1、高考数学基础知识、常见结论第一章 集合与命题一、理解集合中的有关概念1. 集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；集合元素的互异性：如：已知集合A=1,a，B=a,a2，且A=B，求实数a。2. 集合与元素的关系用符号，表示；3. 常用数集的符号表示：自然数集_，整数集_，正整数集_，负整数集_，有理数集_，正有理数集_，负有理数集_，实数集_，正实数集_，负实数集_，复数集_；4. 常用数的分类(0是偶数)(1既不是质数也不是合数)5. 集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图；注意：区分集合中元素的形式：如：，。6. 子集、真子集、集合相等；7. 空集是指不含任何元素的集合。(注意：、和的区
2、别；0与三者间的关系)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。如：，如果，求的取值范围。二、集合间的关系及其运算1. 符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 ；2. ；3. 对于任意集合，则：(1)；(2)；(3)；(4)_；_；_；_；=_；_=。三、集合中元素的个数的计算： 1. 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_，所有非空子集的个数是_，所有真子集的个数是_，所有非空真子集的个数是_；2. 韦恩图的运用。如：设全
3、集N，若，求集合A、B。四、四种命题形式如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题的形式就是：互逆互否互否原命题：如果，那么；逆命题：如果，那么；互逆否互逆否命题：如果，那么；逆否命题：如果，那么。原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的_；(有时很难直接判断原命题的真假，可以考虑判断其逆否命题的真假)如：“”是“”的_条件。五、反证法：当证明“如果，那么”感到困难时，改证它的等价命题“如果，那么”成立。步骤：(1) 假设结论反面成立；(2) 从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；(3) 由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：(1) 与原命题的条件矛盾
4、；(2) 导出与假设相矛盾的命题；(3) 导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语等于大于小于是都是至多有一个否定正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定第二章 不等式 一、实数大小与顺序关系 1. ab a-b0； 2. a=b a-b=0； 3. ab a-b0且b0 a+b0 | a0且b0 a+b0 | a、b异号 abb bb，bc ac； 3. 加法单调性：ab a+cb+c (ab a-cb-c)； 4. 乘法单调性：ab，c0 acbc；ab，c0 acb，cd a+cb+d； 6. 异向相减(可
5、减性)：ab，cb-d。 7. 同向相乘：ab0，cd0 acbd0 (ab0，cdbd0) ； 8. 倒数改向：ab，a、b同号 b，a、b异号 ； 9. 乘方性质：ab0 N，n1)； 10. 开方性质：ab0 N，n1)。 注意：对于9. 、10. ，当n为奇数时，只要ab即可 及，不再需要大于0的条件。 三、基本不等式 1. 若a、bR，则(当且仅当a=b时等号成立)； 2. 若a、bR+，则(当且仅当a=b时等号成立)。 注意：(i) 应用公式的条件；(ii) 取等号的条件；(iii) 广义地理解公式中的字母a、b。 四、几个重要的不等式变形 1. 若a、bR，则(当且仅当a=b时等
6、号成立)； 2. 若a、bR，则(当且仅当a=b时等号成立)； 3. 若a、bR+，则(当且仅当a=b时等号成立)。当(常数)，当且仅当_时，_；当(常数)，当且仅当_时，_；基本应用：求函数最值：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：函数的最小值_；若正数x、y满足，则的最小值_；(“1”的妙用)若正数x、y满足，则x+y的最小值_。五、绝对值不等式：。注意：上述“”成立的条件； 六、证明不等式常用方法：1. 比较法：作差比较：；注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。作商比较：若a和b都是正数，则2. 综合法：由因导果。3. 分析
7、法：执果索因。基本步骤：要证，只需证，只需证4. 反证法：正难则反。5. 换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设tgq；6. 构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；七、不等式的解法： 1. 常见不等式解法类型解集(解法)一元一次不等式axba0a0a=0b0fb0Rax0a0Rb0f一元二次不等式D=b2-4ac，x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，且x10(a0)D0x|xx2或xx1D=0D0Rax2+bx+c0)D0x|x1xx2D=
8、0fD0f一元一次不等式组(abx|xax|ax0a0xn+a1xn-1+an0，nN，n3)a0xn+a1xn-1+an=0有n个实根“数轴标根法”求解分式不等式f(x)g(x)0f(x)g(x)cc0x|xc或x-cc=0x|xR且x0c0R|x|0x|-cxg(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)1af(x)ag(x)f(x)g(x)af(x)ag(x)f(x)g(x)0aag(x)f(x)g(x)af(x)g(x)对数不等式a1logaf(x)logag(x)logaf(x)logag(x)0alogag(x)logaf(x)0D=0D0)的根
9、有两个相异实数根有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集ax2+bx+c0(a0)(-,x1)(x2,+)Rax2+bx+c0)(x1,x2)ff二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像xyOx1 x2xyOxyO 3. (1) 不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数 ； (2) 不等式ax2+bx+c0的解集是全体实数 。注意：a=0的情况千万不要遗漏！如：函数的定义域是R，则k的取值范围是_。第三章 复数初步一、理解复数、虚数、纯虚数、模、共轭复数、实部(Rez)、虚部(Imz)的概念；注意：纯虚数的虚部0！二、熟练掌握、灵活运用以下结论：1. a+bi=c+di (a、b、c、
10、dR) a=c且b=d2. 复数是实数的条件：(1) z=a+biRb=0 (a、bR)；(2) zR z=；(3) zR z20；3. 复数是纯虚数的条件：(1) z=a+bi是纯虚数 a=0且b0 (a、bR)； (2) z是纯虚数 z0 (z0)；(3) z是纯虚数 z20：；D=0：；D0、D=0、D0)：_；(18)：_； (19)：_；(20)：_； (21)：_。三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性1. 单调性：(1) 定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。(2) 判定方法：定义法(作差比较和作商比较)，图像法，复合函数法。(3) 应用：比较大小，证明不等式，解不等式
11、。2. 奇偶性：(1) 定义：一定先要判断定义域是否关于原点对称，然后才比较f(x)与f(-x)的关系：f(x)-f(-x)=0 f(x)=f(-x) f(x)为偶函数 (图象关于y轴对称)；f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x) f(x)为奇函数 (图象关于原点中心对称)。(2) 判别方法：定义法，图像法。(3) 应用：把函数值进行转化求解。 如：已知，其中a、b、c、d为常数，若f(-7)=17，求f(7)。3. 周期性：(1) 定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x) (常数T0)，则T为函数f(x)的周期。(2) 其他：若函数f(x)对定义域内的任意
12、x满足：f(x+a)=f(x-a)，则2a为函数f(x)的周期。注意：比较f(x+a)=f(-x+a)和y=f(x+a)、y=f(-x+a)的区别。如：(1) 已知函数y=f(x) (xR)，若f(x-1)=f(1-x)，则函数f(x)的对称轴是_；(2) 已知函数y=f(x) (xR)，则函数y=f(x-1)和y=f(1-x)关于直线_对称； (3) 定义域是R的奇函数f(x)，对任意恒有f(x)=f(x+2)，则f(2)+f(4)+f(6)+f(2006)+f(2008)=_。(3) 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换：函数图像变换：(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌
13、握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律：(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考)1. 平移变换y=f(x) y=f(x+a)，y=f(x)+b注意：(1) 有系数，要先提取系数。如：把函数经过_平移得到函数的图象。(2) 会结合向量的平移，理解按照向量平移的意义。2. 对称变换y=f(x) y=f(-x)：关于y轴对称y=f(x) y=-f(x)：关于x轴对称y=f(x) y=-f(-x)：关于原点中心对称y=f(x) y=f(|x|)：把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称(注意：它是一个偶函数)y=f(x) y=|f(x)|：把x轴上方的图象保留，x
14、轴下方的图象关于x轴对称xO(2,0)(0,-1)yy=f(x)如：的图象如图，作出下列函数图象：(1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6)； (7)；(8)；(9)。3. 伸缩变换：y=f(x) y=f(x)y=f(x) y=Af(x+)+B 具体参照三角函数的图象变换。如：把函数经过_平移得到函数的图象。(“先j后w”或“先w后j”)4. 几个重要结论： (1) 曲线C1：f(x,y)=0关于y=x+a (y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0 (或f(-y+a,-x+a)=0)； (2) 曲线C1：f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a
15、-x,2b-y)=0； (3) 若函数y=f(x)对xR时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称； (4) 函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称；五、反函数：1. 反函数定义；2. 函数存在反函数的条件：_；3. 求反函数的步骤：将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域(即的值域)。 4. 互换性：f(x)与f-1(x)的定义域、值域之间的关系：函数的定义域是它的反函数的值域，函数的值域是它的反函数的定义域。 5. 单调性：若函数y=f(x)是A上的增(减)函数，则其反函数y= f-1(x)是C上
16、的增(减)函数(A、C是f(x)的定义域、值域)。 6. 奇偶性：奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数；偶函数不存在反函数。 7. 对称性：f(x)与f-1(x)的图像之间的关系：在同一坐标系内，y=f(x)与f-1(x)的图像关于直线y=x对称。 8. 反身性：如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身。 9. f(x)与f-1(x)的对应法则之间的关系：y=f(x)与y= f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为C，则有ff-1(x)=x (xC)；f-1f(x)=x (xA)。如：求下列函数的反函数：(1)；(2)；(3)。六、常
17、用的初等函数：1. 一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；2. 一元二次函数：一般式：；对称轴方程是_；顶点为_；两点式：；对称轴方程是_；与轴的交点为_；顶点式：；对称轴方程是_；顶点为_；(1) 一元二次函数的单调性： 当时：_为增函数；_为减函数；当时：_为增函数；_为减函数；(2) 二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；若顶点的横坐标不在给定的区间上，则时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远
18、的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 三个常见类型题型：(i) 顶点固定，区间也固定。如：；(ii) 顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。如：；(iii) 顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。如：。(3) 二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题在上有两根在上有两根在或上有一根充要条件注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。3. 反比例函数： 掌握函数 (b-ac0)的图象和性质
19、；函数(b-ac0)定义域值域奇偶性非奇非偶函数单调性当b-ac0时：分别在上单调递减；Oxyx=-cy=a当b-ac0且a1)图象特征函数性质图象向左、向右无限延展，但永远不和x轴相交xR图象都在x轴上方函数值恒大于0图象必经过点(0,1)当x=0时，y=1a1图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1当x0时，y1图象在第二象限部分的点的纵坐标都小于1当x0时，0y10a0时，0y1图象在第一象限部分的点的纵坐标都大于1当x1a1图象上升增函数0a0)个单位，则y1=ax+M； 将图象向右平移M (M0)个单位，则y2=ax-M； 将图象向上平移M (M0)个单位，则y1=ax+M； 将图象向
20、下平移M (M0)个单位，则y2=ax-M；5. 对数函数： (1) 几个恒等式(M、N、a、b都是正数，a1，b1) ；(换底公式)； ；。 (2) 积、商、幂、方根的对数 ； ；。对数函数y=logax(a0且a1的常数)图象特征函数性质图象都在y轴右方函数定义域：x0y函数值域：yR图象必经过点(1,0)当x=1时，y=0a1横坐标大于1的点的纵坐标都大于0当x1时，y0横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都小于0当0 x 1时，y00a1时，y0横坐标大于0，小于1的点的纵坐标都大于0当0 x0a1图象上升增函数0a0且a1)及其图象左 上加 加右 下减 减 将图象向左平移M (M0)个单
21、位，则y1=loga(x+M)； 将图象向右平移M (M0)个单位，则y2=loga(x-M)； 将图象向上平移M (M0)个单位，则y3=logax+M； 将图象向下平移M (M0)个单位，则y4=logax-M。注意：(1) 与的图象关系是_；(2) 比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。(3) 已知函数的定义域为，求的取值范围；已知函数的值域为，求的取值范围。6. 幂函数减小y=xn(nR且n为常数)不同点减小图象呈现“抛物线”型的弧图象呈现“双曲线”型的弧图象与x、y轴无限接近，但永不相交图象都
22、经过点(0,0)、(1,1)图象都经过(1,1)在第一象限，函数值随着x的增大而增大即在(0,+)上是增函数在第一象限，函数值随着x的增大而减小即在(0,+)上是减函数共同点(1) 当n=0时，图象是一条去掉(0,1)的直线；(2) 幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点(0,0)；(3) 幂函数的图象不可能经过第四象限；(4) 任何两个幂函数的图象最多只有三个交点 幂函数y=xn (设，p、qN且p、q互质)的图象(p、q互质)OxyOxyOxyn00n1p、q都是奇数举例：举例：举例：p是奇数，q是偶数OxyOxyOxyOxyOxyOxy举例：举例：举例：p是偶数，q是奇数举例：举例：举例：
23、 主要从如下几个方面进行识别： (1) 从函数的定义域和值域，看图象分布的象限； (2) 从p、q的奇偶性，看图象的对称性；(3) 从n的正、负，看图象的类型和变化趋势。七、的图象：图像xyOxyO定义域(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇函数奇函数单调性递增区间和递增区间(-,0)和(0, +)递减区间和递减区间无值 域R八、补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 正比例函数； _； _； _。第六章 三角比 第七章 三角函数一、三角比 1. 角的概念的推广 (1) 终边相同的角：所有与a角终边相同的角(连同a角在内)可以用式子k360+a，kZ来表示。与a角终边
24、相同的角的集合可记作：b|b=k360+a，kZ或b|b=2kp+a，kZ。 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。 (2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角。象限角集合表示象限角集合表示第一象限第二象限第三象限第四象限 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 如：；(kZ)；(kZ)。 其中假命题的序号是_。 (3) 轴线角：角的终边在坐标轴上的角称为轴线角。轴线角集合表示轴线角集合表示x轴非负半轴x|x=2kp，kZ x轴非正半轴x|x=2kp+p，kZ x轴x|x=
25、kp，kZ y轴非负半轴y轴非正半轴y轴坐标轴 2. 弧度制 (1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 (2) 度数与弧度数的换算： 180=p弧度；弧度；R1弧度=。 (3) 有关扇形的一些计算公式： ； C=(a+2)R；。 3. 同角三角函数的基本关系 (1) 倒数关系：sinacsca=1，cosaseca=1，tgactga=1； (2) 商数关系：，； (3) 平方关系：sin2a+cos2a=1，sec2a-tg2a=1，csc2a-ctg2a=1。 4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。 5. 两角和
26、与差的三角函数公式 ； ； (变形：)。 6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式： sin2a=2sinacosa，cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a，； (2) 三倍角公式：sin3a=3sina-4sin3a，cos3a=4cos3a-3cosa，； (3) 半角公式： ，； (4) 三角函数的万能公式：，。 7. 倍角、半角公式的功能 (1) 并项功能：1sin2a=(sinacosa)2 (类比：1+cos2a=2cos2a，1-cos2a=2sin2a)； (2) 升次功能：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；
27、 (3) 降次功能：，。 8. 辅助角公式： (其中、) 二、解三角形 1. 正弦定理：。 2. 余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC。 3. 斜三角形的解法已知条件定理选用一般解法一边和两角(如a、B、C)正弦定理 由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b与c。在有解时只有一解。两边和夹角(如a、b、C)余弦定理 有余弦定理求出第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角。在有解时只有一解。三边(如a、b、c)余弦定理 由余弦定理求出角A、B，再利用AB+C=180，求出角C。在有解时只
28、有一解。两边和其中一边的对角(如a、b、A)正弦定理 由正弦定理求出角B，由A+B+C=180求出角C。再利用正弦定理求出c边。可能有两解、一解或无解。abaB2B1ACCAabCABba A为锐角CABba absinA ab 无解 一解 两解 一解ACbaACba A为直角或钝角 ab ab 无解 一解 上述结果还可以通过下表来记忆A90Ab一解一解a=b无解一解absinA：两解；a=bsinA：一解；absinA：无解三、三角函数 1. 三角函数的图像yxO1-1p2p-pyxO1-1p2p-p正弦函数y=sinx余弦函数y=cosxxyOp-p正切函数y=tgxxyOp-p2p余切函数y=ctgx 正弦型函数的对称轴为Z)；对称中心为Z)；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心。 2. 三角函数的性质函数y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx定义域RRx|xR，且x，kZx|xR，且x，kZ值域-1,1-1,1RR奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数有界性有界函数|sinx|1有界函数|cosx|1无界函数无界函数周期性(最小正周期)T=2pT=2pT=pT=p单调性在,上是增函数；在,上是减函数(kZ)在2kp-p,2kp上是增函数；在2kp,2kp+p上是减函数(kZ)在,上是增函数(
