1、-空间的综合问题空间的综合问题3.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(五五)用坐标法解决立体几何中问题的一般用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤步骤:1.建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；进行相关的计算；4.写出几何意义下的结论写出几何意义下的结论.例例1、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为量为500kg，在它的顶点处分别受力，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角
2、都是是60，且，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？少时，才能提起这块钢板？oABCF1F2F3500kgF1F3F2F1F2F3ACBO500kgF1F3F2F1F2F3ACBO500kgzxy).0,21,23(),0,1,0(),0,0,0(,CBAAxyzyAByABxAyABCA坐标分别为则正三角形的顶点建立空间直角坐标系轴的单位长度为轴正方向，方向为平面，坐标为为原点，平面解：如图，以点F1F2F3ACBO500kgzxy),0,1,0(),(
3、2160cos60,),(11zyxACABFzyxF的数量积运算，得，利用向量的夹角均为与由于为方向上的单位向量坐标设力),0,21,23(),(2160coszyx.21,121yx解得F1F2F3ACBO500kgzxy32,1222zzyx因此又因为)32,21,121(2001F所以)32,0,31(200)32,21,121(20032FF类似地F1F2F3ACBO500kgzxy)6,0,0(200)32,0,31()32,21,121()32,21,121(200321 FFF它们的合力所以钢板仍静止不动。由于作用点为大小为的合力方向向上，这说明，作用在钢板上,5006200.
4、,6200Okg例例2、如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点，作的中点，作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA平面平面EDB；(2)求证：求证：PB 平面平面EFD；(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小的大小.DABCEPFABCDPEFXYZG解：解：如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC，AC交交BD于点于点G，连结，连结EG1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,)2 2
5、APE依依题题意意得得)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCD)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EGPAEGPA/2，即所以EDBPAEDBEG平面且平面而,EDBPA 平面所以，/ABCDPEFXYZG)1,1,1(),0,1,1(2PBB）证明：依题意得（021210),21,21,0(DEPBDE故又DEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以ABCDPEFXYZG的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（DPBCEFDDFPBEFPB,2,3)1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为(,1)(1,
6、1,1)(,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1,()1,1,1(kkkkkkk所以31k所以)323131(，的坐标为点F)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD小结小结 利用空间向量解决立体几何中的问题，利用空间向量解决立体几何中的问题，首先要探索如何用空间向量来表示点首先要探索如何用空间向量来表示点、直线直线、平面在空间的位置以及它们的关平面在空间的位置以及它们的关系系.即建立立体图形与向量之间的联系，即建立立体图形与向量之间的联系，这样就可以将立体几何问题转化成空间这样就可以将立体几何问题转化成空间向量的问题向量的问题.解决立体几何中的问题，有解决立体几何中的问题，有三种常用方法三种常用方法:综合方法综合方法、向量方法向量方法、坐坐标方法，对具体问题要会选用合适的方标方法，对具体问题要会选用合适的方法法.
