1、绝密启用前2023 年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试数学试题参考答案选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B D C D B B C BD AC ABD ABC填空题题号 13 14 15 16答案 749-1 4 4解答题17解：（1）由已知得na + (n -1)a + + a = 2S -1，1 2 n n(n +1)a + na + + 2a + a = 2S -1 1 2 n n+1 n+1 - 可得S + a 1 = 2S 1 - 2S ，即n n+ n+ nS S+1 = 2 n n特别地，在中令 n =1可得a = S = S - ，即
2、1 1 2 n 1S = ，1 1所以S 是首项为1，公比为 2 的等比数列；n S =1， n =1，S = - 所以 a 1（2）由（1）可知 2n 1 = n S S -2 ， n n n- = 2 2 n n-1故 1， n =1，1 2 n + + + = ni ， a a a 1+ n 21 2 n i-22 i=2注意到i i +1 i + 2= - ，所以当 n 2 时，2i-2 2i-3 2i-21 2 n 1 2 2 2 + + + = + - = + - = - n i + i + n + n +1 ( ) 1 (6 ) 7 7a a a i-3 i-2 n-2 n-2
3、1 2 n2 2 2 2 i=2证毕数学试题参考答案第 1 页（共 5 页）18解：（1）由表可知x11= (4.9 + 5.1+ 5.0 + 5.0 + 5.1+ 5.0 + 4.9 + 5.2 + 5.0 + 4.8) = 5.010，x21= (4.8 + 5.2 + 5.0 + 5.0 + 4.8 + 4.8 + 5.2 + 5.1+ 5.0 + 5.1) = 5.010，1s = (4 0.1 + 2 0.2 ) = 0.0122 2 2110，1s = (2 0.1 + 5 0.2 ) = 0.022 2 2 2210（2）由（1）可知Fs 0.022 112= 2 = = 0)2
4、 + (-1) 2 22 25，解得 p = 2 所以 C 的方程为 x2 = 4y ；（2）设x x2 2A(x , ) ，1 B(x , 2 ) 1 24 4由xy = ，可知直线 PA 的方程为2x x2y - = (x - x ) ，即1 114 2x x x2y = 1 - 1 2 4同理直线 PB 的方程为x x x2y = - 2 22 4联立 x x x2y = 1 - 1 2 4x x x2 = -y2 2 2 4，x + x x x解得 P( 1 2 , 1 2 )2 4，若记 P(t, 2t -5) ，则有x + x = 2t，1 2所以可写出直线 AB 的方程为x x
5、= 4(2t - 5)1 2数学试题参考答案第 3 页（共 5 页）x x x x + x x x t2 2 2(x - x )(y - ) = ( - )(x - x ) ，即 1 2 1 22 1 2 y = x - ，即 y = x - 2t + 5 1 2 24 4 4 4 4 2由 AB 与l 相交可知 t 4 联立y = 2x - 5， 4(t - 5) 3t - 20可得Q( , ) ty = x - 2t + 5， t - 4 t - 4 2设 H(x, y) ，则由 PH QH 可知uuur uuuur4(t - 5) 3t - 20PH QH = (x - t, y - (
6、2t - 5) (x - , y - ) t - 4 t - 41= (x - t, y - (2t - 5) (t - 4)x - 4(t - 5),(t - 4)y - (3t - 20)t - 41= - (t - x, 2t - (y + 5) (x - 4)t - 4(x - 5), (y - 3)t - 4(y - 5)t - 41= - (x - 4)t - (x - 20)t + 4x(x - 5) + 2(y - 3)t - (y +2 2 2 2t - 410y - 55)t + 4(y + 5)(y - 5)1= - (x + 2y -10)t - (x + y +10y
7、 - 75)t + 4(x + y - 5x - 25) = 02 2 2 2 2t - 4上式关于 t 恒成立当且仅当x + 2y -10 = 0， x + y +10y - 75 = 0，2 2 + - - =x y 5x 25 02 2解得xy=0，或5x = 8， y =1因此，存在定点 H(0,5) 或 H(8,1) ，使得 PH QH 22解：（1）由 f (x) = sin x - x + ax3 ，得 f (x) = cos x -1+ 3ax2 令 g(x) = cos x -1+ 3ax2 ，得 g(x) = -sin x + 6ax 令 h(x) = -sin x + 6
8、ax ，得 h(x) = -cos x + 6a （）当1a = 时， h(x) = -cos x +10 ，且 h(x) = 0 当且仅当 x = kp (k Z) ，6所以 g(x) 在0,+) 单调递增，故 g(x) g(0) = 0 ，且 g(x) = 0 当且仅当 x = 0 所以 f (x) 在0,+) 也单调递增，故 f (x) f (0) = 0 ，且 f (x) = 0 当且仅当 x = 0 所以 f (x) 在0,+) 仍单调递增，故 f (x) f (0) = 0 ；（）当 01 p a 时，注意到 h(x) 在 (0, )6 2p单调递增，且 h(0) = 6a -1
9、0 ，2所以存在唯一px ，使得0 (0, )2h(x ) = 0 ，且在 (0, x ) 有 h(x) 0 0 0所以g(x ) 在0, x 单调递减，故在 (0, x 有 g(x) g(0) = 0 0 0 0所以 f (x) 在0, x 也单调递减，故在0(0, x 有 f (x) f (0) = 0 0数学试题参考答案第 4 页（共 5 页）所以 f (x) 在0, x 仍单调递减，故0f (x ) 0 就有 f (x)sin x - x 时，由（）可知 f (x)sin x - x + x3 0 6 61综合上述讨论， a 的取值范围为 ,+) ；6（2）对于右侧：由（1）可知1 1
10、 1 n 1 n 1 sin + sin + + sin = sin 13 2 4 n(n+ 2) k(k + 2) k(k + 2)k=1 k=11 n 1 1 1 1 1 1 3 ， = ( - ) = (1+ - - ) 0 时， sin x x - x3 6 1 1 1 x(x -1)(x +2)设 F(x) = x - x3 - ln(1+ x) ，则 F(x) =1- x2 - = -6 2 x +1 2(x +1)在 (0,1) 有 F(x) 0 ，所以 F(x) 在0,1 单调递增，故当 0 x 0 此时1sin x x - x ln(1+ x) 36令1x = (n N )
11、，可知*n(n + 2)1 1 (n +1) n +1 n +22sin ln1+ = ln = ln -lnn(n + 2) n(n + 2) n(n + 2) n n +1所以当 n 2 ， nN* 时，1 1 1 1 1n sin + sin + + sin = sin + sin13 2 4 n(n+ 2) 3 k(k + 2)k=21 n 1 2n + n + sin + (ln - ln )3 n n +1k=21 3 1= sin + ln - ln(1+ )3 2 n +1，令1 3 1sin + ln - ln(1+ ) ln 23 2 n +11 3 1 3，注意到 sin + ln ln(1+ ) + ln = ln 2 ，所以可得到一个充分条件3 2 3 2n1 4 -1= -1 1 3 1sin +ln -ln 2 sine 1 3e 43 2 - 3 -所以任取4n +1 ， nN* ，则该侧不等式成立1sin3e 3 - 4因此，对于任意4n +1 ， nN* ，原不等式都成立即所求的 n 是存在的1sin3e 3 - 4数学试题参考答案第 5 页（共 5 页）
