1、赣州市20192020学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意解不等式，求得集合的范围，再求即可.【详解】，或，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及补集的概念，属于基础题.2.欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复
2、数位于复平面中的（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据欧拉公式，再判断，的正负即可.【详解】根据题意，所以，在第四象限，所以表示的复数位于复平面中的第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查复数对应的点所在象限，以及分析理解能力，属于基础题.3.已知函数，则（ ）A. B. 3C. 5D. 9【答案】C【解析】【分析】根据题意，时，得到的周期是3，利用函数的周期性得到，再代入时的解析式求解即可.【详解】根据题意，时，所以的周期为3，所以，时，所以.故选：C【点睛】本题考查分段函数和函数的周期性，利用周期性将的范围变换到有解析式的范围中求解，属于
3、基础题.4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，求出三个数的取值范围，比较大小即可.【详解】，所以. 故选：A【点睛】本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查学生的分析判断能力，属于基础题.5.在的中，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知作图，由向量的关系可推得，特别注意.【详解】根据题意，如图，又，所以.故选：D【点睛】本题主要考查向量的线性运算和表示，要求学生熟练掌握向量的加减运算，属于基础题.6.已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则的值为（
4、）A. B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】作图，根据抛物线上一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离，得到，再利用，得到，代入，求解即可.【详解】根据题意，如图，的焦点，准线：，过点作准线的垂线，并交准线于点，由相似，因为，所以，又，所以.故选：A【点睛】本题主要考查抛物线的定义，一般和抛物线相关的题，一定考虑抛物线上的点到到焦点的距离等于这一点到准线距离的转化，还考查数形结合和转化的思想，属于基础题.7.设，函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，平移后的图像与原图像重合，所以是最小正周期的整数
5、倍，的最小正周期，列出等式，求解即可.【详解】由题意，的最小正周期 ，的图像向右平移个单位与原图像重合，所以平移的是最小正周期的整数倍，所以，解得，因为，所以时，取最小值为6.故选：C【点睛】本题主要考查对三角函数图像的理解，三角函数的周期性，还考查学生对题目的分析理解能力，属于基础题.8.若将圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M，则在圆内随机放一粒豆子，落入M的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：作出圆，与正弦曲线的图像，在圆内的正弦曲线与轴围成的区域的面积为，而圆的面积为，由几何概型的求法可知落入的概率是考点：定积分求面积，几何概型9.某超市为了了解“微信支付”
6、与“支付宝支付”的情况（“微信支付”与“支付宝支付”统称为“移动支付”），对消费者在该超市在2019年1-6月的支付方式进行统计，得到如图所示的折线图，则下列判断正确的是（ ）这6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多这6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大这6个月中4月份平均每天使用“移动支付”的次数最多2月份平均每天使用“移动支付”比5月份平均每天使用“移动支付”的次数多A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据折线图，对逐项分析计算即可.【详解】由图像知，使用微信支付的总次数比使用支付宝支付的总次数多，故正确；图像中纵坐标是消
7、费次数，并不知道消费总额，故错误；由图像知，四月份移动支付消费次数更多，所以平均值也最大，故正确；二月份平均每天消费次数，五月份平均每天消费次数，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查折线图的应用以及对数据分析处理的能力，属于基础题.10.在正三棱柱中，是的中点，点在棱上运动，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两点间距离公式的几何意义找出点的位置，再将异面直线的夹角转化到同一个平面内，利用余弦定理求解即可.【详解】设，则，所以，这个式子表示的几何意义是平面上一点到和的距离和，当取得最小值时，即到和的距离和最小，此时在和的垂直平分
8、线上，所以，即当点为的中点时，取得最小值，过做的平行线，且交于点，过做的平行线，且交于点，如图，即异面直线与所成角，在中，,， 由余弦定理，故选：C【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，和求异面直线的夹角，通过平行关系把异面直线的夹角变成一个平面内的夹角是关键，还考查余弦定理以及学生的空间想象能力，属于中档题.11.美不胜收的“双勾函数”是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线，则其离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将双勾函数与标准双曲线的图像进行对比，渐近线与实轴的夹角是不变的，利用整理计算结果即可.【详解】令渐近线与实轴的夹角为，则，得，
9、所以，由，得，所以故选：B【点睛】本题主要考查学生对圆锥曲线图像的理解，同时考查转化与化归的数学思想和计算能力，属于中档题.12.若函数（其中为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】零点的个数转化为两个函数的交点问题，求出交点和后，再分别计算和的解得个数即可.【详解】根据题意，零点的个数等价于解的个数，且的解等价于的解，函数与有和两个公共点，在，上为增函数，在上为减函数，有两个解，且，有三个解，函数的零点共有5个.故选：D【点睛】本题主要考查零点问题的转化，一元二次函数和指数函数的图像性质，考查学生的转化和数形结合的思想，属于中档题
10、.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.二项式的展开式中常数项为_.【答案】-160【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可.【详解】由二项式定理可知， ，要求其中的常数项，令，.故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的通项公式的应用，属于基础题.14.已知实数满足不等式组，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】根据题意，画出不等式组所表示的可行域，了解的几何意义，求出的最小值，即可求出的最大值.【详解】根据题意，画出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示，要求得最大值，即求的最小值，所表示的几何意义是点到距离的倍，由图像知，点到的距离最小
11、，联立，解得点，代入，得到的最小值为，所以的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查利用线性规划求解最值的问题，要能够理解目标函数的几何意义，进而求解，同时考查学生数形结合的数学思想，属于基础题.15.过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为45，类比此性质：过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面体两部分的体积比为_.【答案】【解析】【分析】先分析清楚平面内的情况，再通过类比得到空间内的情况即可.【详解】平面内，正三角形外接圆圆心截得高的长度比为，所以分正三角形两部分面积比为，所以在空间内，正四面体外接圆截得高的长度比为，所以分正四面体两部分体积比为.
12、故答案为：【点睛】本题主要考查学生平面和空间的类比推理的能力，求解时要先分析题目中平面内情况，再通过类比得到空间的情况，属于中档题.16.在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则_.【答案】6【解析】【分析】根据题意先求出的三角函数值，在中，已知两边夹一角，可以利用余弦定理求出， 再求出的三角函数值，在中，已知和，先求出，再利用正弦定理求解即可.【详解】记，因为，所以，在中，由余弦定理，代入数据，解得，所以，在中，由正弦定理， ，即，解得，即.故答案为：6【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档
13、题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.数列满足，且，（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过对递推公式移项，再利用平方差公式，得到，利用等差数列通项公式得到的通项公式，再计算的通项公式即可；（2）先整理的通项公式，再利用裂项相消求和即可.【详解】（1），数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，（2），【点睛】本题主要考查由递推关系求解通项公式的方法，等差数列的通项公式和裂项相消法求和，还考查学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在平行四边形中，平面平面，且.（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的
14、结论；（2）求二面角余弦值.【答案】（1）存在点，点为的中点，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）容易判断出点为的中点，根据中位线定理得到，再根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据题目给出的数据，找出两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值.【详解】（1）存在点，点为的中点证明：当点为的中点时，连结交于，平行四边形，为的中点，连结，则，平面，平面，平面.（2），又平面平面，平面，平面，以为轴，为轴，为轴，如图建系：则，为平面一个法向量， 令平面的一个法向量为，取，平面的一个法向量为，令二面角为，由题意可知为锐角，则.【点睛】本题主要考查线面平行的证明，二面角余弦
15、值的求法，还考查学生对空间中线线、线面、面面间的位置关系以及计算能力，属于中档题.19.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上的点，是椭圆上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.【答案】（1）；（2）定值，证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率，在椭圆上以及，列方程组求解，的值，可得椭圆标准方程；（2）根据，得到直线与直线斜率的关系，设和的直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，可以得到点和点横坐标和纵坐标的关系，再利用斜率的定义表示出，化简即可.【详解】（1）根据题意，解得，椭圆的方程为；（2），则直线与直线的斜率之和为0，令
16、，令直线的斜率为，则直线的斜率为，则的方程为， 则，同理：，则，又，则（定值）【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆中的定值问题，解决定值问题，要充分理解题意，直线联立椭圆方程，利用韦达定理化简计算，属于中档题.20.有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第
17、二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束.记甲乙累计得分分别为.（1）一轮游戏后，求的概率；（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望，要使得甲的数学期望，求的最小值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由题知，当时情况比较多，直接求解比较困难，所以先求出，再利用求解即可；（2）求出每一次抛币甲得分的期望，计算的最小正整数即可；或者列出甲所有得分的可能性，列分布列，计算的最小正整数.【详解】抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为，（1）由游戏规则可知：且每次抛币得分为1分的概率均为，则，则；（2）记分别表示甲乙第次抛币的得分，由题
18、意，甲第一次得分为，甲第二次得分分布列：123甲第三次得分分布列：12345，的最小值为2法二：可能取值为，的分布列为，的最小值为2.【点睛】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列和期望，还考查正难则反的思想以及学生的分析理解能力，属于中档题.21.已知函数（为自然对数的底数）在点的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）计算导数，根据，也在切线上，列出方程组求解；（2）构造函数，判断的单调性，求出的最小值，而的值无法直接计算出来，所以根据零点存在定理，确定的范围，再根据，得到一个等式转化的关系，从而确定的
19、范围，最后确定整数的最大值.【详解】（1）令，则，得：，由题得：（2）根据题意，要证不等式对于任意恒成立，即证时，的最小值大于，令，记，当时，；当时，故即在上单调递减，在上单调递增，又，且，故存在唯一，使，故当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增，所以一方面：另一方面：由，即，得由得：，进而，所以 ，又因为是整数，所以，即.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数的单调性以及利用导数证明恒成立的问题，难点在于构造函数确定最值的范围，考查学生转化与分析能力，属于难题.请考生在第2223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（
20、为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）若点与点分别为曲线动点，求最小值，并求此时的点坐标.【答案】（1）的普通方程为，的普通方程为（2），【解析】【分析】（1）利用消参法，消去参数，可把曲线的参数方程化为普通方程；通过极坐标和直角坐标的互化公式，可将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）点是曲线上动点，可先求出的参数方程，则可表示出点坐标，运用点到直线距离公式求到直线的距离，再运用辅助角公式化简即可得出答案.【详解】（1）曲线的普通方程为曲线的极坐标方程为，即曲线普通方程为，即（2）设点则点到直线的距离为当，即时取最小值，
21、此时点坐标为.【点睛】本题主要考查利用消去参数的方法将参数方程化为普通方程，利用关系式等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化，利用点到直线距离求距离公式和三角恒等变换的辅助角公式求距离最值问题.23.已知函数.（1）解不等式； （2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式，分类讨论的取值范围，解不等式即可得解集；（2）根据绝对值不等式的意义，求得的最小值，即可得的值，再结合基本不等式即可求出的最小值.【详解】解：（1）或或或或不等式的解集为（2）由可知当且仅当即当时的最小值为8.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，同时巧妙运用“整体代替1”的方法和基本不等式的运用，属于中档题.
