1、丹东市20192020学年度上学期期末教学质量监测高三理科数学本试卷共22题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题
2、5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解法得出集体A，再得出集合B，根据集合的交集运算可得选项.【详解】由，即，解得，所以，又，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的含义与表示和集合的运算，属于基础题.2.复数的模（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算，求得复数，即可求解复数的模.【详解】由题意，所以，故选:D.【点睛】本题考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中根据复数的除法运算求得复数，再利用复数模的公式求模是解答的关键，着重考查
3、了学生的推理与运算能力.3.某商家统计了去年，两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中点表示产品2月份销售额约为20万元，点表示产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误的是（ ）A. 产品的销售额极差较大B. 产品销售额的中位数较大C. 产品销售额平均值较大D. 产品的销售额波动较小【答案】B【解析】【分析】由图示中P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，再根据极差、中位数、平均值的概念，可得选项.【详解】据图求可以看出，P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，并且Q产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元
4、至30万元之间，所以P产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q产品的销售的平均值较大，销售的波动较小，故选：B.【点睛】本题考查识别统计图的能力，会根据图示得出其数字特征的大小关系，属于基础题.4.（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得x3的系数为，故选A【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数5.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，。根据指数函数的单调性和中介值1可得出选项.【详解】
5、设，。因，故在上单调递减，又因为当时，所以。因为，故在上单调递增，又因为当时，所以，所以。故选:C.【点睛】本题考查指数幂的大小比较,在比较时,一般需转化成同底数或同指数,或者寻找中介值,属于基础题.6.若，则（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】将所求的表达式转化为,代入已知条件可求选项.【详解】,故选:C.【点睛】本题考查正弦的二倍角公式和同角三角函数的平方关系,关键在于运用平方关系中的”1”,将原式化为分式的齐次式,属于基础题.7.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立与的关系，即可得到夹角.【详解】因为
6、，所以，则，则，所以，所以夹角为故选B.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，难度较小.8.设，是两个平面，是两条直线，下列命题错误的是（ ）A. 如果，那么.B. 如果，那么.C. 如果，那么.D. 如果内有两条相交直线与平行，那么.【答案】C【解析】【分析】对于A选项,由线面垂直的性质定理,线面平行的性质定理和空间的直线所成的位置关系可证;对于B选项,由面面平行的性质定理可得;对于C选项,与相交或平行,故C选项是错误的;对于D选项,由面面平行的判定定理可得.【详解】由，是两个平面，是两条直线，得:对于A选项, 如果，那么由线面垂直的性质定理,线面平行的性质定理和空间的直线所成的位置关系可证
7、得,故A选项是正确的.对于B选项,，由面面平行的性质定理可证得,故B选项是正确的.对于C选项,，则与相交或平行,故C选项是错误的.对于D选项,内有两条相交直线与平行，由面面平行的判定定理可得,故D选项是正确的.故选:C.【点睛】本题考查线面垂直的判定,线面平行的判定,线线垂直的判定等空间的线线,线面,以及面面的关系,属于基础题9.甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以获胜的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知得甲队以获胜,则前3局中,甲获胜2局,乙获胜1局,第4局甲获胜,根据独立重复实验的概率的计算可得选项.【详解】由已知得,设
8、事件A:甲队获胜,则,事件B:乙队获胜,则,甲队以获胜,则前3局中,甲获胜2局,乙获胜1局,第4局甲获胜,则甲队以获胜的概率为,故选:A.【点睛】本题考查独立重复实验的概率的求解方法,关键在于明确比赛的规则在数学中的表示方法,求解原理,属于基础题.10.下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设为所求函数图象上任意一点，求得点关于点的对称点必在函数的图象上，代入可得选项.【详解】设为所求函数图象上任意一点，则由已知可得点关于点的对称点必在函数的图象上，所以,即,故选:D.【点睛】本题考查函数关于某点对称的函数,关键在于设所求函数上的点
9、,根据对称,可得所设关于已知点的对称点的坐标,再代入原函数的解析式中,属于基础题.11.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递减在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性,讨论区间得的正负和的正负可化简函数的表达式,再由的单调性,值域,零点可判断得出选项.【详解】定义域为 , , 是偶函数,故 正确;当时, ,在单调递减, 故正确;当时, , 有两个零点:,当 时, 有一个零点:,所以在上有三个零点,故不正确; 当时, 其最大值为2,又因为函数 是偶函数,所以函数 的最大值为2,故正确
10、.所以正确的命题有,故选:A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象与性质;考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理,关键在于讨论化简函数的表达式,属于中档题.12.抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，若，则（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】设过且斜率为1的直线方程为,与抛物线方程联立可得根与系数关系,再利用弦长公式,即可得出.【详解】设过且斜率为1的直线方程为,联立,化为,设,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知
11、函数在单调递减，且为奇函数，则满足的的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由函数的单调性和奇偶性得,解之可得答案.【详解】因为函数在单调递减，且为奇函数，所以,所以由得,所以,解得,故答案为: .【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性求解不等式,关键在于由性质,化简不等式,得到关于 的不等式,属于基础题.14.的内角，的对边分别为，若的面积为，则_.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理,由已知条件可得,再根据三角形中的角的范围可得所求的角.【详解】在中，,而，由余弦定理得，则,故，则。由于，则。故答案为: .【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的应用,关键在于熟悉各
12、公式的特点,选择合适的公式,属于中档题.15.设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的几何性质,圆的几何性质,得出其中的线段的关系,可得,可得出双曲线的渐近线的方程.【详解】由题意得下图：由双曲线的性质得，又以为直径的圆与圆交于，两点，且，所以为以为直径的圆的直径，所以，则，,所以,所以的渐近线方程为.故答案为: .【点睛】本题主要考查双曲线与圆的几何性质,关键在于由其几何性质,得出线段的关系,并且与双曲线的建立联系,属于中档题.16.已知正三棱柱的六个顶点都在球的表面上，异面直线与所成角的余弦值为，则_，球的表
13、面积为_.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】分别取的中点，连接因为,则 (或其补角)为异面直线与所成的角，运用余弦定理可求得的长,设上下底面的中心为,连接,则球的球心为的中点,连接,根据勾股定理可求得球半径,再运用球体的表面积公式可求得球体的表面积.【详解】分别取的中点，连接因为,则 (或其补角)为异面直线与所成的角，设正三棱锥的高为,则有,在EFG中，由余弦定理得：,解得,所以,设上下底面的中心为,连接,则球的球心为的中点,连接,则,所以球的表面积为,故答案为:.【点睛】本题考查正三棱柱的线面关系,线线关系,以及正三棱柱的外接球的表面积,关键在于运用几何体的线线关系,线面关系
14、,求得外接球的球心的位置和球的半径,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设是数列的前项和，且，.（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，得.两边同除以得.可证得数列是等差数列.（2）由（1）得，.时，由分,得通项.【详解】（1）因为，所以.两边同除以得.因为，所以.因此数列是首项为-1，公差为-1的等差数列.（2）由（1）得，.当时，.于是.【点睛】本题考查数列中与的关系,构造
15、等差数列,求数列的通项的时候,注意验证时是否满足,属于中档题.18. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.（）将T表示为x的函数（）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=10
16、5的概率等于需求量落入100，110，求T的数学期望.【答案】（）（）0.7（）59400【解析】(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000当X130,150时，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 000
17、0.459400.19.如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论;(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.【详解】（1）因为，为的中点，所以，且.连结.因为，所以为等腰直
18、角三角形，且，.由知.由知平面.（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设，则.设平面的法向量为.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知圆：，动圆过定点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设斜率为1的直线交于，两点，交轴于点，轴交于，两点，若，求实数的值.【答案
19、】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系得出圆与圆相内切,曲线是以点，为焦点的椭圆,继而求得轨迹方程;（2）设：，则，与联立得.根据根与系数的关系和两点的距离公式可得出,由根的判别式得出的范围,可得出实数的值.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，点在圆内，故圆与圆相内切.设圆的半径为，则，从而.因为，所以曲线是以点，为焦点的椭圆.由，得，故的方程为.（2）设：，则，.与联立得.当时，即时，.所以.由（1）得，所以.等式可化为.当且时，.当时，可以取任意实数.综上，实数的值为.【点睛】本题考查椭圆的定义及几何性质,直线与圆锥曲线的综合问题,考查运算求解能力、方程思想,体现了数学运算
20、的核心素养,属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：在上存在唯一的，使得曲线在处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）在单调递增，在单调递增.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）得出函数定义域为，求导得,可得出函数的单调区间.（2）得出曲线在在处切线的方程为.设与曲线相切于点，则，可得,即当且仅当是的零点时，是曲线的切线,再由在单调递增，特殊点的函数值的正负可得证.【详解】（1）定义域为，.因此在单调递增，在单调递增.（2）曲线在在处切线方程为.设与曲线相切于点，则，消去得，即.于是当且仅当是的零点时，是曲线的切线.因为，在单调递增，所以在上存在唯一零点.所以在上存在唯
21、一的，使得曲线在处的切线也是曲线的切线.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性,切线,零点,关键在于构造合适的函数,对其求导,判断导函数的正负,得出所构造的函数的图象趋势,属于难度题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程（为常数）和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与交于，两点，且，求倾斜角的值【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程；（2）.【解析】【分析】（1）直接写出直线的参
22、数方程，将曲线的极坐标方程化为，再将代入上式即可得解；（2）把直线的参数方程代入中，得，由一元二次方程根与系数的关系得:，再根据直线的参数方程中参数的几何意义，得，求出的值即可.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），曲线： ，即，将代入上式得曲线的直角坐标方程为：；（2）把直线的参数方程代入中，得，设，对应的参数分别为，由一元二次方程根与系数的关系得:，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得，得或.又，所以.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其参数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.23.已知，.（1）证明：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）对不等式作差,分解因式,判断作差的结果有符号,可得证.（2）对所求的代数式分解因式得,再根据基本不等式可求得最小值.【详解】（1）.因为，所以，而，所以.于是.（2）因为，所以.因为，当且仅当等号成立，所以.故当时，取最小值2.【点睛】本题主要是考查了不等式的证明和运用基本不等式求最值,在证明不等式时,可以运用综合法也可以运用分析法，。一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明,属于中档题.
