1、第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段两点的所有连线中，线段最短最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识本节将利用数学知识继续继续探究数学中探究数学中的最短路径问的最短路径问题题 如图所示，从
2、如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供选择，地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上求一点上求一点P，使，使得得PA+PB最小。最小。P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P，就是所求。，就是所求。思考？思考？为什么这样做就能得到最短距离呢？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.P如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B
3、 B两镇供气，泵站修在管道两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短应用ABl B/P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求.M 作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/.连接连接ABAB/,交直线交直线l l于点于点P.P.已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上求一点，使得上求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小.为什么这样做就能得到最短为什么这样做就能得到最短距离呢？距离呢？MA+MBPA
4、+PB 即即MA+MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A A、B B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A A、B B到它的距离之和到它的距离之和最短最短 练习练习请你自己动手 试一试！只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A关于直线“街道”的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点 D已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两的两边边OM，ON上各
5、取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周，组成三角形，使三角形周长最小长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小角形的周长最小 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两的两边边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周，组成三角形，使三角形周长最小长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称点的对称点A，A；连接连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点则点B、点、点C即为所求即为所求
6、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AB作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E E，2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M,则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 BNEM BNEM 且且BN=EM,MN=CD,BDBN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,CE,BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距:AM+MN+BN=A
7、M+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE,AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。AB
8、MNECD 2.如图，如图，A A、B B是两个蓄水池，都在河流是两个蓄水池，都在河流a a的同侧，为了方便灌溉作的同侧，为了方便灌溉作物，物，要在河边建一个抽水站，将河水送到要在河边建一个抽水站，将河水送到A A、B B两地，问该站建在河两地，问该站建在河边什么地方，边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线 a 的对称点点的对称点点C,C,连接连接ACAC交直线交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。ABa3.3.某班举行晚会，桌子摆成两直条某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的如图中的A
9、OAO，BO)BO)，AOAO桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了桔子，OBOB桌面上摆满了糖果，坐在桌面上摆满了糖果，坐在C C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点D,2.作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,3.连接连接DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短AOBC 证明：在直线证明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G
10、，连接，连接点点D,点点C关于直线关于直线OA对称，对称，点点G.H在在OA上，上，DG=CG,DM=CM,同理同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HCCM+CN+MN即即CM+CN+MN最短最短AOB.EDMNGH 4.如图：如图：C为马厩，为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐
11、篷，请你帮他确定这一天的最短路线。路线。作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F,2.作点作点D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,3.连接连接EF分别交直线分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH证明：在直线证明：在直线OA 上另外任取一点上另外任取一点G，连接，连接点点F,点点C关于直线关于直线OA对称，点对称，点G.M在在OA上，上，GF=GC,FM=CM,同理同理HD=HE，ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形在四边形EFGH中，中，FG+GH+
12、HEFE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HDCM+MN+ND即即CM+MN+ND最短最短FAOBD CEMNGHABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN巩固反馈：巩固反馈：1、如图，张庄、如图，张庄A、李庄、李庄B位于河沿的同侧，现要在位于河沿的同侧，现要在河沿河沿g上修一提灌站上修一提灌站C向张庄向张庄A、李庄、李庄B提水。当提提水。当提灌站修在河沿灌站修在河沿g的的C处时，所用水管最短，为处时，所用水管最短，为3千米。千米。已知已知BC的长为的长为2千米，你能在图中找出张庄千米，你能在图中找出张庄A的位的位置吗？置吗？g.提灌站
13、提灌站C李庄李庄B2、如图，小河边有两个村庄、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自要在河边建一自来水厂向村庄来水厂向村庄A与村庄与村庄B供水。供水。(1)若要使厂部到若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？哪建厂？（2）若要使厂部到）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什村的水管最省料，应建在什么地方？么地方？A村村B村村3、如图，两条公路、如图，两条公路OA、OB相交，在两条公路的相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点中间有一个油库，设为点P。如在两条公路上各设。如在两条公路上各设置一个加油站，请设计一个方案，把两个加油站设置一个加油站，请
14、设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。OP编后语 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。一、听理科课重在理解基本概念和规律 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老
15、师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。二、听文科课要注重在理解中记忆 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。三、听英语课要注重实践 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。2022-9-28最新中小学教学课件24thank you!
