1、第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题 主主 要要 内内 容容电位微分方程，镜像法，分离变量法。电位微分方程，镜像法，分离变量法。1.1.电位微分方程电位微分方程已知，电位已知，电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为的散度为 E2 E E那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 2该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 02上式称为上式称为拉
2、普拉斯方程拉普拉斯方程。泊松方程的求解。泊松方程的求解。VVd|)(41)(rrrr 已知分布在已知分布在V 中的电荷中的电荷 在无限大的自由空间产生的在无限大的自由空间产生的电位为电位为)(r因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。应用应用格林函数格林函数 ，即可求出，即可求出泊松方程泊松方程的通解为的通解为),(rrGSrrrrrrrrrrd),()()(),(d)(),()(0 0 0GGVGSV式中式中格林函数格林函数 为为),(rrG|41),(0rrrrG 对于无限大的自由空间，表面对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函
3、数趋向无限远处，由于格林函数 及电位及电位 均与距离成反比，而均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，与距离平方成正比，所以，对无限远处的对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零表面，上式中的面积分为零。),(0rrG 若若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。以格林函数表示的积分解。数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某的变
4、化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值，这些初始值和边界值分别称为这些初始值和边界值分别称为初始条件初始条件和和边界条件边界条件，两者又统称为，两者又统称为该方程的该方程的定解条件定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题边值问题。通常给定的边界条件有三种类型：通常
5、给定的边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为题又称为诺依曼诺依曼问题。问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合混合边界条件。边界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷狄利克雷问题。问题。对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存
6、在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。以证明电位微分方程解也是惟一的。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。因此，解的稳定性具有重要的实际意义。解的解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解的解的稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会是指当定解条件发生微小变化
7、时，所求得的解是否会发生很大的变化。发生很大的变化。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二
8、类边界。法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。Sn 因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位电位，或电，或电位的位的法向导数法向导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即给定时，空间的静电场即被惟一地确定被惟一地确定。这个结论称为。这个结论称为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。2.镜像法镜像法 实质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具代替边界的影响，将原来具有边界的有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过自由空间，从而使计算过程
9、大为简化。程大为简化。依据：依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位镜像位置置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的
10、电荷才有可能确定其镜像电荷。可能确定其镜像电荷。（1）点电荷与无限大的导体平面。）点电荷与无限大的导体平面。介质 导体 q r P 介质 q r P hhrq 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4考虑到无限大导体平面的电位为零考虑到无限大导体平面的电位为零，求得，求得qq 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半电场线与等位面的分布特性与第二章所述的
11、电偶极子的上半部分完全相同。部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。电场线等位线 z 电荷守恒：电荷守恒：当点电荷当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷镜像点电荷代替导体表面上异性的代替导体表面上异性的感应
12、电荷感应电荷的作用。根据电荷守恒原的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。半空间等效：半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。在上半空间中，源及边界条件未变。q 对于半无限大导体平面形成的对于半无限大导体平面形成的劈形边界劈形边界也可应用镜像法。但是也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于仅当
13、这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个几个镜像电荷。镜像电荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。3/3/3q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。原理得知，同样可以应用镜像法求解。fqo（2）点电荷与导体球。）点电荷与导体球。Padrq 若导体球若导体球接地接地，导体球的电位，导体球的电位为零。为了等效
14、导体球边界的影响，为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点的连线上。那么，球面上任一点电位为电位为 rqrq 4 4可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为 qrrq 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 OPq 与与 OqP 相似，则相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为常数。由
15、此获知镜像电荷应为rrfarrqfaq镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 fad2这样，根据这样，根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。fqOPadrq 若导体球若导体球不接地不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷像电荷 q 后，为了满足电荷守恒
16、原理，必须再引入一个镜像电荷后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q，且必须令且必须令 显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“必须位必须位于于球心球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及及q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以提供一定的电位。以提供一定的电位。qq l（3）线电荷与带电的导体圆柱。）线电荷与带电的导体圆柱。Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离在圆柱轴
17、线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根处，平行放置一根镜像电荷镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为。已知无限长线电荷产生的电场强度为 lrlreE 2因此，离线电荷因此，离线电荷r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 0rrrrElrr0 ln2d 0 若令镜像线电荷若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的产生的电位也取相同的 作为参考点，作为参考点，则则 及及 在圆柱面上在圆柱面上 P 点共同产生的电位为点共同产生的电位为l0rllrrrrllP00ln2ln2rrlln2 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满
18、足这个边界条件，必须要求比值必须要求比值 为常数。与前同理，可令为常数。与前同理，可令 ，由此得，由此得 rradfarrfad2 （4）点电荷与无限大的介质平面。）点电荷与无限大的介质平面。E 1 1qr0EtEnEEtEn0rq 2 2q0r nE tE E 1 2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的下半空间，可用位于原点电荷处的q 等效原来的点电荷等效原来的点电荷q 与边与边界
19、上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均的均匀空间。匀空间。但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即 2t1t1tEEE n21n1nDDD 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：rrqeE2114rrqeE211)(4rrq eE222)(4qq2121qq2122 例例 已知同轴
20、线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电位为，电位为V，外导体接地，其，外导体接地，其内半径为内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。解解 对于这种边值问题，镜像法不适对于这种边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式只剩下包含变量中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电的一项，即电位微分方程为位微分方程为0dddd12r
21、rrr21lnCrC求得求得VbaO利用边界条件：利用边界条件：arVbr00lnln2121CbCVCaC求得求得baVCln1babVClnln2babrVlnlnbaVrrrrlnE最后求得最后求得 由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常数，中出现的积分常数，选择适当的坐标系是非常重要的选择适当的坐标系是非常重要的。对于平。对于平面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。坐标系及球坐标系。此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变
22、量此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关，有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用用直接积分方法直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是一种有效的方法就是分离变量法分离变量法。分离变量法分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分
23、离变为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量法对于量法对于11种坐标系都是行之有效的。种坐标系都是行之有效的。3.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 0222222zyx无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 )()()(),(zZyYxXzyx令令代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得，得 0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第求导，第二
24、项及第三项均为零，求得第一项对二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量于常数。同理，再分别对变量 y 及及 z 求导，得知第二项及第三项也分求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得，分别求得222 ,zyxkkk0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz式中式中kx，ky，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程个分离常数并不是独立的，它
25、们必须满足下列方程0222zyxkkk由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为xkxkxxBAxXjjee)(xkDxkCxXxxcossin)(或者或者式中式中A,B,C,D为待定常数。为待定常数。分离常数也可为虚数。当分离常数也可为虚数。当 kx 为
26、虚数时，令为虚数时，令 ，则上，则上述通解变为述通解变为 jxkxxBAxXee)(xDxCxX cosh sinh)(或者或者含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的线性组合线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的它完全决定于给定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。定的边界条件。例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d，其有，其有限端被电位
27、为限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解 选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个无关，因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为满足的拉普拉斯方程变为 02222yx)()(),(yYxXyx应用分离变量法，令应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条
28、件为根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足为了满足 及及 边界条件，应选边界条件，应选 Y(y)的解为的解为 0),(dx0)0 ,(xykBykAyYyycossin)(0),0(y0),(y0)0 ,(x 0),(dx因为因为 y=0 时，电位时，电位 =0，因此上式中常数，因此上式中常数 B=0。为了满足边界。为了满足边界条件条件 ，分离常数，分离常数 ky 应为应为 0),(dx 3,2,1,ndnkyydnAyYsin)(求得求得已知已知 ，求得，求得022yxkkdnkxj可见，分离常数可见，分离常数 kx 为虚数，故为虚数，故 X(x)的解应为的解应为xdnxdnDCxXe
29、e)(因为因为 x=0 时，时，电位电位 ，因此，式中常数因此，式中常数 C=0，即，即xdnDxXe)(ydnCyxxdnsine),(那么，那么，式中常数式中常数 C=AD。由边界条件获知，当由边界条件获知，当 x=0 时，电位时，电位 =0，代入上式，得，代入上式，得 ydnCsin0上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即位方程的解，即ydnCyxnxdnnsine),(1为了满足为了满足 x=0，
30、=0 边界条件，由上式得边界条件，由上式得 dyydnCnn0 ,sin10上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数数Cn为为为偶数为奇数 0 40nnnCnnxdnydnnyxsine14),(0最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中式中 。5 3,1n0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面电场线及等位面分布如右图示：分布如右图示：4.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 01122222zrrrrr令其解
31、为令其解为 )()()(),(zZrRzr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr代入上式求得代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项及第三项与的函数，而第一项及第三项与 无关，因无关，因此将上式对此将上式对 求导，得知第二项对求导，得知第二项对 的导数为零，可见第二项应为的导数为零，可见第二项应为常数，令常数，令 222dd1k0dd222k即即式中式中 k 为分离常数，为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围的变化范围为为 ，那么此时场量随，那么此时场量随 的变化一定是以的变化一定是以 2 2 为周期的周期函为
32、周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k 一定是整数，以保一定是整数，以保证函数的周期为证函数的周期为2 2。令。令 ，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的解为20mkmBmAcossin)(式中式中A,B 为待定常数。为待定常数。考虑到考虑到 ，以及变量，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为的方程式，则前述方程可表示为mk0dd1dddd12222zZZrmrRrrRr上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令此按照
33、前述理由，它们应分别等于常数，令 222dd1zkzZZ0dd222ZkzZz即即式中分离常数式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或指数函数。当指数函数。当 kz 为实数时，可令为实数时，可令 zkDzkCzZzzcossin)(式中式中C,D 为待定常数。为待定常数。将变量将变量 z 方程代入前式，得方程代入前式，得 0)(dddd222222RmrkrRrrRrz若令若令 ，则上式变为，则上式变为 222xrkz0)(dddd22222RmxxRxxRx上式为标准的柱上式为标准的柱贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为柱，其解为柱
34、贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 )(N)(J)(rkFrkErRzmzm 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电位微分方的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。式中式中E,F 为待定常数为待定常数,为为 m 阶第一类阶第一类柱柱贝塞尔函数，贝塞尔函数，为为m阶第二类阶第二类柱柱贝塞尔函数。根据第二类贝塞尔函数。根据第二类柱柱贝塞尔函数的特性知，贝塞尔函数的特性知，当当r=0 时，时，。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域包括 r=0 时，此时，此时只能取第一类时只能取第一类柱柱贝塞尔函数作为方程的
35、解。贝塞尔函数作为方程的解。)(Jrkzm)(Nrkzm)(Nrkzm 若所讨论的静电场与变量若所讨论的静电场与变量 z 无关，则分离常数无关，则分离常数 。那么。那么电位微分方程变为电位微分方程变为0zk0dddd2222RmrRrrRr此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 mmFrErrR)(若所讨论的静电场又与变量若所讨论的静电场又与变量 无关，则无关，则 m=0。那么，电位微。那么，电位微分方程的解为分方程的解为 00ln)(BrArR考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 110)cossin()cossi
36、n(ln),(mmmmmmmmmDmCrmBmArrAr 例例 设一根无限长、半径为设一根无限长、半径为 a 的导体圆柱放入无限大的均匀静的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。外的电场强度。解解 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴轴为圆柱轴线，电场强度的方向与线，电场强度的方向与x 轴一致，即轴一致，即 xE eE00 当导体圆柱处于当导体圆柱处于静电平衡静电平衡时，圆柱内的时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表
37、面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与数应与z 无关。解的形式可取前述一般形式，无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：但应满足下列两个边界条件：xyaE0O 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 01arreE0ar因此因此 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 cos),(00rExE 此式表明，无限远处电位函数仅为此式表明，无限远处电位函数仅为 cos 的函数，可见系的函数，可见系数数 ，且，且 m=0。因此电位函数为。因此电位函数为00mmC
38、AAcoscos),(11rDrBr01EB201aED 那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为 coscos),(200raErEr则柱外电场强度为则柱外电场强度为 zrrzreeeE1sin1cos1022022EraErareexyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：5.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式
39、为0sin1sinsin112222222rrrrrr)()()(),(rRr令令0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理，的解应为的解应为mBmAcossin)(0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 )1(dddd12nnrRrrR0)1(dd2dd222RnnrRrrRr式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其
40、通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 1)(nnrDCrrR将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得0sinsin)1(ddsindd2mnn令令 ，则上式变为，则上式变为xcos01)1(dd)1(dd222xmnnxxx上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。)(Pxmn)(Qxmn 当当 n 是整数时，是整数时，及及 为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求 n 为整数。为整数。)(Pxmn)(Qxmn 根据第二类连带勒让德函数的特性知，
41、当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，时，。因此，当场存在的区域包括因此，当场存在的区域包括 或或 时，时，此时只能取第一，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令1x)(Qxmn01x)(cosP)(P)(mnmnx 那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合)(cosP)()cossin(),()1(00mnnnnnmnmnmrDrCmBmAr 若静电场与变量若静电场与变量 无关，则无关，则 m=0。那么。那么 称为称为第一类勒让德函数。此时，第一类勒让德函数。此时，电位微分方程电
42、位微分方程的通解为的通解为)(P)(P0 xxnn)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCr 例例 设半径为设半径为a，介电常数为，介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。度。E0zy 0a解解 取球坐标系，令取球坐标系，令 E0 的方向与的方向与 z 轴一致，轴一致，即即 。显然，此时场分布以。显然，此时场分布以 z 轴轴为旋转对称，因此与为旋转对称，因此与 无关。这样，球内无关。这样，球内外的电位分布函数可取为外的电位分布函数可取为z
43、E eE00)(cosP)(),(0)1(nnnnnnrDrCr则球内外电位分别为则球内外电位分别为0)1(0)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnirDrCr0)1(0)(cosP)(cosP),(nnnnnnnnorBrAr球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：球心电位球心电位 应为有限值；应为有限值；),0(i 无限远处电场未受干扰，因此电位应为无限远处电场未受干扰，因此电位应为 )(coscos),(100orPErE 球内电位与球外电位在球面上应该连续，即球内电位与球外电位在球面上应该连续，即),(),(oiaa 根据边界上电位移法向分量的连
44、续性，获知球面上内外根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外电位的法向导数应满足电位的法向导数应满足 ararrro0i考虑到边界条件考虑到边界条件，系数，系数 Dn 应为零，即应为零，即0i)(cos),(nnnnPrCr 为了满足边界条件为了满足边界条件，除了，除了A1 以外的系数以外的系数 An 应皆为零，应皆为零，且且 。即。即 01EA)(cos)(cos),()1(010onnnnPrBrPEr再考虑到边界条件再考虑到边界条件，得，得 0)1(100)(cos)(cos)(cosnnnnnnnnPaBaPEPaC为了进一步满足边界条件为了进一步满足边界条件，得，得0)2(1
45、001)(cos)1()(cos)(cosnnnnnnnnrPaBnPEPanC0r式中式中 由于上两式对于所有的由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为各项系数应该相等。由此获知各系数分别为 000 CB21301rraEB2301rEC)2(,0nCBnn 23cos23),(00izErErrr 21cos),(2300oraErErrr代入前式，求得球内外电位分别为代入前式，求得球内外电位分别为E0zy 0a值得注意的是球内的电场分布。已知值得注意的是球内的电场分布。已知 ，求得球内的电场为，求得球内的电场为EzzEzeeE000ii23可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于低于球外场强。球内球外场强。球内外的电场线如图示。外的电场线如图示。如果在无限大的介电常数为如果在无限大的介电常数为 的均的均匀介质中存在球形气泡，那么当外加匀介质中存在球形气泡，那么当外加均匀电场时，气泡内的电场强度应为均匀电场时，气泡内的电场强度应为ziEeE2300那么，泡内的场强那么，泡内的场强高于高于泡外的场强。泡外的场强。zzrEEee0023zzrrEEee00213
