1、命题及其关系命题及其关系1.1.3 四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系回顾回顾 交换原命题的条件和结论，所得的命题是交换原命题的条件和结论，所得的命题是_ 同时否定原命题的条件和结论，所得的命同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是题是_ 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是所得的命题是_ 逆命题逆命题.否命题否命题.逆否命题逆否命题.原命题，逆命题，否命题，逆否命题原命题，逆命题，否命题，逆否命题四种命题形式四种命题形式:原命题原命题:逆命题逆命题:否命题否命题:逆否命题逆否命题:若若 p，则则 q 若若 q，则则 p若若p，则则q若
2、若q，则则p原命题原命题若若p 则则q逆命题逆命题 若若q 则则p 否命题否命题若若 则则 p q 逆否命题逆否命题 若若 则则 p q 互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系思考思考原命题的真假与其它三种命原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？题的真假有什么关系？逆命题逆命题:角的平分线上的点，到这个角的角的平分线上的点，到这个角的 两边距离相等两边距离相等.否命题否命题:到一个角的两边距离不相等的点，到一个角的两边距离不相等的点，都不在这个角的平分线上都不在这个角的平分线上.逆否命题逆否命题:不在这个角
3、的平分线上的点，到这不在这个角的平分线上的点，到这 个角的两边距离不相等个角的两边距离不相等.(1)到一个角的两边距离相等的点，都在到一个角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上这个角的平分线上.(真真)(真真)(真真)(真真).逆命题逆命题:两个三角形的面积相等，则它们全等两个三角形的面积相等，则它们全等.否命题否命题:两个三角形不全等，则它们的面积不两个三角形不全等，则它们的面积不 相等相等.逆否命题逆否命题:两个三角形的面积不相等，则它们两个三角形的面积不相等，则它们不全等不全等.(2)两个三角形全等，则它们的面积相等两个三角形全等，则它们的面积相等.原命题原命题(真真)逆命题逆命题(
4、假假)否命题否命题(假假)逆否命题逆否命题(真真)逆命题逆命题:对顶角相等对顶角相等.否命题否命题:不相等的角不是对顶角不相等的角不是对顶角.逆否命题逆否命题:不是对顶角就不相等不是对顶角就不相等.(3)相等的角是对顶角相等的角是对顶角原命题原命题(假假)(真真)否命题否命题(真真)(假假)逆命题逆命题:凡奇数都是质数凡奇数都是质数.否命题否命题:不是质数就不是奇数不是质数就不是奇数.逆否命题逆否命题:不是奇数就不是质数不是奇数就不是质数.(4)凡质数都是奇数凡质数都是奇数.原命题原命题(假假)(假假)否命题否命题(假假)(假假)原命题与逆命题未必同真假原命题与逆命题未必同真假.原命题与否命题
5、未必同真假原命题与否命题未必同真假.原命题与逆否命题一定同真假原命题与逆否命题一定同真假.原命题的逆命题与原命题的否命题原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假一定同真假.几条结论几条结论:例例 证明：若证明：若p2q22，则，则pq2.分析：将分析：将“若若p2q22，则，则pq2”看成看成原命题原命题.由于原命题和它的逆否命题具有由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题以证明它的逆否命题为真命题.练习练习 p8反证法：反证法：要证明某一结论要证明某一结论A是正确的，但不直接证是正确的，但不直接证明，而是先
6、去证明明，而是先去证明A的反面的反面(非非A)是错误是错误的，从而断定的，从而断定A是正确的是正确的.即反证法就是通过否定命题的结论而导出即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法论证的一种数学证明方法.反证法的步骤：反证法的步骤：1.1.假设命题的结论不成立，即假设结论的假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立反面成立.2.2.从这个假设出发，通过推理论证，得出从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾矛盾.3.3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确的结论正确.可
7、能出现矛盾四种情况：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与题设矛盾；与反设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾；与公理、定理矛盾；在证明过程中，推出自相矛盾的结论在证明过程中，推出自相矛盾的结论.反证法的步骤：反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确正确反证法的步骤：反证法的步骤：例例 用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0，那么，那么 .ba 练习用反证法证明
8、：练习用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在已知：如图，在O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分.反证法的步骤：反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确若若a2能被能被2整除，整除，a是整数，是整数，求证：求证：a也能被也能被2整除整除.证：假设证：假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数，故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数)，由此得由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+)+1，此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数，这与题中的已知条件这与题中的已知条件(a2能被能被2整除整除)相矛盾，相矛盾，a能被能被2整除整除.
