1、书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！勤劳的孩子展望未来勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在但懒惰的孩子享受现在!什什 么么 也也 不不 问问 的的 人人 什什 么么 也也 学学 不不 到到 !怀怀 天天 下下 ，求求 真真 知知 ，学学 做做 人人第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何3.2.1 直线的方向向量直线的方向向量 与直线的向量方程与直线的向量方程一、复习引入一、复习引入二、提出问题
2、二、提出问题如何确定空间中的如何确定空间中的点的位置点的位置？确定平面内点的位置，通常采用两个方法确定平面内点的位置，通常采用两个方法“平面直角平面直角坐标系内的坐标坐标系内的坐标(x,y)(x,y)”或或“该点相对于某一已知点的该点相对于某一已知点的方向方向及及距离距离”。那么，空间内呢？。那么，空间内呢？在空间，我们也可以用在空间，我们也可以用“该点的空间直角坐标系内的坐标该点的空间直角坐标系内的坐标(x(x，y y，z)z)”或或“在空间中该点相对于某一已知点的在空间中该点相对于某一已知点的方向方向及及距离距离”来描述。来描述。因此，在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的因此，在空
3、间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的集合。集合。两个词两个词“方向方向”、“距离距离”，给我们什么启示？，给我们什么启示？三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.位置向量位置向量已知空间内一点已知空间内一点A A，决定它的相对位置需再选一定点，决定它的相对位置需再选一定点O(O(根据根据情况自己决定情况自己决定)，则向量，则向量 称作点称作点A A的的位置向量位置向量。OAa A AO Oa如果如果O O点点(也可以称为也可以称为基点基点)给定，我们就可以用不同的位置给定，我们就可以用不同的位置向量表示空间内的不同的点了。向量表示空间内的不同的点了。设设P P是直线上任意一点，则是直线上任
4、意一点，则P P点应满点应满足，存在一个实数足，存在一个实数t t使得使得三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置我们知道，在平面内一条直线可以由一个点和一个方向来我们知道，在平面内一条直线可以由一个点和一个方向来确定，在空间确定一条直线也是如此。也就是说，确定，在空间确定一条直线也是如此。也就是说，在空间在空间经过一个点和一个方向有且只有一条直线。经过一个点和一个方向有且只有一条直线。aAPta A Al给定点给定点A A和一个向量和一个向量 ，则经过点，则经过点A A和方向和方向 确定直线确定直线aalP P称此方程为称此方程
5、为直线直线 的参数方程的参数方程。向。向量量 称为该称为该直线的方向向量直线的方向向量。la三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.用向量表示直线或点在直线上的位置用向量表示直线或点在直线上的位置对于空间直线对于空间直线 也可以用两点来确定，设直线过也可以用两点来确定，设直线过A A，B B两点，两点，O O为基点，则为基点，则 为两个基向量。为两个基向量。()OPOAAPOAtABOAt OBOA A AlP P称此方程为称此方程为空间直线空间直线 向量的参数向量的参数方程方程。lO Ol,OA OB B B则对于直线上任意一点则对于直线上任意一点P P，可以用这两个基向量来表示。，可以用这
6、两个基向量来表示。(1)OPt OAtOB 当当 时，时，P P为线段为线段ABAB的中点。的中点。12t 直线的向量方程直线的向量方程:OaABP,APta tR,OPOAta tR (1),OPt OAtOB tR 、都叫做空间直线的向量参数方程,(1)OPxOAyOB xy a,OPOAtAB tR 例例1 1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:AP:PB=1:2 AQ:QB=-2 求点P和点Q的坐标.AB,1)311,35(,1,311,35,),3,3,1(31)0,4,2(32z)y,(x,z
7、),y,(x,.3132),(2,2,)1(:的坐标是点因此所以得则上式换用坐标表示坐标为设点即得由已知解PzyxPOBOAOPOAOPOPOBAPPBAQBPyzxlO例例1 1(0,2,6).,6,2,0)6,2,0()3,3,1(2)0,4,2(),(),(,2),(2,2AQ,2:)2(的坐标是点因此即得则上式换用坐标表示，的坐标为设点所以因为QzyxzyxzyxQOBOAOQOQOBOAOQQBQBAQ在在数学数学2 2立体几何初步立体几何初步中我们学习了空间里的中我们学习了空间里的平行平行关系关系，即，即线线平行线线平行、线面平行线面平行和和面面平行面面平行。请同学们回忆。请同学们
8、回忆一下它们的定义、判定定理和性质定理。一下它们的定义、判定定理和性质定理。三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行行，平面与平面平行公理公理4 4：在空间，平行于同一条直线的两条直线平行。：在空间，平行于同一条直线的两条直线平行。线面平行的判定定理线面平行的判定定理：平面外的一条直线如果和平面内的：平面外的一条直线如果和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。面面平行的判定定理面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交的直线：如果一个平面内有
9、两条相交的直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。平行于另一个平面，则这两个平面平行。在空间，我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢？在空间，我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢？三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行行，平面与平面平行1.1.用向量的方法证明线线平行用向量的方法证明线线平行设直线设直线 和和 的方向向量分别为的方向向量分别为 和和 ，则，则1l2l12 121212/或 与 重合llll1l2l12 121212/llll或 与 重合也可写成也可写成设两个不共线向量设两个不共线向
10、量 和和 与平面与平面 共面，直线共面，直线 的一个的一个方向向量为方向向量为 ，则，则三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行行，平面与平面平行2.2.用向量的方法证明线面平行用向量的方法证明线面平行l12 112/,llx yRxy或使l12 推论：如果推论：如果A,B,CA,B,C三点不共线，三点不共线，则点则点M M在平面在平面ABCABC内的充要条件内的充要条件是，存在一对实数是，存在一对实数x,yx,y使得使得 成立。成立。AMxAByAC三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.用向量证明
11、直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行行，平面与平面平行3.3.用向量的方法证明面面平行用向量的方法证明面面平行12/或 与 重合且12 设两个不共线向量设两个不共线向量 和和 与平面与平面 共面，则共面，则12 三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行行，平面与平面平行例子：例子：如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M，N N分别是面对角线分别是面对角线A A1 1B B与面对角线与面对角
12、线A A1 1C C1 1的中点。的中点。(1)(1)求证：求证：MN/ADMN/AD1 1且且 ；(2)(2)求证：求证：MN/MN/侧面侧面ADAD1 1。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1112MNADM MN N几何证法几何证法向量证法向量证法三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空间两条直线垂直间两条直线垂直(当夹角为当夹角为9090时时)设直线设直线 和和 的方向
13、向量分别为的方向向量分别为 和和 ，则，则1l2l12 1212120 ll2l12 1l设两条直线所成角为设两条直线所成角为，则，则12cos|cos,|2 11l2l三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角的角例子：例子：如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，点，点M M，N N分别是分别是B B1 1B B与与CACA1 1的中点。求证：的中点。求证：MNBBMNBB1 1 ；MNMNA A1 1C C。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C
14、C1 1D D1 1M MN N三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角的角例子：例子：已知三棱锥已知三棱锥O-ABC(O-ABC(如图如图)，OA=4OA=4，OB=5OB=5，OC=3OC=3，AOB=BOC=60AOB=BOC=60，COA=90COA=90，M M，N N分别是棱分别是棱OAOA，BCBC的的中点，求异面直线中点，求异面直线MNMN与与ACAC所成角的余弦。所成角的余弦。O OA AB BC CM MN N四、应用举例四、应用举例例例1.1.平行六面体平行六面体 中，中，O O是是B B1
15、1D D1 1的中点，求的中点，求证：证：B B1 1C/C/平面平面ODCODC1 1 。1111ABCDA BC DA AB BC CD DA A1 1B B1 1D D1 1C C1 1O O 立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题，应用向立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题，应用向量运算的方法，虽然证明过程书写较长，但因不添加辅助量运算的方法，虽然证明过程书写较长，但因不添加辅助线而减少了思考时间。线而减少了思考时间。四、应用举例四、应用举例例例2.2.如图所示，已知矩形如图所示，已知矩形ABCDABCD，PAPA平面平面ABCDABCD，M M，N N分别分别是是ABAB，PCPC
16、的中点，的中点，PDA=PDA=，能否确定，能否确定，使直线，使直线MNMN是直是直线线ABAB与与PCPC的公垂线？若能确定，求出的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，的值；若不能确定，说明理由。说明理由。D DA AB BC CP PN NM M基础训练基础训练,.OABCOABCOBACOCAB1.已知：在空间四边形中，求证：,OAa OBb OCc 证明：设则A AB BC CO O,;ABOBOAba BCOCOBcbACOCOAca ,0,0.()0,()0OABC OBACOA BCOBACacbb ca ,.a ca b b cb aa cb c ()0,0,.AB OCbacbca cABOCOCAB 如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 六、课堂总结六、课堂总结2.用空间向量证明空间的平行关系；1.用向量表示空间直线或点在直线上的位置；3.用空间向量证明空间的垂直关系及异面直线所称的角；4.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。
