1、小学奥数专题之体育比赛中的推理问题市里举行足球联赛，有市里举行足球联赛，有6 6 个区参加比赛，每个区出两支代表队。每支代个区参加比赛，每个区出两支代表队。每支代表队都要与其他代表队比赛一场，那么每支代表队需要进行几场比赛？表队都要与其他代表队比赛一场，那么每支代表队需要进行几场比赛？一共要举行多少场比赛？一共要举行多少场比赛？例题例题1 1总结：N支队伍进行单循环比赛，比赛总场次为N(N1)2，也可以用组合数 来计算。1.一共有多少支队伍？2.如果有N支队伍，那么每支队伍要比赛几场？3.这样计算的总场次，有没有重复计算？队伍数量：6212支每支队伍比赛11场1211132场每场比赛计算了两次
2、总场次为：132266场2NC若干支球队进行篮球比赛，每两支队伍之间需要若干支球队进行篮球比赛，每两支队伍之间需要比比赛一场，一共比了赛一场，一共比了28 28 场，那么有多少支球队参加了篮球比赛？场，那么有多少支球队参加了篮球比赛？练习练习1 1不妨设有N支队伍那么总场次为：N(N1)228N(N1)567856，N8一共有8支队伍四个人进行围棋单循环赛，规定胜者得四个人进行围棋单循环赛，规定胜者得2 2 分，负者得分，负者得0 0 分，和棋双方各分，和棋双方各得得1 1 分。比赛结束后，四个人的得分加起来一定是多少分？分。比赛结束后，四个人的得分加起来一定是多少分？例题例题2 2总结：计算
3、总得分的题目，每场比赛的总得分通常和胜负无关，计算总场次即可。1.一共进行多少场比赛？2.一场比赛如果分出胜负，产生的总得分是几分？如果打成平局，产生的总得分是几分？总场次：4326场分出胜负：202分打成平局：112分每场比赛无论结果如何，产生的总得分都是2分。6场比赛的总得分：6212分练习练习2 2八人进行投篮单循环赛，规定胜者得八人进行投篮单循环赛，规定胜者得3 3 分，负者得分，负者得1 1 分，平局双方各得分，平局双方各得2 2 分。比赛结束后，八个人的得分加起来一定是多少分？分。比赛结束后，八个人的得分加起来一定是多少分？总场次：87228场分出胜负：314分打成平局：224分每
4、场比赛无论结果如何，产生的总得分都是4分。28场比赛的总得分：284112分例题例题3 3A、B、C、D、E 五名同学一起进行象棋比赛，每两人都要比赛一盘。五名同学一起进行象棋比赛，每两人都要比赛一盘。到现在为止，到现在为止，A 同学已经赛了同学已经赛了4 盘，盘，B 同学赛了同学赛了3 盘，盘，C 同学赛了同学赛了2 盘，盘，D 同学赛了同学赛了1 盘。请问：此时盘。请问：此时E 同学赛了几盘？同学赛了几盘？总结：分析比赛过程中各人已经赛过的场次时，通常使用画图的方法。1.比赛没有完全结束，因此计算总场次是没有意义的。2.不妨从比赛最多和最少的人入手考虑。3.用画图的方法辅助进行分析AEBC
5、D此时E同学赛了2盘练习练习3 3甲、乙、丙、丁四队进行象棋友谊赛，每两队都要甲、乙、丙、丁四队进行象棋友谊赛，每两队都要比比赛一场。到现在赛一场。到现在为止，甲队赛了为止，甲队赛了3 场，乙队赛了场，乙队赛了1 场，丙队赛了场，丙队赛了2 场，那么丁队赛了几场，那么丁队赛了几场？场？甲丁乙丙此时丁队赛了2场例题例题4 4班上四名同学进行围棋比赛，每两名同学都要比赛一局。每局胜者得班上四名同学进行围棋比赛，每两名同学都要比赛一局。每局胜者得2 2 分，平者各得分，平者各得1 1 分，负者得分，负者得0 0 分。比赛结束后，甲、乙、丙三名同学的分。比赛结束后，甲、乙、丙三名同学的得分分别为得分分
6、别为3 3 分、分、4 4 分、分、4 4 分，且甲同学有胜局，乙同学有平局，丙同分，且甲同学有胜局，乙同学有平局，丙同学无平局，那么丁同学每场的胜负情况如何？学无平局，那么丁同学每场的胜负情况如何？总结：考虑每个队之间的胜负关系时，通常通过列表来辅助分析。1.每人比赛3场，可以计算出总得分从而算出丁的得分。2.总得分是3分，那么总的胜负情况有哪些可能？如果总得分是4分，那么总的胜负情况有哪些可能？3.列表进行分析总场次：4326场 总得分：6212分丁：123441分，1平2负3分：1胜1平1负或3平甲：1胜1平1负4分：2胜1负或1胜2平乙：1胜2平丙：2胜1负丁负甲和丙，平乙练习练习4
7、4A A、B B、C C、D D 四人进行围棋比赛，每两人之间都要比赛一场。每局胜者四人进行围棋比赛，每两人之间都要比赛一场。每局胜者得得2 2 分，平者各得分，平者各得1 1 分，负者得分，负者得0 0 分。比赛结束后，分。比赛结束后，A A 的得分是的得分是5 5 分，分，B B 的得分是的得分是1 1 分，分，C C 的得分是的得分是3 3 分且有胜局，分且有胜局，D D 没有胜局。请问：全部比没有胜局。请问：全部比赛中一共有多少场平局？赛中一共有多少场平局？总场次：4326场 总得分：6212分D：125133分3分：1胜1平1负或3平D：3平C：1胜1平1负5分：2胜1平，A：2胜1
8、平1分：1平2负，B：1平2负平局：(3+1+1+1)23场例题例题5 5五支足球队进行单循环比赛，即每两支队之间都要五支足球队进行单循环比赛，即每两支队之间都要比比赛一场。每场比赛一场。每场比赛胜者得赛胜者得2 2 分，负者得分，负者得0 0 分，打平两队各得分，打平两队各得1 1 分。比赛结果各队得分互分。比赛结果各队得分互不相同。已知：不相同。已知：（1 1）第）第1 1 名的队没有平过；名的队没有平过；（2 2）第）第2 2 名的队没有负过；名的队没有负过；（3 3）第）第4 4 名的队没有胜过。名的队没有胜过。请问：全部比赛共打平了多少场？请问：全部比赛共打平了多少场？第1名没平过，
9、第2名没输过，所以第1名输给第2名。第1名至多3胜1负积6分，第2名至少1胜3平积5分。总场次为10场，总得分为20分，第3、4、5名得分之和为9分。各队得分互不相同，因此第3、4、5名分别得4、3、2分。第4名没胜过，因此和第3名与第5名打平，第3名胜了第5名。全部比赛共打平了5场。练习练习5 5四名同学参加区围棋比赛，每两名同学都要比赛一局，规定胜一局得四名同学参加区围棋比赛，每两名同学都要比赛一局，规定胜一局得2 2 分，平一局得分，平一局得1 1 分，负一局得分，负一局得0 0 分。如果每名同学最后得的总分都不相分。如果每名同学最后得的总分都不相同，且没有人全胜，那么最多有几局平局？同
10、，且没有人全胜，那么最多有几局平局？总场次为6场，总得分为12分。没有人全胜，则选手可能的得分为0、1、2、3、4、5分。分数各不相同，情况只可能为5+4+3+0或5+4+2+1。如果是5+4+3+0，则5分：2胜1平；4分：1胜2平或2胜1负；3分：1胜1平1负或3平；0分：3负。最多平2场。如果是5+4+2+1，则5分：2胜1平；4分：1胜2平或2胜1负；2分：1胜2负或2平1负；1分：1平2负。最多平3场。因此最多平3场。例题例题6 6浙江队、北京队、上海队进行足球比赛，每队与另外两队各浙江队、北京队、上海队进行足球比赛，每队与另外两队各比比赛一场。赛一场。按规则：胜一场得按规则：胜一场
11、得2 2 分，平一场得分，平一场得1 1 分，负一场得分，负一场得0 0 分。已知：分。已知：（1 1）北京队总进球数是）北京队总进球数是0 0，并且有一场打了平局；，并且有一场打了平局；（2 2）上海队总进球数是）上海队总进球数是1 1，总失球数是，总失球数是2 2，并且该队恰好胜了一场。，并且该队恰好胜了一场。请问：浙江队得了多少分？请问：浙江队得了多少分？北京队总进球数为0，且平了一场，因此有一场是0:0平，另一场是0：X负。上海队进1球失2球，且胜了1场，因此有一场1：0胜，另一场0:2负。因此上海1:0胜北京，0:2负浙江，北京与浙江0：0平。浙江1胜1平，得了3分。练习练习6 6有
12、有A A、B B、C C 三支足球队，每两支队都比赛一场。比赛结果是：三支足球队，每两支队都比赛一场。比赛结果是：A A 队有队有一场踢平，共进球一场踢平，共进球2 2 个，失球个，失球8 8 个；个；B B 队两战两胜，共失球队两战两胜，共失球2 2 个；个；C C 队共队共进球进球4 4 个，失球个，失球5 5 个。请写出每场比赛两队的比分。个。请写出每场比赛两队的比分。A队平了一场，B队两战两胜，因此A与C打平。A队共进球2个，因此A与C至多是2：2。C队共进球4个，B队共失球2个，那么C队至少进了A队2球，至少是2：2。因此A队与C队恰好是2:2。那么A与B的比分是0:6，C与B的比分
13、是2:3。例题例题7 7A A、B B、C C、D D、E E 五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知：五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知：（1 1）每门功课五个人的分数恰巧分别为）每门功课五个人的分数恰巧分别为1 1、2 2、3 3、4 4、5 5。（2 2）五个人的总分互不相同，且按从高到低的顺序排列是：）五个人的总分互不相同，且按从高到低的顺序排列是：A A、B B、C C、D D、E E。（3 3）C C 有四门功课的分数相同。有四门功课的分数相同。请把下图补充完整。请把下图补充完整。55455A显然是5+5+5+5+4总得分：15575分BCDE总分：752451分E至少得：3+
14、5+1+1+111分51=11+12+13+15C显然是4个3分与1个1分D就只能是4+2+2+2+2B可通过排除法填出4214413333222211115131211课后作业有有8 支队之间进行单循环比赛，那么每支队都要比几场？支队之间进行单循环比赛，那么每支队都要比几场？817场作业作业1:甲、乙、丙、丁、戊、己甲、乙、丙、丁、戊、己6 名选手进行单循环比赛，若甲赛了名选手进行单循环比赛，若甲赛了5 场，丙场，丙赛了赛了1 场，那么丙和谁比赛了？场，那么丙和谁比赛了？甲赛了5场，即他和每个人都赛了一场，那么丙赛的唯一1场肯定是和甲。作业作业2:有若干人进行围棋比赛，规定胜者得有若干人进行
15、围棋比赛，规定胜者得2 2 分，负者得分，负者得0 0 分，平局双方各得分，平局双方各得1 1 分。发现到目前为止，所有人的得分总和为分。发现到目前为止，所有人的得分总和为20 20 分，那么目前为止一共分，那么目前为止一共比了多少场？比了多少场？每场不论分出胜负还是打成平局，总得分都是2分得分总和为20分比赛场数为：20210场作业作业3:四支足球队进行单循环比赛，规定胜一场得四支足球队进行单循环比赛，规定胜一场得2 2 分，平一场得分，平一场得1 1 分，负一分，负一场得场得0 0 分。如果甲队没有平局，乙队没有输过，那么甲、乙两队之间的分。如果甲队没有平局，乙队没有输过，那么甲、乙两队之
16、间的胜负关系如何？胜负关系如何？一共三种情况：甲胜乙 甲平乙 甲负乙甲没有平局，排除甲平乙乙没有输过，排除甲胜乙因此只能是甲负乙作业作业4:甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局。甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局。每局胜者得每局胜者得2 2 分，负者得分，负者得0 0 分，没有平局。比赛结束后，统计发现甲、分，没有平局。比赛结束后，统计发现甲、乙、丙、丁四名同学的得分分别为乙、丙、丁四名同学的得分分别为8 8 分、分、4 4 分、分、0 0 分、分、2 2 分，那么戊同学分，那么戊同学得了多少分？得了多少分？总场次：54210场 总得分：102
17、20分戊：208426分作业作业5:A A，B B，C C 三支足球队进行单循环比赛。最后发现三支足球队进行单循环比赛。最后发现A A 队一共进了队一共进了4 4 球，丢球，丢了了1 1 个球，个球，B B队一共进了队一共进了2 2 个球，丢了个球，丢了3 3 个球，如果个球，如果C C 队就进了队就进了1 1 个球，个球，那么它一共丢了多少个球？那么它一共丢了多少个球？总进球总失球总进球：4217个C队失球：7133个作业作业6:学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场，学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场，一共进行了一共进行了36 场比赛，那么一共有
18、多少个参赛选手？场比赛，那么一共有多少个参赛选手？不妨设有N个参赛选手那么总场次为：N(N1)236N(N1)728972，N9一共有9个参赛选手作业作业7:五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2 2 分，负者得分，负者得0 0 分，和棋双方各分，和棋双方各得得1 1 分。比赛结束后，五个人的得分加起来一定是多少分？分。比赛结束后，五个人的得分加起来一定是多少分？总场次：54210场分出胜负：202分打成平局：112分每场比赛无论结果如何，产生的总得分都是2分。10场比赛的总得分：10220分作业作业8:A、B、C、D、E、F 六人赛棋，采用单循环赛制。现在知道
19、六人赛棋，采用单循环赛制。现在知道A、B、C、D、E 五人已经分别赛过五人已经分别赛过5、4、3、2、1 盘，这时盘，这时F 已赛过多少盘？已赛过多少盘？AEBCD此时F赛了3盘F作业作业9:从从A A，B B，C C 三个班中各出三个班中各出3 3 名学生参加长跑比赛。规定第一名得名学生参加长跑比赛。规定第一名得9 9 分，分，第二名得第二名得8 8 分，第三名得分，第三名得7 7 分，分，第八名得，第八名得2 2 分，第九名得分，第九名得1 1 分。比赛分。比赛结果是三个班总分相等，而且结果是三个班总分相等，而且9 9 名学生没有名次并列的，也没有同一个名学生没有名次并列的，也没有同一个班
20、的学生获得相连名次的。如果第一名是班的学生获得相连名次的。如果第一名是C C 班的，第二名是班的，第二名是B B 班的，那班的，那么最后一名是哪个班的？么最后一名是哪个班的？总得分为：987145分每个班得分为：45315分C：9+5+1或9+4+2B：8+6+1或8+5+2分析可得C班只能是9+4+2那么B班为8+6+1A班为7+5+3所以最后一名是B班的作业作业10:甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2 分，平局各得分，平局各得1 分，输者得分，输者得0 分。结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最分。结果甲第一
21、，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得了多少分？后一名，那么乙得了多少分？总场次：4326场总得分：6212分若乙丙得4分或4分以上，那么甲至多4分，矛盾如果乙丙得2分或2分以下，那么丁至多1分，甲至少7分，3场比赛最多可得6分，矛盾因此乙丙都得了3分作业作业11:一场足球比赛，有一场足球比赛，有A A、B B、C C、D D 四支球队参加，每两队比赛一场。按规四支球队参加，每两队比赛一场。按规则，胜一场得则，胜一场得2 2 分，平一场得分，平一场得1 1 分，负一场得分，负一场得0 0 分。比赛结果，分。比赛结果，B B 队得队得5 5 分，分，C C 队得队得3 3 分，分，A A 队得队
22、得1 1 分，所有场次共进了分，所有场次共进了9 9 个球，其中个球，其中B B 队进球最队进球最多，共进了多，共进了4 4 个球；个球；C C 队共失了队共失了3 3个球；个球；D D 队一个球也没有进。队一个球也没有进。A A 队与队与C C 队的得比分是队的得比分是2 2：3 3，求，求A A 队与队与B B 队的比分。队的比分。总场次：4326场，总得分：6212分D队得分：125313分B队5分：2胜1平，C、D队3分：1胜1平1负或3平C队赢了A队，因此C队1胜1平1负D队没进球，因此D队3平且3局都是0:0C队胜了A队平了D队，因此输给B队，一共失了3个球，且与A队的比赛是3:2
23、胜，因此与B队是0：1负B队一共进了4个球，因此与A队的比赛进了3球，所有比赛一共进了9球，那么A队在与B队的比赛中没进球，比分为0:3作业作业12:10 10 个人进行乒乓球单循环赛，规定胜者得个人进行乒乓球单循环赛，规定胜者得2 2 分，负者得分，负者得1 1 分，无平局。分，无平局。其中有两人并列第一，两人并列第三，两人并列第五，以后无并列情其中有两人并列第一，两人并列第三，两人并列第五，以后无并列情况。请计算出每个人的得分。况。请计算出每个人的得分。总场次：109245场，总得分：453135分有两人并列第一，这两人至多赢8场，最多积17分。最后一名至少积9分。如果10个人得分为：17
24、、17、16、16、15、15、12、11、10、9，总分为138分，多了3分。可以将16、16、15、15各减1分，12加1分也可以将17、17、16、16、15、15各减1分，12、11、10各加1分因此得分情况可能为：17、17、15、15、14、14、13、11、10、9或：16、16、15、15、14、14、13、12、11、9作业作业13:一场象棋比赛共有一场象棋比赛共有10 10 名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三队，每名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三队，每个选手都与其余个选手都与其余9 9 名选手各赛名选手各赛1 1 盘，每盘棋的胜者得盘，每盘棋的胜者得1 1 分，负者得分，负者得0 0 分，分，平局双方各得平局双方各得0.5 0.5 分。结果甲队选手平均得分。结果甲队选手平均得4.5 4.5 分，乙队选手平均得分，乙队选手平均得3.6 3.6 分，丙队选手平均得分，丙队选手平均得9 9 分。请问：甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数分。请问：甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各是多少？各是多少？每名选手的得分都是0.5的整数倍，因此每队的总分应该也为0.5的整数倍因此乙队人数是5的倍数，只能是5人得9分意味着全胜，这样的人最多只有1个，因此丙队只有1人那么甲队人数为10514人。作业作业14:
