1、1一、新课引入：一、新课引入：在正方体在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段中，说出下列各对线段的位置关系的位置关系ABCDA1B1C1D1（1）AB和和C1D1；（2）A1C1和和AC；（3）A1C和和D1B：（4）AB和和CC1；（5）BD1和和A1C1；1.空间两直线的位置关系：空间两直线的位置关系：（1）从公共点的数目来看可分为：）从公共点的数目来看可分为：有且只有一个公共点则两直线相交有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线两平行直线 没有公共点则没有公共点则 两直线为异面直线两直线为异面直线（2）从平面的性质）从平面的性质 来讲，可分为：来讲，可分为：两直线相交两
2、直线相交 在同一平面内在同一平面内 两直线平行两直线平行 不在同一平面内则两直线为异面直线。不在同一平面内则两直线为异面直线。定义：定义：的两条直线为异面直线的两条直线为异面直线二、异面直线：二、异面直线：2.判定异面直线的方法：判定异面直线的方法：（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。3.异面直线的画法：异面直线的画法：ababab（2）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 不经过该点的直线是异面直线。（定理）不经过该点的直线是异面直线。（定理）是异面直线与直线，若用符号表示为llBBlAlA
3、B,三、异面直线所成角的定义：三、异面直线所成角的定义：1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，作直线a1a，b1b。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a，b所成的角。所成的角。aa1b1Ob aO为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。o900 2.异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围：abOa1b1Oab1b3.找角方法：找角方法：如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两就说这两条异面直线互相垂直条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 异面垂直（无垂足）异面垂直（无垂足）OO因此
4、，异面直线所成角的范围是（因此，异面直线所成角的范围是（0，4、特例：、特例：2例例1.如图，在正方体中，（如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直）哪些棱所在的直线与直线线BA1成异面直线？（成异面直线？（2）求直线）求直线BA1和和CC1所成的角的所成的角的大小。大小。ABCDA1B1C1D1四、例题分析：四、例题分析：异面直线所成的角异面直线所成的角 根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：（1）平移法：平移法：即根据定义，以即根据定义，以“运
5、动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线所成的角。2 2长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABAB=AA=AA1 1=2 cm2 cm，ADAD=1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角。所成的角。（2）补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。直线的关系。O1MBDB1A1D1C1
6、ACF1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二解法二（补形法）（补形法）：说明说明：1.异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是（0，在把异面直在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当其大小，当余弦值为负值余弦值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。注意。2.当异面直线当异面直线垂直垂直时，应用线面垂直的定义判定所成的角为时，应用线面垂直的定义判定所成的角为90，也是不可
7、忽视的办法。，也是不可忽视的办法。2例例3.如图，正方体中，如图，正方体中，1.A1B1与与C1C所成的角所成的角2.AD与与B1B所成的角所成的角3.A1D与与BC1所成的角所成的角4.D1C与与A1A所成的角所成的角5.A1D与与AC所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1巩固：画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：平行直线；相交直线；异面直线。abbaba五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：（1）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为；（2）选取适当的三角形（）选取适当的三角形（为其一个内角），通过解为其一个内角），通过解 三角形求得三角形求得的值；的值；（3）异面直线所成的角的范围是）异面直线所成的角的范围是 0900，尽量用，尽量用 余弦定理；余弦定理；（4）若余弦值为负，则）若余弦值为负，则为其补角；为其补角；（5）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。找角。归纳为：作辅助线找角；指出角（或其补归纳为：作辅助线找角；指出角（或其补角）；求角（解三角形）；结论。角）；求角（解三角形）；结论。
