1、9.4分期付款问题中的有关计算分期付款问题中的有关计算【课标要求课标要求】1通过探究通过探究“分期付款分期付款”等日常生活中的实际问题，体等日常生活中的实际问题，体会会 等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用2通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨 论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学 模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比 数列的广泛应用数列的广泛应用3通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学
2、，从而通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而 激发学生的积极性，提高数学学习的兴趣和信心激发学生的积极性，提高数学学习的兴趣和信心等差数列等差数列 an 的通项公式的通项公式_，前，前n项和公式项和公式_或或_自学导引自学导引1答案答案ana1qn1Snna1有关储蓄的计算有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息本金本公式是：利息本金存期存期利率利率根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额利息全额算公式为：应纳税额利息全额
3、税率税率(1)整存整取定期储蓄整存整取定期储蓄23一次存入本金金额为一次存入本金金额为A，存期为，存期为n，每期利率为，每期利率为p，税率为，税率为q，则到期时，所得利息为：，则到期时，所得利息为：_，应纳税为，应纳税为_，实际取出金额为：实际取出金额为：_(2)定期存入零存整取储蓄定期存入零存整取储蓄每期初存入金额每期初存入金额A，连存，连存n次，每期利率为次，每期利率为p，税率为，税率为q，则到第则到第n期末时，应得到全部利息为：期末时，应得到全部利息为：_，应纳税，应纳税为：为：_，实际受益金额为，实际受益金额为_分期付款问题分期付款问题贷款贷款a元，分元，分m个月将款全部付清，月利率为
4、个月将款全部付清，月利率为r，各月所付，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为：算，那么每月付款款额为：_4在分期付款问题中，贷款在分期付款问题中，贷款a元，分元，分m个月付清，月利率为个月付清，月利率为r，每月付，每月付x元，想一想，每月付金额元，想一想，每月付金额x元应如何计算，试元应如何计算，试给出推导过程给出推导过程提示一方面货款提示一方面货款a元，元，m个月后本息和为个月后本息和为a(1r)m；另一；另一方面每月付款方面每月付款x元，从第一个月开始每次付款元，从第一个月开始每次付款x元，元，m
5、个月个月后本息和见下表所示后本息和见下表所示.自主探究自主探究期数期数123本息和本息和 x(1r)m1x(1r)m2x(1r)m3某人从某人从2000年起，每年年起，每年1月月1日到银行存入日到银行存入a元元(一年定一年定期期)，若年利率，若年利率r保持不变，且每年到期存款均自动转为新保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到的一年定期，到2004年年1月月1日将所有存款及利息全部取日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数回，他可取回的钱数(单位为元单位为元)是是 ()答案答案B预习测评预习测评1某地区农民收入由工资性收入和其他收入两部分构某地区农民收入由工资性收入和其他收入两部分
6、构成成.2008年该地区农民人均收入为年该地区农民人均收入为4 150元元(其中工资性收其中工资性收入为入为2 800元，其他收入为元，其他收入为1 350元元)，预计该地区自，预计该地区自2009年年起的起的5年内，农民的工资性收入将以每年年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增的年增长率增长，其他收入每年增加长，其他收入每年增加160元根据以上数据，元根据以上数据，2008年该年该地区农民人均收入介于地区农民人均收入介于 ()A5 200元元5 400元元 B5 400元元5 600元元C5 600元元5 800元元 D5 800元元6 000元元答案答案D2某种产品三次调价，单价由
7、原来的每克某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到元降到216元，元，则这种产品平均每次降价的百分率为则这种产品平均每次降价的百分率为_答案答案25%某地今年产值为某地今年产值为a，若今后每年平均比上一年增长，若今后每年平均比上一年增长10%，则，则从今年起到第五年底该地总产值为从今年起到第五年底该地总产值为_答案答案10(1.151)a34解答数列应用题的基本步骤解答数列应用题的基本步骤(1)审题审题仔细阅读材料，认真理解题意仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模建模将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学(数列数列)语言，将实际语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么
8、问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么(3)求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解(4)还原还原将所求结果还原到原实际问题中将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤如下框图所示：具体解题步骤如下框图所示：名师点睛名师点睛1数列应用问题的常见模型数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加等差模型：一般地，如果增加(或减少或减少)的量是一个固的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少或减少)的量就的量就是公差，其一般形式是：是公差，其一般形式是：an1and(常数常数)例如：银行储蓄单利公式例如：银行储蓄单利公式2利息按单
9、利计算，本金为利息按单利计算，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为，存期为x，则本利和则本利和ya(1xr)例如：例如：银行储蓄复利公式银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为存期为x，则本利和，则本利和ya(1r)x.产值模型产值模型原来产值的基础数为原来产值的基础数为N，平均增长率为，平均增长率为p，对于时间，对于时间x的总的总产值产值yN(1p)x.分期付款模型分期付款模型(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型比数列的模型(4)
10、生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加数增加(或减少或减少)，同时又以一个固定的具体量增加，同时又以一个固定的具体量增加(或减或减少少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等长与砍伐问题等(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前与它的前一项一项an1(或前几项或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题推数列的知识求解问题 某单位用分期付款的方式为职工购买某单位用分期付
11、款的方式为职工购买40套住房，共需套住房，共需1 150万元，购买当天先付万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交万元，以后每月这一天都交付付50万元，并加付欠款利息，月利率为万元，并加付欠款利息，月利率为1%.%.若交付若交付150万元万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实套住房实际花了多少钱？际花了多少钱？解因购房时先付解因购房时先付150万元，则欠款万元，则欠款1 000万元，依题意分万元，依题意分20次付款，则每次付款数额
12、顺次构成数列次付款，则每次付款数额顺次构成数列 an 题型一题型一等差数列模型的应用等差数列模型的应用【例例1】典例剖析典例剖析a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，实际共付实际共付1 1051501 255(万元万元)所以第所以第10个月应付个月应付55.5万元，实际共付万元，实际共付1 255万元万元方法点评与等差数列有关的实际应用题，要抓住其反映方法点评与等差数列有关的实际应用题，要抓住其反映等差数列特征，仔细审题，用心联想，如本例中，每月比等差数列特征，仔细审题，用心联想，如本
13、例中，每月比上一月都少付了上一月都少付了50万元的月息，即万元的月息，即0.5万元，所以每月付万元，所以每月付款成等差数列款成等差数列一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么时放水，那么24 min可注满水池如果开始时全部放开，可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关
14、闭的这个倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？水龙头放水多少时间？解设共有解设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为次为x1，x2，xn.由已知可知由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列数列 xn 成等差数列，成等差数列，1 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2011年起，年起，每年年初到银行新存入每年年初到银行新存入a元，年利率元，年利率p保持不变，并按复利保持不变，并按复利计算，到计算，到2021年年初将所有存款和利息全部取出，共取回年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？多少元？解从解从
15、2011年年初到年年初到2012年年初有存款年年初有存款b1a(1p)元，设元，设第第n年年初本息有年年初本息有bn元，第元，第n1年年初有年年初有bn1元，则有元，则有bn1(bna)()(1p)将之变形为将之变形为题型题型二二等比数列模型的应用等比数列模型的应用【例例2】方法点评根据问题建立数列关系式是解决问题的关键，方法点评根据问题建立数列关系式是解决问题的关键，依据关系式转化为等差依据关系式转化为等差(比比)数列求解数列求解银行按规定每经过一定时间结算存银行按规定每经过一定时间结算存(贷贷)款的利息一次，结款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利，息后即将利息并
16、入本金，这种计算利息的方法叫做复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款性贷款10万元，第一年便可获利万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一万元，以后每年比前一年增加年增加30%的利润；乙方案：每年贷款的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获万元，第一年可获利利1万元，以后每年比前一年增加万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都千元，两方案使用期都是是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？的复利计算，试比较
17、两种方案谁获利更多？(精确到精确到千元，数据千元，数据1.1102.594，1.31013.79)解甲方案解甲方案10年中每年获利数组成首项为年中每年获利数组成首项为1，公比为，公比为130%的等比数列，其和为的等比数列，其和为21(130%)%)(130%)%)2(130%)%)9到期时银行贷款的本息为到期时银行贷款的本息为10(10.1)10102.59425.94(万元万元)，甲方案扣除贷款本息后，净获利约为甲方案扣除贷款本息后，净获利约为426325.9416.7(万元万元)乙方案乙方案10年中逐年获利数组成等差数列年中逐年获利数组成等差数列乙方案扣除贷款本息后，净获利约为乙方案扣除贷
18、款本息后，净获利约为325017.5315.0(万元万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利 某林场去年年底森林中木材存量为某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从万立方米，从今年起每年以今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为木材量为b，为了实现经过，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取取lg 20.3)解设解设a1，a2，a20表示今年开始的各年木材存量，且表示今年开始的
19、各年木材存量，且a03 300，则，则anan1(125%)%)b.题型题型三三递推数列型应用题递推数列型应用题【例例3】方法点评有些实际应用题，虽然是数列问题，但是既不方法点评有些实际应用题，虽然是数列问题，但是既不是等差数列问题，也不是等比数列问题如果容易找到该是等差数列问题，也不是等比数列问题如果容易找到该数列任意一项数列任意一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前几项或前几项)间的递推关间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题某地区原有森林木材存量为某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为，且每年增长率为25%，因生，因生产建
20、设的需要每年年底要砍伐的木材量为产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设，设an表示表示n年年后该地区森林木材存量后该地区森林木材存量(1)求求an的表达式；的表达式；3 要在一段公路上每隔要在一段公路上每隔100米竖一块路程牌，共需竖米竖一块路程牌，共需竖60块块路程牌，并依次将它们编号为路程牌，并依次将它们编号为1，2，3，60，为完成，为完成竖牌的任务，要求先用一辆汽车把竖牌的任务，要求先用一辆汽车把60块路程牌全部集中到块路程牌全部集中到n(1n60，nN)号牌处，再由一个工人从号牌处，再由一个工人从n号牌处出号牌处出发，用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌，发，用自行车每次运一块
21、路程牌到规定地点竖牌，n应取应取多少时，才能使工人竖牌时所行的路程最少？最少路程是多少时，才能使工人竖牌时所行的路程最少？最少路程是多少？多少？错解错解 找不到解决问题的思路找不到解决问题的思路错因分析错因分析一些学生被应用题长长的文字所吓倒，不能从一些学生被应用题长长的文字所吓倒，不能从文字中提取有用信息，转化为数学模型，造成应用题不会文字中提取有用信息，转化为数学模型，造成应用题不会做的局面做的局面误区警示误区警示找不到应用题对应的数列模型找不到应用题对应的数列模型【例例4】正解正解 路程牌集中到路程牌集中到n号牌处时，该工人所行路程为号牌处时，该工人所行路程为Sn2100(n1)2100
22、(n2)2100121001210022100(60n)因为因为nN，所以当，所以当n30或或n31时，时，(Sn)最小最小200(30261301 830)180 000(米米)即即n取取30或或31时，才能使工人竖牌时所行的路程最少，最时，才能使工人竖牌时所行的路程最少，最少路程是少路程是180 000米米纠错心得树立解应用题的自信心，应用所学知识进行解纠错心得树立解应用题的自信心，应用所学知识进行解决本例运用数列的知识求出从决本例运用数列的知识求出从n号到每一号所行路程，号到每一号所行路程，它们分别组成两个等差数列，之后运用等差数列前它们分别组成两个等差数列，之后运用等差数列前n项和项和
23、公式求出所行的路程，再用二次函数的有关知识计算出最公式求出所行的路程，再用二次函数的有关知识计算出最少路程少路程银行存款的计息方式，银行储蓄业务的种类及三种模型：银行存款的计息方式，银行储蓄业务的种类及三种模型：零存整取模型，定期自动转存模型，分期付款模型熟悉零存整取模型，定期自动转存模型，分期付款模型熟悉教育储蓄的计息方法教育储蓄的计息方法等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型要把学习知识，应用知识，探索发现，使用计算机工型要把学习知识，应用知识，探索发现，使用计算机工具及培养良好的科学态度与思维品质很好地结合起来在具及培养良好的科学态度与思维品质很好地结合起来在归纳整合探究实际问题的过程中，进一步加深对数学问题归纳整合探究实际问题的过程中，进一步加深对数学问题的理解的理解课堂总结课堂总结12
