1、函数的综合应用 函数的应用是中考每年必考题型,成为中考试卷中的亮点题目,形式设置简洁流畅,背景鲜活,体现初高中数学知识的衔接.尤其对函数的实际应用题,应注意第一步由实际问题抽象出数学问题;第二步解决数学问题,从而使实际问题得到解决.其间应注意对转化、数形结合、方程、待定系数法等思想方法的灵活运用 函数的实际应用题是近年中考的热点试题函数的实际应用题是近年中考的热点试题,这类题来源于生活和生产实践这类题来源于生活和生产实践,贴近生活贴近生活,具有较强具有较强的操作性和实践性的操作性和实践性,所以参考条件多所以参考条件多,思维有一定的深度思维有一定的深度,解答方法灵活多样解答方法灵活多样,解决问题
2、时要慎于思解决问题时要慎于思考考.题型主要包括题型主要包括:根据实际意义建模根据实际意义建模;利用方程利用方程(组组)、不等式、不等式(组组)、函数等知识对实际问题中的方、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等案进行比较等.中考试卷以实际生活为背景命制题目中考试卷以实际生活为背景命制题目,体现数学与生活的联系体现数学与生活的联系.把数学问题转化在生活背景中把数学问题转化在生活背景中是近年来经常出现的命题方式是近年来经常出现的命题方式,无不体现数学在实际生活中的应用无不体现数学在实际生活中的应用.纯函数型情境应用题纯函数型情境应用题:解决这类问题的关键是针对背景材料解决这类问题的关键是针对背景材
3、料,设定合适的未知数设定合适的未知数,找出相等关系找出相等关系,建立方程建立方程(组组)、不等式、函数型模型来解决、不等式、函数型模型来解决.几何背景下的函数情境应用题几何背景下的函数情境应用题:解决这类问题的关键是在理解题意的基础上解决这类问题的关键是在理解题意的基础上,对问题进行恰当的对问题进行恰当的抽象与概括抽象与概括,建立恰当的几何模型建立恰当的几何模型,从而确定某种几何关系从而确定某种几何关系,利用相关几何知识来解决利用相关几何知识来解决.几何求值问几何求值问题题,当未知量不能直接求出时当未知量不能直接求出时,一般需设出未知数一般需设出未知数,继而建立方程继而建立方程(组组),用解方
4、程用解方程(组组)的方法去求结果的方法去求结果,这是解题中常见的具有导向作用的一种思想这是解题中常见的具有导向作用的一种思想.对于几何图形与函数图象结合的综合题型,解题的关键是利用几何图形的有关性质确定点的坐标,联想到点的坐标和线段长之间的转化关系,一般作垂直于坐标轴的线段,构建直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函数等相关知识求出点的坐标,利用待定系数法求出函数解析式,结合图象也可进一步解决几何图形的其他问题.题型2题型1题型3题型4题型5题型1一次函数与反比例函数的综合应用典例1(淮北三模)如图,在第一象限内,一次函数y=k1x-2的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(4,a),与y轴、
5、x轴分别相交于B,C两点,且BC=CA.(1)求反比例函数的解析式;(2)根据图象,试求出在第一象限内,一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围;(3)若M(m,n)(0m4)为反比例函数y=图象上一点,过M点作MNx轴交一次函数y=k1x-2的图象于N点,若以M,N,A为顶点的三角形是直角三角形,求M点的坐标.题型2题型1题型3题型4题型5【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及垂直的性质.(1)过点A作AEx轴于点E,通过证明ACE BCO得出AE=BO,求出线段BO的长度,从而得出点A的坐标,即可求出反比例函数的解析式;(2)由
6、点A的坐标,结合两函数的图象即可求解;(3)由点A的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,由MN垂直x轴和直线AB的解析式即可得出点N的坐标,由AMN为直角三角形可得出关于m的一元二次方程,解方程即可求出m值,将其代入点M的坐标即可得出结论.题型2题型1题型3题型4题型5【答案】(1)过点A作AEx轴于点E.AEx轴,BOOC,AEC=BOC=90,ACE BCO,AE=BO.令一次函数y=k1x-2中x=0,则y=-2,BO=AE=2.点A的坐标为(4,2),题型2题型1题型3题型4题型5(2)观察函数图象可知:当0 x4时,一次函数图象在反比例函数图象下方,在第一象限内,一次函数的值小于
7、反比例函数值的x的取值范围为0 x4.点A(4,2)在一次函数y=k1x-2的图象上,2=4k1-2,解得k1=1,一次函数的解析式为y=x-2.MNx轴交一次函数y=x-2的图象于N点,点N的坐标为(m,m-2).以M,N,A为顶点的三角形是直角三角形,只能是AMAN,即 =-1,m2-6m+8=0,解得m1=2,m2=4(舍去).点M的坐标为(2,4).题型2题型1题型3题型4题型5题型2二次函数图象的实际应用(抛物线型)题型2题型1题型3题型4题型5【解析】本题考查三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识.(1)过点P作PHOA于点H,如图,设PH=3x,运用三角函
8、数可得OH=6x,AH=2x,根据条件OA=4可求出x,即可得到点P的坐标;(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,运用待定系数法可求出抛物线的解析式,然后求出y=1时x的值,就可解决问题.题型2题型1题型3题型4题型5题型2题型1题型3题型4题型5(2)若水面上升1 m后到达BC位置,如图,过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x-4),题型2题型1题型3题型4题型5题型3二次函数的实际应用典例3(武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:其中a为常数,且3a5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1
9、万元、y2万元,直接写出y1,y2与x的函数关系式;(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.题型2题型1题型3题型4题型5【解析】本题考查实际问题中利用函数单调性求函数的最值问题.(1)根据题意,直接写出关系式即可;(2)在(1)的结论上,对y1和y2进行讨论,求出两种产品的最大年利润;(3)可在(2)的结论上,对a进行分类讨论,得出结论.【答案】(1)y1=(6-a)x-20(0 x200),y2=-0.05x2+10 x-40(00,y1随x的增大而增大.当x=200时,(y1)max=1180-200a(3a5).乙产品:y
10、2=-0.05x2+10 x-40(0 x80),当0440,即3a3.7时,此时选择甲产品;当1180-200a=440,即a=3.7时,此时选择甲、乙产品都可以;当1180-200a440,即3.7a5时,此时选择乙产品.当3a3.7时,产销甲种产品年利润最大;当a=3.7时,产销两种产品都可以;当3.7a5时,产销乙种产品年利润最大.题型2题型1题型3题型4题型5题型4二次函数背景下的简单的几何动点问题典例4(湖北襄阳)如图,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C
11、两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P是第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标;(3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MNAB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在QMN为等腰直角三角形?题型2题型1题型3题型4题型5【解析】本题考查二次函数的综合问题,涉及待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质等知识.(1)分别令y=0和x=0,代入y=-x+3即
12、可求出B和C的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x-4),把点C的坐标代入即可求解;(2)若四边形DEFP为平行四边形,则DPBC,求出直线DP的解析式,联立抛物线解析式和直线DP的解析式,即可求出P的坐标;(3)由题意可知,0t6,若QMN为等腰直角三角形,则共有三种情况:NMQ=90;MNQ=90;NQM=90,分类讨论求解即可.题型2题型1题型3题型4题型5题型2题型1题型3题型4题型5(2)当DPBC时,四边形DEFP是平行四边形,设直线DP的解析式为y=mx+n,题型2题型1题型3题型4题型5(3)由题意可知0t6,设直线AC的解析式为y=m1x+n1,把A(-2,0)和
13、C(0,3)代入y=m1x+n1,得 题型2题型1题型3题型4题型5题型2题型1题型3题型4题型5题型2题型1题型3题型4题型5如图3,当NQM=90时,过点Q作QEMN于点E,过点M作MFx轴于点F,则四边形EQFM是正方形.设QE=a,题型2题型1题型3题型4题型5题型2题型1题型3题型4题型5题型5一次函数、反比例函数和二次函数的综合应用(1)求k值;(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与抛物线L的对称轴之间的距离;(3)把抛物线L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标.题型2题型1题型3题型4题型5【解析】本题考查二次函数的综合问题、待定
14、系数法、平移等知识.(1)设点P(x,y),只要求出xy即可解决问题;(2)先求出A,B坐标,再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题;(3)根据对称轴的位置即可判断,当对称轴在直线MP左侧,L的顶点就是最高点,当对称轴在MP右侧,L与MP的交点就是最高点.【答案】(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M可知OA=2x,代入OAMP=12,得到2xy=12,即xy=6,k=xy=6.题型2题型1题型3题型4题型5(3)A(t,0),B(t-4,0),L的对称轴为x=t-2,L的顶点坐标是(t-2,2)2134567821345678解:(1)由函数图象可知,当y1y2时,x-3或-x0
15、.(2)过点A作AEx轴于点E,过点B作BFy轴于点F,mn=pq=k,p=-n,m=-q,即AE=BF,OE=OF,OAE OBF,AOC=BOD.213456782.(合肥包河中学模拟)小明家饮水机中原有水的温度为20,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y()与开机时间x(分)满足一次函数关系),当加热到100 时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中水温y()与开机时间x(分)成反比例关系),当水温降至20 时,饮水机又自动开始加热,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)当0 x8时,求水温y()与开机时间x(分)的函数关系式;(2)求图中t的值;
16、(3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45分钟回到家时,饮水机内水的温度约为多少?21345678解:(1)当0 x8时,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系式为y=kx+b,故此函数关系式为y=10 x+20.(2)在水温下降过程中,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系式为(3)因为45-40=58,当x=5时,y=105+20=70,所以小明散步45分钟回到家时,饮水机内水的温度约为70.213456783.(山东青岛)如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距
17、离均为(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?21345678图案最高点到地面的距离为1 m.(2)令y=0,即-x2+2x=0,x1=0,x2=2,102=5,最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.213456784.为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现:当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数
18、关系式.(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?最大利润是多少?(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?解:(1)由题意得,y=700-20(x-45)=-20 x+1600(x45).(2)P=(x-40)(-20 x+1600)=-20 x2+2400 x-64000=-20(x-60)2+8000,x45,a=-200,当x=60时,P最大值=8000,即当每盒售价定为60元时,每天销售的利润P(元)最大,最大利润是8000元.21345678(3)由题意得-20(
19、x-60)2+8000=6000,解得x1=50,x2=70.抛物线P=-20(x-60)2+8000的开口向下,当50 x70时,每天销售粽子的利润不低于6000元.又x58,50 x58.在y=-20 x+1600中,k=-202时,y关于x的函数关系式;(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买玉米种子,乙农户购买了4165克该玉米种子,分别计算他们的购买量和付款金额.21345678解:(1)根据函数图象可得:购买量是函数的自变量x,且a=102=5,b=(3-2)50.8+10=14.(2)当x2时,设y与x的函数关系式为y=kx+m,y=kx+m经过点(2,10),且x=3时,y=14,
20、当x2时,y与x的函数关系式为y=4x+2.当x=4.165时,y=44.165+2=18.66,甲农户的购买量为1.76千克,乙农户的付款金额为18.66元.213456786.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c.已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t.已知球门的高度为2.44
21、m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门?21345678213456787.(北京海淀区二模)对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如,如图所示的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1,y=,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度.(2)函数y=2x2-bx.若其不变长度为零,求b的值;若1b3,求其不变长度q的
22、取值范围.21345678解:(1)函数y=x-1,令y=x,则x-1=x,无解,函数y=x-1没有不变值;函数y=x2,令y=x,则x=x2,解得x1=0,x2=1,函数y=x2的不变值为0或1,q=1-0=1.21345678(2)函数y=2x2-bx,令y=x,则x=2x2-bx,1b3,1x22,1-0q2-0,1q2.213456788.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)和点Q(x,y),给出如下定义:如果y=那么称点Q为点P的“妫川伴侣”.例如:点(5,6)的“妫川伴侣”为点(5,6),点(-5,6)的“妫川伴侣”为点(-5,-6).(1)点(2,1)的“妫川伴侣”为;如
23、果点A(3,-1),B(-1,3)的“妫川伴侣”中有一个在函数y=的图象上,那么这个点是.(填“点A”或“点B”)(2)点M*(-1,-2)的“妫川伴侣”点M的坐标为;如果点N*(m+1,2)是一次函数y=x+3图象上点N的“妫川伴侣”,求点N的坐标.(3)如果点P在函数y=-x2+4(-2xa)的图象上,其“妫川伴侣”Q的纵坐标y的取值范围是-4y4,求实数a的取值范围.21345678解:(1)(2,1).点A(3,-1)的“妫川伴侣”为(3,-1),点B(-1,3)的“妫川伴侣”为(-1,-3),则点B的“妫川伴侣”在函数y=的图象上.(2)(-1,2).当m+10,即m-1时,由题意得N(m+1,2).点N在一次函数y=x+3的图象上,m+1+3=2,解得m=-2(舍去);当m+10,即m-1时,由题意得N(m+1,-2).点N在一次函数y=x+3的图象上,m+1+3=-2,解得m=-6,N(-5,-2).21345678(3)如果点P在函数y=-x2+4(-2xa)的图象上,当-2x0时,0y4,-4y0,此时-2a0;当x0时,y=y,即-4y4,
