同费米费米子；子；（c）两个不同粒子。）两个不同粒子。123,解解:(a)对对两个全同的玻色子，体系波函数必须满足交两个全同的玻色子，体系波函数必须满足交换对称性。换对称性。（1）当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：必定交换对称：(1,2)(1)(2),1,2,3iii可能态数目可能态数目 3（2）当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体当两个
36、粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：系波函数：1(1,2)(1)(2)(2)(1),2ijijij可能态数目可能态数目233C 所以，两个全同所以，两个全同Boss子总的可能态数目子总的可能态数目6(b)对对两个全同的费米子，体系波函数必须满足交换两个全同的费米子，体系波函数必须满足交换反对称要求。反对称要求。对费米子不允许两个粒子处于相同的单态，因此对费米子不允许两个粒子处于相同的单态，因此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：函数：1(1,2)(1)(2)(2)(1),2ijijij可能态数目可能态数目233C 所以，两个全同所以，两个全同Femi子总的可能态数目子总的可能态数目3(c)对对两个经典的粒子两个经典的粒子(可区分可区分)，其体系波函数无对称，其体系波函数无对称性要求，即性要求，即(1,2)(1)(2),1,2,3iji j可能态数目可能态数目339
