1、2022-10-34.函数的有界性定义：使得对使得对如果存在一个实数如果存在一个实数,)1(M,M)x(f,Dx 都都有有每每一一个个.上上是是有有上上界界的的在在则则称称函函数数Df使得对使得对如果存在一个实数如果存在一个实数,)2(NN)x(f,Dx 都有都有每一个每一个.上上是是有有下下界界的的在在则则称称函函数数Df2022-10-32022-10-3.,)3(数数有有界界函函称称为为数数既既有有上上界界又又有有下下界界的的函函使得对于使得对于即存在一个正数即存在一个正数,0 M.)(,MxfDx 成成立立每每一一个个问题 如何定义无界函数？.,)(,0*上无界上无界在在则称函数则称函
2、数使得使得总存在总存在如果对任意的正数如果对任意的正数DfMxfDxM 2022-10-32022-10-3例.),0()0,(1上上是是无无界界的的在在 xy.),(,0有有界界的的上上是是在在对对任任意意的的 则则有有取取对对任任意意的的,21,0*MxM MMxxx 21*11 x2022-10-32022-10-3四、反函数.)(),()()(),()()(111称为直接函数而的反函数，记为为则称中可唯一解出从作为因变量，作为自变量，对应，若将在定义域内一一已知函数xfyxfyxfyyfxyfxxfyxyxfy定义62022-10-32022-10-3;2;)()(11值域、定义域值域
3、分别为反函数的、直接函数的定义域、互为反函数与、xfyxfy)(xfy xy)(1xfy的关系与反函数)()(1xfyxfy.)()(31对称关于直线与反函数、直接函数xyxfyxfy2022-10-32022-10-3反函数存在定理反函数存在定理一一对应。在区间内的充分必要条件是函数内存在反函数在区间函数)()(xfyIxfy.内存在单调反函数）在区间（则内单调，）在区间（若函数IxfyIxfy函数单调只是反函数存在的充分条件，并非必要条件。注意定理1定理22022-10-3五、五、初等函数初等函数1.基本初等函数基本初等函数（2）幂函数）幂函数（3）指数函数）指数函数（4）对数函数）对数函
4、数（1）常量函数）常量函数 xy )0(aayxxey )(常数常数cy xyalog xxyeloglne是无理数是无理数2022-10-3（5）三角函数）三角函数（6）反三角函数）反三角函数,cot,tan,cos,sinxxxxxarcxxxcot,arctan,arccos,arcsinxx csc,sec2022-10-3幂函数为常数）(xy 1212,yxyxyx如 xo2xy xy xy)1,1(y1 xy都是幂函数。图形如下：2022-10-3指数函数）1,0(aaayx1aoyxxay 10 a12022-10-3对数函数）1,0(logaaxya1aoyxxyalog10a
5、12022-10-3三角函数与反三角函数（1）正弦函数xysinxoxysiny11222022-10-3xyarcsin反正弦函数。如图记为存在单调递增反函数所以内单调递增，在由于xyyxxyarcsin,arcsin,22sin 11，定义域：22，值域：2022-10-3（2）余弦函数xycosxoxycosy2123252232022-10-3xyarccos反余弦函数cos0,arccos,arccosyxxyyx由于在，内单调递减所以 存在单调递减反函数记为。如图 11，定义域：,0值域：2022-10-3（3）正切函数xytanxoxytany112022-10-3xyarcta
6、n反正切函数。如图记为存在单调递增反函数所以内单调递增，在由于xyyxxyarctan,arctan,)22(tan),(定义域：)22(，值域：2022-10-3（4）余切函数xycotxoxycoty11222322022-10-3cot(0),cot,cotyxxarcyyarcx由于在，内单调递减所以 存在单调递减反函数记为。如图xarcycot反余切函数),(定义域：),0(值域：2022-10-3（5）正割函数xysecxcos1（6）余割函数xycscxsin12022-10-32.复合函数复合函数定义：定义：这这时时在在集集合合的的交交集集非非空空定定义义域域的的与与的的值值域
7、域并并且且和和假假定定给给了了两两个个函函数数,)()(),()(fDfgRgxguufy ,)()(),(上上且且fDxggDxxD .),(构构成成的的复复合合函函数数与与这这个个函函数数为为由由则则称称可可以以确确定定一一个个函函数数gfxgfy gf 记记作作)()(xgfxgf即2022-10-3例例1,sin)(,)()1(xxgueufyu 则有则有 xexgfsin)(),(x,)(,)()2(2xxguuufy 则有则有 xxxgf 2)(),(x.1)(,arcsin)()3(xexguuf所以所以,不能构成复合函数不能构成复合函数).(xgf,1,1)(fD),1()(g
8、R.)()(gRfD因为因为2022-10-3简单函数将下列复合函数分解成)1(cos)2(lg1)1(22xyxy2(1)1 lgyx可分解成例例2解解:2(2)cos(1)yx可分解成yu21uv lgvx2yucosuv1vt tx函数和有理函数。简单函数是指基本初等2022-10-33.初等函数初等函数 由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限次有限次的四则运算或的四则运算或有有限次限次复合所得到的，且可以用一个公式表示的函复合所得到的，且可以用一个公式表示的函数统称为初等函数数统称为初等函数.2()23(1)lg(1)arctan 1 cos(2)(),()0,()(3)1g xyx
9、xyf xf xg xyxxx 判断下列函数是否是初等函数其中为初等函数例例32022-10-3）初等函数（1解解:复合而成由初等函数因为）初等函数（)(ln)(,)(2)(ln)()(xfxgueyexfyuxfxgxg）不是初等函数（32022-10-3六六、分段函数分段函数nnnnDDDDDDDnDxxfDxxfDxxfxf21212211,2;),(;),(;),()(分段函数定义域是两两不相交称为分段函数，其中）（表达的函数，即由两个或两个以上公式分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数.注意注意2022-10-3非初等函数的例子非初等函数的例子（1）符号函数）符号函数 .0
10、,1,0,0,0,1sgnxxxxyOyx 11 xxxsgn 注意注意2022-10-3（2）取整函数）取整函数),1(Zkkxkkxy 25.2 例如例如 35.2 Oyx11 2342 3 1231 2 3 注意注意 )(1Rxxxx 2022-10-3(3)狄利克莱函数狄利克莱函数为无理数当为有理数当xxxD,0,1)(1,31,1)(2xxxxxf设例例4.)(1xff）求（解：解：11)(1)1(2xxfx时，当2)(1)(xfxff22)1(1x422xx 2022-10-31,31,1)(2xxxxxf设例例4.3)(1)2(xxfx时，当13)(41)(xxfxa时，当2)(
11、1)(xfxff2)3(1x862xx13)(4)(xxfxb时，当3)()(xfxff3)3(x6 x2022-10-32422,1()68,146,4xxxf f xxxxxx 综上可得：综上可得：2022-10-31.2 经济函数介绍经济函数介绍)(.)(1DDDQfppfQpQ形式来表示：也可以用反函数的该函数称为需求函数之间就形成了函数关系与价格需求量外的其他因素，假若不考虑商品价格以一、需求函数一、需求函数2022-10-3二、供给函数二、供给函数.)(称该函数为供给函数之间形成了函数关系与价格下，供给量在不考虑其他因素情况pQpQss.00高价格的价格称为该商品的最时量，需求量饱
12、和需求量或最高需求该商品的时的需求量称为市场对价格DQp注意注意2022-10-3三、市场均衡三、市场均衡当某商品的需求量等于供给量时，我们称该商品当某商品的需求量等于供给量时，我们称该商品处于市场处于市场均衡状态均衡状态，此时的价格称为该商品的，此时的价格称为该商品的均均衡价格衡价格，此时的需求量（供给量）称为该商品的，此时的需求量（供给量）称为该商品的均衡量均衡量。商品的均衡量和均衡价格相当于需求曲。商品的均衡量和均衡价格相当于需求曲线和供给曲线交点的坐标线和供给曲线交点的坐标.一般来说，市场均衡表示此时的需求量、一般来说，市场均衡表示此时的需求量、供给量、产量、销量均相等，因而市场均衡供
13、给量、产量、销量均相等，因而市场均衡又称为供求平衡或产销平衡又称为供求平衡或产销平衡.如图如图(见下页见下页)2022-10-3QP()DQPQ()sQPEP2022-10-3四、总成本函数四、总成本函数)(.xCCxC记为成本函数构成的函数关系称为总所与产量总成本在生产过程中，产品的可表示为：于是总成本本，记为变化的部分称为变动成随产品的产量增减而记为分称为固定成本变化的部不随产品的产量增减而成本两部分本包括固定成本和变动生产某一种产品的总成)().(;,:10 xCxCC)()(10 xCCxC2022-10-30)0(0CCx本，有时的总成本就是固定成当产量xxCxC)()(.记为：简称
14、平均成本本称为平均单位成本，均摊在单位产量上的成平均成本函数一般不是单调函数平均成本函数一般不是单调函数.注意注意2022-10-3.500100400)(2本函数及平均成本函数万元，试求总成吨时，总成本为当年产量为万元，且成本为待定系数，已知固定，其中吨的函数万元为年产量假定某产品总成本babxaxCCxC2100400500400,500)100(400)0(baCaC所以由于1001b解得例例1解解:2022-10-3)(100400)(2万元所求总成本函数为xxC)/(100400)()(吨万元平均成本函数为xxxxCxC2022-10-3五、收益函数五、收益函数收益函数：生产者出售一
15、定数量的产品所得收益函数：生产者出售一定数量的产品所得到的全部收入。它是销量与价格的乘积到的全部收入。它是销量与价格的乘积 R=pQ,其中其中 p-产品的价格，产品的价格，Q-销售量销售量 注注QQfQPRPPfQPR)()(12022-10-3该商品的收益函数。求件，并假定市场均衡，元件，最高价格为，量为已知该商品的最大需求的线性函数是价格设某产品的需求量/4000040,bpaQPQ40000,)0(aaQ所以为最大需求量因为得：）（所以量为又因为价格最高时需求,040400baQ例例2解解:1000b2022-10-3PQ100040000需求函数为2100040000100040000
16、ppPPQPR）（收益函数为21000140100040000QQQQQPR或2022-10-3六、总利润函数六、总利润函数由经济理论知：利润由经济理论知：利润=收益收益-成本成本:则利润函数为表示，与产量相等，均用当市场均衡时，销售量Q)()()()()()(pCpRpLLQCQRQLL或为盈亏临界点时，称当*0)(QQL2022-10-3).(2,100/(30QLpQpQ利润函数均衡，求（百元），并假定市场产品成本增加多生产一件（百元）该产品的固定成本为件）若生产为价格，单位：百元单位：件，为需求量，设某产品的需求量QQC2100)(总成本函数230)30()(QQQQPQQR收益函数0
17、1002)()()(2QQQQCQRQL利润函数例例3解解:2022-10-3.(215)(5250015002润函数产品就会积压，试求利，如果超出此范围，为销售量，单位：百台其中万元），销售的总收入函数为能全部售出，百台，在此范围内产品求量最高为需元，市场对此产品的年百台成本增加产元，每生成本为某厂生产某产品的固定QQQQR例例4解解:)(25.005.0)(万元总成本函数QQC2022-10-35,5215550,215)(22QQQQQR收益函数5,45.1225.050,05.075.421)()()(2QQQQQQCQRQL所以利润函数为2022-10-3七、库存函数：全年存货成本与
18、批量的函数关系七、库存函数：全年存货成本与批量的函数关系。CPQ、A，求库存函数位产品的存储费为，一年内单，每批定货成本为货数量为批定无缺货的情况下，若每无交割期进货批量，在均匀消耗某产品全年需求量为2QQAQ平均库存量：批次：批量：2QCQAPT全年库存费用全年订货成本2022-10-3。，函数存元，试表示甲材料的库年的存储费用为元，每公斤存货每每次订货成本为公斤甲种材料假定文华公司每年耗用11030001103000CPAQ，据已知有公斤，设每次订货的数量为3000022CQAPQTQQ则全年的存货成本为例例5解解:2022-10-3QP25.010设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为
19、,Q为需求量为需求量,若固定成本为若固定成本为1万元万元,多生产一个单位产品成本增多生产一个单位产品成本增加加5万元万元,假定产销平衡假定产销平衡,求求:（）总成本函数，（）总成本函数，（）收益函数，（）收益函数，（）总（）总利润函数利润函数P为价格（单位：万元），为价格（单位：万元），2022-10-3解解答答QQC51)()1(总成本函数为225.010)()2(QQQPQR收益函数为2440)(PPQPPR或125.05)()3(2QQQCQRQL）（）（总利润函数为2022-10-3本次课小节本次课小节:1.初等函数初等函数:基本初等函数基本初等函数(重点是反三角函数重点是反三角函数););复合函数复合函数;初等函数初等函数.2.分段函数分段函数3.经济函数介绍经济函数介绍:需求函数需求函数;供给函数供给函数;总成本函数总成本函数;收益函数收益函数;总利润函数总利润函数;库存函数：全年存货成本与批量的函数关系库存函数：全年存货成本与批量的函数关系2022-10-3作业作业请抓紧时间完成习题一的其它题！请抓紧时间完成习题一的其它题！1.P25,T93.P26,T214.P26,T232022-10-3
