1、返回目录返回目录 1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列数列.2.通项公式 an=，推广：，推广：an=am+,第第2项起，每一项与前一项起，每一项与前一 项的差都项的差都a1+（n-1）d （n-m）d 返回目录返回目录 变式变式:a1=an+;d=.由此联想到点列由此联想到点列(n,an)所在直线的所在直线的 .3.等差中项 若若a,b,c成等差数列成等差数列,则称则称b为为 ,且且b=,a,b,c成等差数列是成等差数列是2b=a+c的的 .4.前前n项和项和Sn=.变式：变式：（1
2、-n）d 1 1-n n a a-a a1 1n ny=dx+（a1-d）a与与c的等差中项的等差中项 2 2c ca a+充要条件充要条件 2 2)a an(an(an n1 1+d d2 21)1)-n(nn(nnana1 1+.2 2d d1)1)-n n(a an na aa aa an nS S2 2a aa a1 1n n2 21 1n nn n1 1+=+=+5.等差数列an的一些常见性质（1）若）若m+n=p+q（m，n，p，qN*）,则则 .（2）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，（k，mN*）成
3、等差数列）成等差数列.（3）设）设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和，则项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，构成的数列是构成的数列是 数列数列.返回目录返回目录 等差等差 am+an=ap+aq返回目录返回目录 在等差数列在等差数列an中，中，（1）已知）已知a15=33，a45=153，求，求a61；（2）已知）已知S8=48，S12=168，求，求a1和和d；（3）已知）已知a6=10，S5=5，求，求a8和和S8；（4）已知）已知a16=3，求，求S31.返回目录返回目录 在等差数列中有五个重要的量在等差数列中有五个重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可
4、求出其他两个，只要已知任意三个，就可求出其他两个.其中其中a1和和d是两个最重要的量，通常要先求出是两个最重要的量，通常要先求出a1和和d，（4）中因为条件少求不出中因为条件少求不出a1和和d，但可利用等差数列的性质，但可利用等差数列的性质求解求解.（1）解法一：设首项为）解法一：设首项为a1，公差为，公差为d，依，依题设条件，得题设条件，得 33=a1+14d，153=a1+44d.a61=-23+(61-1)4=217.解方程组得解方程组得a1=-23，d=4.：由：由 ，得，得 由由an=am+（n-m）d,得得 a61=a45+16d=153+164=217.(2)Sn=na1+n(n
5、-1)d,8a1+28d=48,12a1+66d=168.返回目录返回目录 m m-n na a-a ad dm mn n=,4 430303333-1531531515-4545a a-a ad d15154545=2 21 1解方程组得解方程组得a1=-8，d=4.返回目录返回目录 a1+5d=10，5a1+10d=5，解方程组得解方程组得a1=-5，d=3.a8=a6+2d=10+23=16,S8=.(4)S31=31=a1631=331=93.【评析评析】方程思想是解决数列问题的基本思想，方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本通过公差列方程（组
6、）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.（3）a6=10，S5=5,44442 2)a a8(a8(a 8 81 1=+2 2a aa a 31311 1+已知等差数列已知等差数列an中，中，a2=8，前，前10项和项和S10=185.（1）求数列）求数列an的通项公式的通项公式an；（2）若从数列）若从数列an中依次取出第中依次取出第2，4，82n,项，项，按原来的顺序排成一个新的数列，试求新数列的按原来的顺序排成一个新的数列，试求新数列的 前几项和前几项和An.返回目录返回目录 返回目录返回目录（1）设数列）设数列a
7、n的公差为的公差为d，由，由a2=8，S10=185，a1+d=8，10a1+d=185,a1=5,d=3.（2）An=a2+a4+a8+a2n =(32+2)+(34+2)+(38+2)+(32n+2)=3(2+4+8+2n)+2n =3 +2n=32n+1+2n-6.2 29 91010an=3n+2.得得2 2-1 1)2 2-2 2(1 1n n返回目录返回目录 设实数设实数a10,且函数且函数f（x）=a（x2+1）-(2x+)有最小有最小值值-1，若数列，若数列an的前的前n项和项和Sn=f（n），令），令bn=,n=1,2,3，.证明：数列证明：数列bn是等是等差数列差数列.证明
8、数列证明数列an为等差数列，只需证明为等差数列，只需证明an+1-an=d(d为常数为常数).a a1 1n na aa aa a2 2n n4 42 2+f（x）=a（x2+1）-(2x+)=a(x-)2+a-，又又f（x）=a（x2+1）-(2x+)有最小值有最小值-1，f（x）的最小值为）的最小值为f(),且且a0.即即f()=a-=-1,解得解得a=1或或a=-2(舍去舍去).故故f(x)=x2-2x,即即Sn=f(n)=n2-2n.返回目录返回目录 a a1 1a a1 1a a2 2a a1 1a a1 1a a1 1a a2 2由由a1=S1,得得a1=-1;当当n2时时,an=
9、Sn-Sn-1=(n2-2n)-(n-1)2-2(n-1)=2n-3,即即an=2n-3.又又n=1时时,a1=-1=21-3,即即a1也满足也满足an=2n-3.当当n2时，时，an-an-1=（2n-3）-2(n-1)-3=2,an是首项为是首项为-1，公差为，公差为2的等差数列的等差数列.a2+a4+a2n=n =n =n（2n-1），），bn=2n-1.因此，当因此，当n2时，时，bn-bn-1=（2n-1）-（2n-3）=2，又，又b1=1，故故bn是以是以1为首项，为首项，2为公差的等差数列为公差的等差数列.返回目录返回目录 2 2a aa a2 2n n2 2+2 23 3-4
10、4n n1 1 +1 1a a2 2证明一个数列证明一个数列an是等差数列的基本方是等差数列的基本方 法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an+1-an=d（nN*）,二是利用等差中项法，即证明：二是利用等差中项法，即证明：an+2+an=2an+1（nN*）.在选择方法时，要根据题目在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法利用定义法，否则，可以利用等差中项法.返回目录返回目录 返回目录返回目录 在数列在数列an中，前中，前n项和为项和
11、为Sn.已知已知a1=3，a2=2，且，且Sn+1-2Sn+Sn-1+1=0（nN*,且且n2）.(1)求证：数列求证：数列an是等差数列；是等差数列；(2)求数列求数列（4-an）2n的前的前n项和项和Tn.(1)证明：由证明：由Sn+1-2Sn+Sn-1+1=0（nN*，且，且n2）,得（得（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=-1，即即an+1-an=-1（n2）.又由已知又由已知a1=3，a2=2，a2-a1=2-3=-1.an+1-an=-1（nN*）.数列数列an是以是以3为首项，以为首项，以-1为公差的等差数列，且为公差的等差数列，且an=-n+4.返回目录返回目录（2）（4-
12、an）2n=n2n，Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+233+324+n2n+1,-得得Tn=-（2+22+23+2n）+n2n+1 =2-2n+1+n2n+1=2+(n-1)2n+1.返回目录返回目录 返回目录返回目录 在等差数列在等差数列an中中,已知已知a1=20,前前n项和为项和为Sn,且且S10=S15,求当求当n取何值时取何值时,Sn取得最大值取得最大值,并求出它的最大值并求出它的最大值.(1)由由a1=20及及S10=S15可求得可求得d,进而求得通进而求得通项项,由通项得到此数列前多少项为正由通项得到此数列前多少项为正,或利用或利用Sn是关于是关于n的二次函数
13、的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等利用等差数列的性质差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号判断出数列从第几项开始变号.返回目录返回目录 解法一：解法一：a1=20,S10=S15,1020+d=1520+d,d=-.an=20+(n-1)(-)=-n+.a13=0.即当即当a12时，时，an0，n14时，时，an0.当当n=12或或13时，时，Sn取得最大值，且最大值为取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+(-)=130.2 29 910102 2141415153 35 53 35 53 35 53 365652 211111212
14、3 35 5：同解法一求得：同解法一求得d=-.Sn=20n+(-)=-n2+n=-(n-)2+.nN+,当当n=12或或13时，时，Sn有最大值，有最大值，且最大值为且最大值为S12=S13=130.返回目录返回目录 3 35 52 21)1)-n(nn(n3 35 56 65 56 61251256 65 52 225252 24 41 12 25 5 3 3返回目录返回目录：同解法一得：同解法一得d=-.又由又由S10=S15，得，得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0，即，即a13=0.当当n=12或或13时时,Sn有最大值有最大值,且最大值且最大值 为为S12=S
15、13=130.求等差数列前求等差数列前n项和的最值，常用的方法：项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前）利用等差数列的前n项和项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值为二次函数，根据二次函数的性质求最值.3 35 5返回目录返回目录 在等差数列在等差数列an中，中，a10,S9=S12,求数列前多少项和最小求数列前多少项和最小.：由：由S9=S12，得，得9a1+
16、d=12a1+d,得得3a1=-30d，d=-a1.a10,d0,Sn=na1+n（n-1）d=dn2-dn=(n-)2-d.d0,Sn有最小值有最小值.又又nN*,n=10或或n=11时，时，Sn取最小值，最小值是取最小值，最小值是-55d，即，即S10或或S11最小且最小且S10=S11=-55d.2 28 89 92 21111121210101 12 21 12 21 12 221212 2d d2 221218 821212 2：由解法一知：由解法一知d=-a10,又又a10,数列数列an为递增数列为递增数列.a0,a1+（n-1）d0 an+10,a1+nd0a1+(n-1)(-a
17、1)0 1-(n-1)0 a1+n(-a1)0 1-n010n11,数列的前数列的前10项均为负值，项均为负值，a11=0，从第，从第12项起为正值项起为正值.n=10或或11时，时，Sn取最小值取最小值.10101 110101 110101 110101 110101 1即即令令返回目录返回目录：S9=S12，a10+a11+a12=0，3a11=0，a11=0.又又a10,数列为递增数列数列为递增数列.因此数列的前因此数列的前10项均为负值，项均为负值，a11=0，从第，从第12项起为正项起为正值值.当当n=10或或11时，时，Sn取最小值取最小值.返回目录返回目录 返回目录返回目录 设
18、等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn，已知前，已知前6项和为项和为36，Sn=324，最后，最后6项的和为项的和为180（n6）,求数列的项数求数列的项数n.在等差数列在等差数列an中，若中，若m+n=p+q，则，则am+an=ap+aq（m，n，p，qN*）用此性质可优化解）用此性质可优化解题过程题过程.由题意可知由题意可知a1+a2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 +得（得（a1+an）+（a2+an-1）+（a6+an-5）=6（a1+an）=216.a1+an=36.又又Sn=324，18n=324.n=18.返回目录返回目录 2 2)a an n(a
19、an n1 1+返回目录返回目录 本题的解题关键是将性质本题的解题关键是将性质m+n=p+qam+an=ap+aq与前与前n项和公式项和公式Sn=结合在一起结合在一起,采用整体思想采用整体思想,简化解题过程简化解题过程.2 2)a an n(a an n1 1+（1）等差数列）等差数列an中中,a15=33,a45=153,则则d=.（2）等差数列）等差数列an中，中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则，则a3=.（3）若一个等差数列前）若一个等差数列前3项的和为项的和为34，最后三项的和为，最后三项的和为 146，且所有项的和为，且所有项的和为390，则这个数列的项数为，则这个数列的项数
20、为 （）A.13 B.12 C.11 D.10（4）等差数列）等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若若a3+a17=10则则 S19=（）A.55 B.95 C.100 D.不确定不确定返回目录返回目录 返回目录返回目录（1）4（2）4（3）A（4）B（1）由）由d=，得，得d=4.（2）由）由a1+a5=a2+a4=2a3，得，得5a3=20，所以，所以a3=4.（3）因为）因为a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，a1+a2+a3+an-2+an-1+an=146+34=180，又因为又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2，所以所以3（a1+an）=180，从而，从而a1+an=60，所以所以Sn=，即，即n=13.故应选故应选A.（4）由等差数列的性质知）由等差数列的性质知S19=故应选故应选B.）n n-m ma a-a an nm m1 15 5-4 45 5a a-a a1 15 54 45 53 39 90 02 2n n6 60 02 2)a an n(a an n1 1=+.9 95 52 21 10 01 19 92 2)a a1 19 9(a a1 17 73 3=+返回目录返回目录 课时小结返回目录返回目录
