1、2019年下期高三级质检试题理科数学一、选择题1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别解不等式和求定义域，再求两个集合的并集即可.【详解】对集合A，求解不等式，可得对集合B，求函数的定义域可得，故.故选：D.【点睛】本题考查集合的并运算，涉及二次不等式的求解，函数定义域的求解，属综合基础题.2.复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算，求得复数，然后找出其在复平面内对应的点即可.【详解】因为，故可得：故其在复平面对应的点的坐标为容易知，其在第四象限.故选：
2、D.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数在复平面内对应的点的求解，属基础题.3.下列命题中真命题的是（ ）A. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则B. “”是“”的充要条件C. 若为假命题，则均为假命题D. 对于实数，或，则是的必要不充分条件【答案】A【解析】【分析】A. 根据四种命题的结构形式及转化来判断.B.利用特殊值法，当 时，逆命题不成立.C. 若为假命题，由结论“一假则假”来判断.D用等价命题来判断.【详解】命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，故A正确；若，则，可得，反之，不成立，故B错误；若为假命题，则，中至少有一个为假命题，故C错误；对于实数，：，：或，由且，可得，即可得
3、，反之由推不到，则是的充分不必要条件，故D错误.故选：A【点睛】本题主要考查命题的转化及关系以及逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，成等差数列，则( )A. 3B. 9C. 10D. 13【答案】C【解析】【分析】设的公比为，由成等差数列，可得，解得，再利用求和公式即可得结果.【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，满足成等差数列，解得，则，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，
4、解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 抛物线的焦点为故选C6.函数的大致图象是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，可排除D选项；当时，当时，即，可排除C选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长
5、度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为， 所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.8.镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）A. B. C.
6、D. 【答案】C【解析】【分析】首先明确两类灯球的个数，再利用古典概型及对立事件求出结果【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为.故选C【点睛】本题以古文化为背景，考查了古典概型公式，考查了对立事件的概念，考查了学生逻辑推理能力及运算能力，属于基础题9.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】b和c的比较，将，转化比较， a和c的比较找中间数， 分别作差比较.，最后得到结论.【详解】因为，又因为，所以.又因为，因，故，所以即. 又，因，故，所以.即所以故.故选：B.【点睛】本题主要考查了对数的转化及比较大
7、小，还考查了转化化归运算比较的能力，属于中档题.10.函数是奇函数，且在内是增函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】易判断f（x）在（-，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式【详解】f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+）上是增函数，f（x）在（，0）上也是增函数，由f（-3）0，得f（3）f（3）0，即f（3）0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得 解得0x3或3x0，xf（x）0的解集为：（3，0）（0，3），故选D【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是
8、解题关键11.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则h（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且底面是等腰直角三角形，三棱锥一条侧棱
9、与底面垂直，画出其直观图，将其补成直棱柱，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h.【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：正视图和俯视图都是等腰直角三角形，知棱和底面垂直，可以将该棱锥补成直三棱柱，如图所示：可知其球心在上下底面外心连线的中点处，因为底面为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，所以GH的中点即为其外接球的球心，因为该几何体的外接球体积为，所以外接球的体积,，所以有，解得故选C【点睛】本题考查了由三视图求几何体外接球的问题，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状，根据有一条侧棱和底面垂直，将棱锥补成
10、直棱柱来求解，根据题中所给的体积，求得外接球的半径，构造直角三角形，从而求得棱锥的高.二、填空题13.已知向量，若，则_【答案】【解析】试题分析：由于，所以，解得考点：向量共线坐标表示的应用14.二项式的展开式中常数项为_【答案】【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第项为，令，则，考点：二项式定理15.设是数列的前项和，且，则_【答案】【解析】【分析】化简得，即是等比数列，然后求出的值【详解】，是首项为1，公比为2的等比数列，则，.【点睛】本题考查了求数列的前项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果16.在第二届乌镇互联网大会中，
11、为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有_（填具体数字）【答案】150【解析】【分析】根据题意，先确定两种分配方案，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2，然后每一种确定分组方法，最后这两种分别全排列再求和.【详解】根据题意，分2步进行分析：五个参会国要在、三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有种分组方法；当按照1、2、2来分时共有种分组方法；则一共有种分组方法；将分
12、好的三组对应三家酒店，有种对应方法；则安排方法共有种.【点睛】本题主要考查了组合中的分组分配问题，还考查了分类，分步的逻辑思维能力，属于中档题.三、解答题17.在中，、分别是角、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，由余弦定理可知，又，.（2）由正弦定理可知，即，又为锐角三角形，即，则，所以，综上的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦
13、定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：学校ABCD抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值假设每名高中学
14、生是否参与“创城”活动是相互独立的若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望【答案】（）；（）；（）详见解析.【解析】【分析】由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”，则所求概率为：，由此能求出结果将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随
15、机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数，可求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望【详解】解：该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与创城活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与创城活动”，则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数，的分布列为：X0123P，【点睛】本题考查频数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、分层抽样
16、的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.已知四棱锥中，底面为菱形，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.（）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；（）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.【答案】（）见解析（）. 【解析】【分析】（）推导出AEPA，AEAD，从而AE平面PAD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF平面PAD（）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角CAFE的余弦值【详解】（）连接底面为菱形，是正三角形，是中点，又，平面，平面，又 平面，又平面平面平面.（）由（）得，两两垂直，
17、以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面，就是与平面所成的角，在中，即，设，则，得，又，设，则，所以，从而，则，所以，设是平面一个法向量，则 取，得又平面，是平面的一个法向量， 二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，F2是椭圆C的焦点，的周长是6（）求椭圆C标准方程；（）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标【答
18、案】（）；（）详见解析【解析】【分析】（）由题得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程；（）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，进一步求出直线的方程为，所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.【详解】解：（）由于是椭圆的上顶点，由题意得，又椭圆离心率为，即，解得，又，所以椭圆的标准方程（）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为，联立，得，由题意，设，则，因为，所以是的中点即，得， 又，l的斜率为，直线的方程为 把代入可得：所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过.综上所述直线恒过点.【点睛】本
19、题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数（1）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点；（2）当函数有两个极值点且时，总有成立，求的取值范围【答案】（），为极大值点（）.【解析】【分析】（）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（）求出函数极值点，问题转化为2lnx10，根据0x11时，0.1x12时，0即h（x）2lnx（0x2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可【详解】（），则从而，所以时，为增函数；时，为减函数，所以
20、为极大值点.（）函数的定义域为，有两个极值点，则在上有两个不等的正实根，所以，由可得从而问题转化为在，且时成立.即证成立.即证 即证亦即证 . 令则1)当时，则在上为增函数且，式在上不成立.2)当时，若，即时，所以在上为减函数且，、在区间及上同号，故式成立.若，即时，的对称轴，令，则时，不合题意.综上可知：满足题意.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）
21、求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，且，由M为的中点，得x=，y=，整理得，化为极坐标即可；（2）把直线：化成极坐标方程为，设，因为，得，即， 联立，得，代入即可.【详解】（1）设，.且点，由点为的中点，所以整理得.即，化为极坐标方程为.（2）设直线：的极坐标方程为.设，因为，所以，即.联立整理得.则解得.所以，则.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题.23.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】(1)
22、 当时，求出分段函数，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；(2)当时，化简分段函数得 可以得到函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数的最小值.【详解】（1）当时，即，解法一：作函数的图象，它与直线的交点为，所以，的解集的解集为 解法2：原不等式等价于 或 或， 解得：或无解或， 所以，的解集为（2）则 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得最小值， 因为对，恒成立，所以又因为，所以，解得 （不合题意）所以的最小值为1【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.
