1、核心母题三 动点、存在性、距离、面积问题,【核心母题】 如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)， B(3，0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内 的一个动点，且点P的横坐标为t. (1)求抛物线的解析式；,(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D.在直线l上是 否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由 (3)如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S. 求S关于t的函数解析式； 求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标,【重要考点】 二次函数的图象与性质、四边形与三角形有关知识,【考查方向】
2、2019年中考的存在性问题仍然是考查热点，一般放置在解答 题最后压轴的位置，综合性强，涉及的知识点广，分值一般 为1012分,【命题形式】 通常以二次函数与几何图形的动点、存在性问题综合命题,【母题剖析】 (1)利用待定系数法求解； (2)连接PC，求对称轴，分情况讨论求解；,(3)过点P作PFy轴，求出直线BC的解析式和点F的坐标， 进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关 于t的函数解析式； 利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求 出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的 最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论,【母题详解】 突破关键词：二次函数
3、、动点、存在点、距离、面积、分类 讨论 (1)将A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc， 解得 抛物线的解析式为yx22x3.,(2)在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E. 抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)， B(3，0)两点， 抛物线的对称轴为直线x1. 当t2时，点C，P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边 形CDPM是平行四边形,抛物线的解析式为yx22x3， 点C的坐标为(0，3)，点P的坐标为(2，3)， 点M的坐标为(1，6) 当t2时，不存在理由如下： 若四边形CDPM是平行四边形，则CEPE. 点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，,点P的横坐标t1202.
4、又t2，不存在 综上所述，存在点M的坐标为(1，6),(3)如图，过点P作PFy轴，交BC于点F. 设直线BC的解析式为ymxn(m0) 将B(3，0)，C(0，3)代入ymxn， 解得 直线BC的解析式为yx3.,点P的坐标为(t，t22t3)， 点F的坐标为(t，t3)， PFt22t3(t3)t23t， S 0， 当t 时，S取最大值，最大值为 .,点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)， 线段BC P点到直线BC的距离的最大值为 此时点P的坐标为,【思想方法】 此类题目主要涉及分类讨论思想，背景主要是借助一次、二 次、反比例函数、全等、相似、动点、等腰、等边、直角三角 形或平行
5、四边形、矩形、菱形、正方形、圆等，探索存在性、 面积、距离等问题，解决此类问题的关键是找出变化过程中的 关键点，如分界点、交点、最值点等，然后分类讨论,【母题多变】 变化1：在坐标平面内，已知两个定点A，B，探索第三个点P 与A，B构成的三角形： 当构成的PAB为等腰三角形时，可分三种情况讨论，即 PAPB，APAB，BABP； 当构成的PAB为直角三角形时，可分三种情况讨论，即 A90，B90，P90.,变化2：平行四边形 以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形是平行四边形，通常 有两种常见模式： 若已知其中三个点的位置，求第四个点的位置(坐标)，则 可过这三个点中的任意一点作对边的平行线，
6、 这三条不同的平行线交于三个点，则这三个点 均满足题意，如图,若已知其中两个点的位置，求其他两个点的位置(坐标)， 则连接已知两点的线段可以是平行四边形的边，也可以是对 角线，此时应该通过画图、平移线段等方法分析，以此确定 另外两点的位置此外，如果要确定另外两点的坐标，则还 需运用全等三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识做进一 步的分析,若“以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形是梯形(或菱形、 正方形等)”，还按上述方法进行分析,变化3：相似三角形的存在性问题 通常是从相似三角形的判定方法入手，先确定已知的对应条 件，然后再根据情况分类讨论，如在ABC和DEF中，确定 点A与点D对应，则分两
7、种情况讨论，即ABCDEF， ABCDFE.,变化4：坐标系下的距离问题 主要指的是两点间的距离，以及点到直线的距离 (1)若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，根据勾股定理可得AB ，使用此公式的前提是点A，点 B的坐标已求出(或已表示出) (2)点A(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.,变化5：动点下的面积问题 求一个封闭图形的面积一般有以下几个思考的方向 (1)利用面积公式三角形、平行四边形、梯形、圆等图形 都有相应的面积公式，如果能够顺利地求得(或表达)相应的 线段长，则直接可以利用面积公式求(或表示)图形的面积,(2)利用割补法，将图形分割成若干个能用面积公式表
8、示面 积的部分，在利用割补法求面积时注意下面关系的运用： 如图，SABCSACDSABDSBCD； 如图，SABCSABDSBCD BDh1 BDh2 BD(h1h2)，即SABC 水平宽铅垂高,(3)利用等积变形原理如图，过PBC的顶点P作所对的边 BC的平行线l，则l上的任一点P与BC组成的三角形的面积 等于PBC的面积由PBC变形成PBC保持面积不变， 因此，这种变形称为等积变形，此外，若PBC与PBC面 积相等，且点P与P在直线BC的同侧，则可得直线PPBC.,变化6：图形运动下的面积问题 图形运动下的面积问题，往往涉及二次函数与一次函数、待 定系数法、相似、动点问题、函数图象等知识点解决此类 问题，根据图形的运动变化进行适当分类是解题的关键,探究运动变化过程中的多种可能情况，特别要关注不同情况 之间的分界点(临界位置、极端位置)，进而分析关键量的取 值范围或最值如果题目明确要求求取某个量的变化范围， 应有“分别考虑上界和下界”的意识，不能只考虑一半对 于临界点，应有“考虑能否取等号”的意识，只要时间允许， 建议临界点情况单独作图分析.,
