1、 1 直角三角形存在性问题 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（1,1） ，点 B 坐标为（5,3） ，在 x 轴 上找一点 C 使得ABC 是直角三角形，求点 C 坐标 y x O A B 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2）若B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3）若C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C （直径所对的圆周角 为直角） C4 C3 C2C1 y x O A B 重点还是如何求得点坐标， 12 CC、求法相同，以 2
2、 C为例： 【构造三垂直】 故C2坐标为（ 13 2 ，0） 代入得：BN= 3 2 AM BN = MB NC2 由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3 易证 AMBBNC2 M N B A O x y C2 2 34 CC、求法相同，以 3 C为例： 故a=1或3 设MC3=a，C3N=b 易证 AMC3C3NB， 由A、B坐标得AM=1，BN=3， AM C3N = MC3 NB 代入得： 1 b = a 3 ，即ab=3，又a+b=4， 故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）MN B A O x y C3 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步
3、：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似 【代数法】表示线段构勾股 还剩下 1 C待求，不妨来求下 1 C： B A O x y C1 （1）表示点：设 1 C坐标为（m，0） ，又 A（1，1） 、B（5，3） ； （2）表示线段：2 5AB =，() 2 2 1 11ACm=+，() 2 2 1 53BCm=+； （3）分类讨论：当 1 BAC为直角时， 222 11 ABACBC+=； （4）代入得方程：()() 22 22 201153mm+=+，解得： 3 2 m = 3 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1 考虑到直线 1
4、AC与 AB 互相垂直， 1 1 ACAB kk= ，可得： 1 2 AC k= ， 又直线 1 AC过点 A（1,1） ，可得解析式为：y=-2x+3， 所以与 x 轴交点坐标为 3 ,0 2 ，即 1 C坐标为 3 ,0 2 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上 【小结】 几何法： （1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数 代数法： （1）表示点 A、B、C 坐标； （2）表示线段 AB、AC、BC； （3）分类讨论AB +AC =BC 、AB +BC =AC 、AC +BC =AB ； （4）代入列方程，求解 4 如果问题变为等
5、腰直角三角形存在性， 则同样可采取上述方法， 只不过三垂直得到的不是相 似，而是全等 【三垂直构造等腰直角三角形】 【2019 兰州中考（删减） 】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题 【模型呈现】 如图，在 RtABC，ACB=90 ，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转90得到 AD，过点 D 作 DE AC 于点E，可以推理得到ABCDAE，进而得到 AC=DE，BC=AE 我们把这个数学模型成为“K 型” 推理过程如下： A B C D E 3 2 1 AC=DE，BC=AE ABCDAE（AAS） BCA=AED=90 AB=AD 1=2 3+1=90 2+3=90 ACB=90 ，
6、DEAC ACB=90 BAD=90 斜边AB绕点A顺时针旋转90 ，得到AD 【模型迁移】 二次函数 2 2yaxbx=+的图像交x轴于点 A（-1,0） ，B（4,0）两点，交y轴于点C动点M 从点A出发， 以每秒 2 个单位长度的速度沿AB方向运动， 过点M作MNx轴交直线BC于 点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒 （1）求二次函数 2 2yaxbx=+的表达式； （2）在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时 点D的坐标 AB C D OM N x y 5 【分析】 （1） 2 13 2 22 yxx= +； （2）本题直角顶点 P 并
7、不确定，以 BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为 P 点，再 过点 P 作水平线，得三垂直全等 设 HP=a，PQ=b，则 BQ=a，CH=b， 由图可知： 4 2 ab ba += = ，解得： 1 3 a b = = 故 D 点坐标为（1,3） H QP y x N M O D C B A 同理可求此时 D 点坐标为（3,2） y x N MO D C BA H Q P 思路 2：等腰直角的一半还是等腰直角 如图，取 BC 中点 M 点，以 BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为 P 点根 据 B 点和 M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为 1 和 2，故 P 点
8、坐标易求 P 点横坐标同 D 点，故可求得 D 点坐标 AB C O x y M P P M y x O C BA 6 【2017 本溪中考】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1 2 yxbxc=+与x轴交于 A、B 两点，点 B（3,0） ， 经过点 A 的直线 AC 与抛物线的另一交点为 5 (4, ) 2 C，与 y 轴交点为 D，点 P 是直线 AC 下 方的抛物线上的一个动点（不与点 A、C 重合） （1）求该抛物线的解析式 （2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请 直接写出符合条件的点P的坐标 AB C D O x y 【分析】 （1）
9、 2 13 22 yxx=； （2）当POQ 为直角时， 考虑 Q 点在对称轴上，故过点 Q 向 y 轴作垂线，垂线段长为 1，可知过点 P 向 x 轴作 垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为 1如下图，不难求出 P 点坐标 设 P 点坐标为 2 13 , 22 mmm ， 可得： 2 13 1 22 mm= 解得： 1 12m = +， 2 12m = ， 3 16m = +， 4 16m = （舍） 如下图，对应 P 点坐标分别为( ) 12, 1+、( ) 12, 1、( ) 16,1+ P y x O D C BA Q N M P y x O D C BA QN M M N Q AB
10、 C D O x y P 7 当OPQ 为直角时，如图构造OMPPNQ，可得：PM=QN 设 P 点坐标为 2 13 , 22 mmm ， 则 22 1313 0 2222 PMmmmm = + ，QN=1m， 2 13 1 22 mmm+=， 若 2 13 1 22 mmm+=，解得： 1 5m =， 2 5m = （舍） 若 2 13 1 22 mmm+= +，解得： 1 25m =， 2 25m =+（舍） 如下图，对应 P 点坐标分别为( ) 5,15、( ) 25,15 P y x O D C BA QN M Q AB C D O x y P 对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角
11、顶点的未知的完全就是两个题目！ 也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键 其实只要再明确一点， 构造出三垂直后， 表示出一组对应边， 根据相等关系列方程求解即可 8 【2019 阜新中考】 如图，抛物线 2 2yaxbx=+交x轴于点( 3,0)A 和点(1,0)B，交y轴于点C （1）求这个抛物线的函数表达式 （2）点D的坐标为( 1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积 的最大值 （3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角 三角形， 且MNO为直角？若存在， 请直接写出点N的坐标； 若不存在， 请说明理由 y x
12、 O C BA 备用图 AB C D O P x y 9 【分析】 （1） 2 24 2 33 yxx= +； （2）连接 AC，将四边形面积拆为APC 和ADC 面积，考虑ADC 面积为定值，故只需 APC 面积最大即可，铅垂法可解； （3）过点 N 作 NEx 轴交 x 轴于 E 点， 如图 1，过点 M 向 NE 作垂线交 EN 延长线于 F 点， 易证OENNFM，可得：NE=FM 设 N 点坐标为 2 24 ,2 33 mmm + ，则 2 24 2 33 NEmm= +，1FMm=+， 2 24 21 33 mmm+=+ 2 24 2=1 33 mmm+，解得： 1 773 4 m
13、 + =（图 1） ， 2 773 4 m =（图 4） 对应 N 点坐标分别为 773373 , 44 + + 、 773373 , 44 ； 2 24 2=1 33 mmm+，解得： 3 173 4 m + =（图 2） 、 4 173 4 m =（图 3） 对应 N 点坐标分别为 173373 , 44 + 、 173373 , 44 + E F E F E F E F 图4 图3 图2 图1 N M N M N M M N AB C O x y AB C O x y AB C O x y y x O C BA 当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以
14、归结 为同一个方程：NE=FM故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在 的其他情况 10 一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的 条件只能得到三垂直相似 而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等 【对称轴上寻找点】 （2018安顺中考）如图，已知抛物线 2 (0)yaxbxc a=+的对称轴为直线1x = ，且抛 物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C （1）若直线ymxn=+经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴1x = 上找一点M，使点M到点A的距离与到
15、点C的距离之和最 小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴1x = 上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P坐标 -1 A B C O x y 【分析】 （1）直线 BC：3yx=+ 抛物线： 2 23yxx=+； （2）将军饮马问题，考虑到 M 点在对称轴上，且点 A 关于对称轴的对称点为点 B，故 MA+MC=MB+MC，当 B、M、C 三点共线时，M 到 A 和 C 的距离之后最小，此时 M 点坐标为（-1，2） ； （3）两圆一线作点 P： P4 P3 P2 P1 -1 A B C O x y 11 以 1 P为例，构造PNBBMC，考虑到 BM=MC=3， BN=PN=2
16、，故 1 P点坐标为（-1，-2） M N P1 y x O C B A -1 易求 2 P坐标为（1,4） y x O C B A -1 P2 3 P、 4 P求法类似，下求 3 P： 已知 PN=1，PM=2，设 CN=a，BM=b， 由相似得： 1 2 a b =，即 ab=2，由图可知：b-a=3， 故可解： 1 317 2 b + =， 2 317 2 b =（舍） ，对应 3 P坐标为 317 1, 2 + M N N M P4 -1 A B C O x yy x O C BA -1 P3 类似可求 4 P坐标为 317 1, 2 12 【抛物线上寻找点】 （2018 怀化中考）
17、如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 2 2yaxxc=+与x轴交于( 1,0)A ， (3,0)B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角 形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 O y x D C BA 13 【分析】 （1）抛物线： 2 23yxx=+，直线 AC：y=3x+3； （2）看图，M 点坐标为（0,3）与 C 点重合了 B AB C D M x y O
18、（3）考虑到 AC 为直角边，故分别过 A、C 作 AC 的垂线，与抛物线交点即为所求 P 点， 有如下两种情况， P N M M N AB C D x y O O y x D C BA P 先求过 A 点所作垂线得到的点 P： 设 P 点坐标为() 2 ,23mmm+， 则 PM=m+1，AM=() 22 02323mmmm +=， 易证PMAANC，且 AN=3，CN=1， 2 123 31 mmm+ =，解得： 1 10 3 m =， 2 1m = （舍） ， 故第 1 个 P 点坐标为 1013 , 39 ； 再求过点 C 所作垂线得到的点 P： () 22 3232PMmmmm= +
19、=，CN=m， 2 3 21 m mm = ，解得： 1 7 3 m =， 2 0m =（舍） ， 故第 2 个 P 点坐标为 7 20 , 39 综上所述，P 点坐标为 1013 , 39 或 7 20 , 39 14 【动点还可能在】 （2019鄂尔多斯中考）如图，抛物线 2 2(0)yaxbxa=+与x轴交于( 3,0)A ，(1,0)B两 点，与y轴交于点C，直线yx= 与该抛物线交于E，F两点 （1）求抛物线的解析式 （2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PHEF于点H，求PH的最大值 （3）以点C为圆心，1 为半径作圆，C上是否存在点M，使得BCM是以CM为直角边 的直角三角
20、形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由 y x O C B A H A B C E F O x y P 【分析】 （1） 2 24 2 33 yxx=+； （2）过点 P 作 x 轴的垂线交 EF 于点 Q，所谓 PH 最大，即 PQ 最大，易解 Q P y x O F E C B A H （3）CM 为直角边，故点 C 可能为直角顶点，点 M 也可能为直角顶点 当BCM为直角时，如图： 放大 E F E y O x C B M2 M1 B C x O y A B C O x y 15 1 M：不难求得 CF=1，BF=2， 1: 1:2EMEC =，又 1 1CM =， 可得： 1
21、 5 5 EM =， 2 5 5 EC = 故 1 M坐标为 2 55 , 2 55 + ； 同理可求 2 M坐标为 2 55 , 2 55 当BMC 为直角时，如图： M4 M3 F y O x C BB C x O y E 放大 y x O C B A 3 M：不难发现 CM=1，BC=5，2BM =， 即MECBFM，且相似比为 1：2， 设 EC=a，EM=b，则 FM=2a，BF=2b， 由图可知： 22 21 ab ba += = ，解得： 3 5 4 5 a b = = 故点 3 M的坐标为 36 , 55 至于 4 M坐标，显然()1, 2 综上所述，M 点坐标为 2 55 , 2 55 + 或 2 55 , 2 55 或 36 , 55 或()1, 2 【总结】对于大部分直角三角形存在性问题，构造三垂直全等或相似基本上可解决问题，牢 记构造步骤： （1）过直角顶点作水平或竖直线； （2）过另外两端点向其作垂线
