1、四年级思维训练四年级思维训练1 德国著名大科学家高斯德国著名大科学家高斯卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯高斯2一、等差数列的基本知识一、等差数列的基本知识3（1 1）1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、66（2 2）2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212（3 3）5 5、1010、1515、2020、2525、3030像这样按照一定规律排列成的一列数我们称像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为它为数列数列数列中的每一个数称为数列中的每一个数称为一一项项；第第1 1项称为项称为首项首项；最后最后1 1项称为项称为末项末项；在第几个位置上的数就叫在第几个位置上的数就叫第几项第几
2、项；有多少项称为有多少项称为项数项数；（一）数列的基本知识（一）数列的基本知识4（二）等差数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6 （2）2、4、6、8、10、12 （3）5、10、15、20、25、30 （公差（公差=1）（公差（公差=2）（公差（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为特征的数列称为等差数列等差数列，这个差，这个差称为这个数列的称为这个数列的公差公差。5二、等差数列的项二、等差数列的项6数列
3、：数列：1、3、5、7、9、11第第2项：项：3=1+2 首项首项+公差公差1（2-1）第第3项：项：5=1+2 2 首项首项+公差公差2（3-1）第第4项：项：7=1+2 3 首项首项+公差公差3（4-1）第第5项：项：9=1+2 4 首项首项+公差公差4（5-1）第第6项：项：11=1+2 5 首项首项+公差公差5（6-1）等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的末项等差数列的末项=首项首项+公差公差（项数（项数-1 1）等差数列的首项等差数列的首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1）适用条件：适用条件：
4、该数列一定要为等差数列该数列一定要为等差数列7等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）例例1 已知数列已知数列2、5、8、11、14求：（求：（1）它的第）它的第10项是多少？项是多少？（2）它的第）它的第98项是多少？项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同的余数？）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项分析：首项=2 公差公差=3解：（解：（1）第）第10项：项：2+3（10-1）=29 （2）第）第98项：项：2+3（98-1）=293 8例例2 已知数列已知数列2、5、8、11、14、17，.122,这个数列有多少项。这个数列有多少项。规律：规律：末项
5、比首项多的公差的个数，再加上末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到，就得到这个数列的项数。这个数列的项数。等差数列的项数等差数列的项数=公差个数公差个数 +1 =（末项（末项-首项）首项）公差公差+1这个数列的项数这个数列的项数=（122-2）3+1=419小结：小结：等差数列项的有关规律等差数列项的有关规律等差数列的某一项等差数列的某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）等差数列的每等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+110练习练习1、一串数：、一串数：1、3、5、7、9、49。（1）它的
6、第）它的第21项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？2、一串数：、一串数：2、4、6、8、2008。（1）它的第）它的第25项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？113、一串数：、一串数：101、102、103、104、199。（1）它的第）它的第30项是多少项是多少?（2）这串数共有多少个？）这串数共有多少个？4、一串数：、一串数：7、12、1722。（1）它的第）它的第60项是多少项是多少?（2）前）前20项的和是多少？项的和是多少？12练习答案：练习答案：1、它的第、它的第21项项=1+2（21-1）=41；这个数列的项数这个数列的项数=（
7、49-1）2+1=25；2、它的第、它的第25项项=2+2（25-1）=50；这个数列的项数这个数列的项数=（2008-2）2+1=1004；3、它的第、它的第30项项=101+1（30-1）=130；这个数列的项数这个数列的项数=（199-101）1+1=994、它的第、它的第60项项=7+5（60-1）=302；这个数列各项被这个数列各项被5除有相同的余数。除有相同的余数。（提示：等差数列的每（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相项除以它的公差，余数相同。）同。）13二、等差数列的和二、等差数列的和14意大利数学家斐波那契意大利数学家斐波那契 经过经过12世纪的传播时期之后，初等数学
8、在欧洲世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展在获得了相应的发展在13世纪欧洲大多数国家里，世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心特别是商业的城市成为商业和手工业发展的中心特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算这时的欧洲出现了发展，带来了相当复杂的计算这时的欧洲出现了第一批理论数学家意大利作为当时的商业中心，第一批理论数学家意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家培育了中世纪最杰出的教学家斐波那契。斐波那契。斐波那契是一个商人的儿子，早年斐波那契是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从阿拉伯教师学习随父到过北非，跟从阿拉伯教师学习计算。后来到埃及、叙利亚、希
9、腊、西计算。后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。悉了不同国家在商业上使用的算术体系。15 经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度度阿拉伯数系相媲美。斐波那契于阿拉伯数系相媲美。斐波那契于1200年回到家乡，年回到家乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成把在各地学得的数学知识加以总结，写成算盘书算盘书这是向西欧介绍印度这是向西欧介绍印度阿拉伯数系和阿拉伯数学的最阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后早的著作。这本书的开头介
10、绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。因此，书名中却偏离了这一课题。因此，书名中“算盘算盘”一词已失一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为去它作为计算工具的本意，而应理解为“算术算术”或由或由印度印度阿拉伯数系而产生的阿拉伯数系而产生的“算法算法”。斐波那契大量。斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题。在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为习题。在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范。中世纪欧洲数学之典范
11、。16 假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？这个问题使斐波那契名垂史册问题的答案由下列和式给出：使斐波那契名垂史册问题的答案由下列和式给出：112358233 其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个其中从第三项起，每一项都是前两项的和。这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的
12、近数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年年中一直是许多学者研究的对象。中一直是许多学者研究的对象。斐波那契数列斐波那契数列17例例1：6+10+14+18+22+26+30+34+38原数列的和：原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6 44 44 44 44 44 44 44 44 44两数列之和两数列之和=（6+38）9解：原数列之和解：原数列之和=（6+38）92 =4492 =198 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数218例例2：计算：计算1+6+11
13、+16+21+26+.+276 等差数列的和等差数列的和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2？等差数列的项数等差数列的项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1解：等差数列的项数：解：等差数列的项数：（276-1）5+1=56（项）（项）原数列之和原数列之和=（1+276）562 =27728 =775619等差数列二20复习复习1、计算、计算（1）7+10+13+16+.+37（2）7+11+15+19+.+403（3）9+19+29+39+.+99（4）1+3+5+7+.+9921练习答案：练习答案：解：（解：（1）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=37，
14、公差，公差=3,项数项数=（37-7）3+1=11 和和=（7+37）112=242（2）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=7，末项，末项=403，公差，公差=4，项数项数=（403-7）4+1=100 和和=（7+403）1002=20500（3）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=9，末项，末项=99，公差，公差=10，项数项数=（99-9）10+1=10 和和=（9+99）102=540（4）这是一个等差数列；首项）这是一个等差数列；首项=1，末项，末项=99，公差，公差=2，项数项数=（99-1）2+1=50 和和=（1+99）502=2500222、有一个数
15、列：、有一个数列：4,10,16,22，,58，这个数列共几项？这个数列共几项？3、写出数列、写出数列1,3,5,7,9，中的第中的第40个数是多少？个数是多少？4、在数列、在数列2,5,8,11,14,17,.中，中，76是其中的某一项吗？是，请求出是第是其中的某一项吗？是，请求出是第几项；不是请说明理由。几项；不是请说明理由。23等差数列知识总结：等差数列知识总结：怎样判断一个数列是等差数列怎样判断一个数列是等差数列怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求出等差数列前几项的和怎样求出等差数列前几项的和必须牢记等差数列的基本公式和重要结论必须牢记等差数列的基本公
16、式和重要结论1、某一项、某一项=首项首项+公差公差（项数（项数-1）2、项数、项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+13、和、和=（首项（首项+末项）末项）项数项数24、等差数列的每、等差数列的每1项除以它的公差，余数相项除以它的公差，余数相同。同。24等差数列求和的应用等差数列求和的应用25例例1、在北京与上海之、在北京与上海之间运行的火车，除起间运行的火车，除起点和终点外，还要停点和终点外，还要停靠靠8个火车站，一共要个火车站，一共要准备多少种火车票？准备多少种火车票？26例例2、在一个分成、在一个分成64小格的方板小格的方板的每个格子中放入石子。如果第的每个格子中放入石子。如果第一格
17、放入一格放入2粒，第二格放入粒，第二格放入4粒，粒，第第3格放入格放入6粒，第四格放入粒，第四格放入8粒粒依次类推，放满依次类推，放满64格，一格，一共要放入多少粒石子？共要放入多少粒石子？27例3、一堆钢材共15层，第一层有8根，下面每层比上一层多1根，这堆钢材一共有几根？28例例4、有一堆圆木，最上面一层有、有一堆圆木，最上面一层有5根，每向下一层增加一根一共堆根，每向下一层增加一根一共堆了了28层，这堆圆木一共有多少根？层，这堆圆木一共有多少根？29练习练习1、在下图中，每个最小的等边三、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是角形的面积是12cm，边长是，边长是1根火柴根火柴棍。棍。（1
18、）最大三角形的面积是多少）最大三角形的面积是多少cm？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？）整个图形由多少根火柴棍摆成？302、丽丽学英语单词，第一天学会了、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会个，以后每天都比前一天多学会2个，最后一天学会了个，最后一天学会了16个。丽丽在个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？这些天中共学会了多少个单词？313、有一家电影院，共有、有一家电影院，共有10排座排座位，后一排都比前一排多两个位位，后一排都比前一排多两个位置，已知第一排有置，已知第一排有18个座位，那个座位，那么这家电影院共可以容纳多少名么这家电影院共可以容纳多少名观众？观众？3
19、24、时钟在每个整点敲打，敲打、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？多少次？335、50把钥匙配把钥匙配50把锁，现要将每把把锁，现要将每把钥匙正确的配上锁，至多需要试多钥匙正确的配上锁，至多需要试多少次？少次？346、有一个六边形点阵如下图，它的、有一个六边形点阵如下图，它的中点是一个点，算做第一层，第二层中点是一个点，算做第一层，第二层每边两个，第三层每边三个点每边两个，第三层每边三个点这这个六边形点阵共个六边形点阵共100层，求这个点阵层，求这个点阵共有多少个点？共有多少个点？35
