1、皖东县中联盟20192020学年第一学期高三期末联考文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用指数函数的单调性求出集合B，并求出集合A，利用集合的交运算即可求解.【详解】集合，则.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.2.已知是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.3.若，则（
2、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦即可求解.【详解】因为，所以为第二或第四象限的角；若为第二象限的角，则，；若为第四象限的角，则，.故.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.4.四书五经记载了我国古代思想文化发展史上政治、军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的学生为了了解现在高一年级1040名学生（其中女生480名）对四书五经的研读情况，进行了一次问卷调查.用分层抽样的方法从高一年级学生中抽去了一
3、个容量为的样本，已知抽到男生70人，则样本容量为（ ）A. 60B. 90C. 130D. 150【答案】C【解析】【分析】先计算出高一年级男生的总人数，根据每个个体被抽到的机会均等可得，求解即可.【详解】高一年级男生的总人数，由每个个体抽到的机会均等可得，解得，故选：C【点睛】本题考查了随机抽样的特征，属于基础题.5.在内部任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用几何概型的概率计算公式即可求解.【详解】设是的中位线，与交于点，与交于点，当点在内时，的面积与的面积的比值大于，故所求的概率.故选：B【点睛】本题考查了几何概型（面积
4、型）的概率计算公式，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A. 2B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，当时满足条件，退出循环，输出为3.【详解】由题意模拟执行程序时，第一次循环，此时不满足；第二次循环，此时不满足；第三次循环，此时不满足；第四次循环，此时满足；故选：D【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.7.在等比数列中，前三项和，则公比（ ）A. 1或B. 1或C. 1或D. 1或【答案】C【解析】【分析】分类当符合题意，当时，可得和的方程组，解方程组即可.【详解】当时，各项均为，可
5、得，符合题意；当时，解得，综上可得公比的值为：1或故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论的思想，属于基础题.8.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性可得，再利用指数函数和幂函数的单调性知，从而比较出大小.【详解】；根据指数函数和幂函数的单调性知，故.故选：C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.9.已知圆：上任意一点，设点到直线：的距离为，当取最大值时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，直线过定点，圆的圆心，当时，圆心到直线的距离最大，求出直线的斜率
6、，从而可求出直线方程.【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径；当时，圆心到直线的距离最大，即直线方程为.故选：C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题.10.水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意求出，再由三角函数的
7、定义即可求解.【详解】由，解得， 设圆的圆心为，由，则， 由正弦函数的定义可得经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为,故选：A【点睛】本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题.11.如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，可得，由即可求出，进而求出比值.【详解】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，所以，又，则
8、，球的半径，所以.故选：B【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.12.已知函数（），若不等式仅有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意求出，令可得，讨论的取值范围，求出函数的单调区间，由题意有两个整数解为1，2，由，可得且，解不等式组即可.【详解】已知，则，即，当时，单调递减，时，单调递增，且，则有两个整数解为1，2，所以且，解得，故选：C.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，满足，若，则与的夹角为_.【答案】【
9、解析】【分析】由已知可得，利用向量的数量积即可求解.详解】由已知知，则，所以，故夹角为.故答案为：【点睛】本题考查了向量的数量积，需掌握向量垂直数量积等于零，属于基础题.14.一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐个馒头，小和尚每餐每人吃个馒头.若大和尚的人数用表示，则_.【答案】【解析】【分析】设大和尚有人，则，解方程即可.【详解】设大和尚有人，则，即，当时，与生活实际不符，所以，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了列方程求函数解析式，属于基础题.15.已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分
10、析】利用双曲线的定义，从而可得，利用点到直线的距离公式可得，由题意可得，进而求出离心率.【详解】由双曲线定义知，则，所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，此时最小，且最小值为，易求焦点到渐近线的距离为，即，所以，即，可求离心率.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.16.在中，角，对边分别为，满足，若，则的面积的最大值是_.【答案】【解析】分析】由正弦定理可得，故，再利用余弦定理可得，再利用辅助角公式即可求解.【详解】由正弦定理得，可得， 即，；由余弦定理知，则；，即，可得 解得，即的面积的最大值是2.故答案为：【点睛】本题考查了正、余弦定理的
11、应用、三角形的面积公式，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将式子化为，然后利用两角和的正弦公式的逆应用化简即可求解.（2）利用余弦定理即可求解.【详解】解：（1）因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.又，所以.（2）因为，由，即，解得，或（舍）.所以.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理，属于基础题.18.等差数列中，公差，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）
12、（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列、等比中项的通项公式即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】解：（1）由题设成等比数列知：即：，又，解得或（舍去），故的通项公式为；（2）由（1）知，则，则数列的前项和.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式、等比中项以及裂项求和法，属于基础题.19.为了鼓励职员工作热情，某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分；年终按照职员的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示：（1）根据职员的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数；（2）由于职员的业绩高，被公司评为年度最佳职员，在公司年会上通过
13、抽奖形式领取奖金.公司准备了六张卡片，其中一张卡片上标注奖金为6千元，两张卡片的奖金为4千元，另外三张的奖金为2千元.规则是：获奖职员需要从六张卡片中随机抽出两张，这两张卡片上的金额数之和作为奖金数.求职员获得奖金6千元的概率；并说明获得奖金6千元和8千元哪个可能性较大？【答案】（1）中位数是；平均数是（2）职员获得奖金6千元比8千元的可能性大，详见解析【解析】【分析】（1）利用茎叶图中数据即可求解.（2）设6千元的卡片为；两张4千元的卡片分别为，；三张2千元的卡片分别为，；列出随机抽取两张的基本事件，再列举出金额之和为6千元的基本事件以及金额之和为8千元的基本事件，根据古典概型的概率计算公式
14、即可求解.【详解】解：（1）由茎叶图可知，所求中位数是；平均数是；（2）设6千元的卡片为；两张4千元的卡片分别为，；三张2千元的卡片分别为，；则“从六张卡片中随机抽出两张”包含的基本事件包括：，共15个；其中金额之和为6千元的有，共6个；所以，职员获得奖金6千元的概率.而获得金额之和为8千元的有，共4个，则职员获得奖金8千元的概率.因为，所以职员获得奖金6千元比8千元的可能性大.【点睛】本题考查了由茎叶图求数据特征、古典概型的概率计算公式，解题的关键是列出基本事件，属于基础题.20.如图，多面体中，平面平面，四边形为平行四边形.（1）证明：；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析
15、（2）【解析】【分析】（1）首先利用面面垂直的性质定理证出，结合，利用线面垂直的判定定理证出平面，从而证出.（2）已知，由（1）可得，；连接，利用等体积法即可求解.【详解】解：（1）因为平面平面，交线为，又，所以平面，又，则平面，平面，所以，；（2）已知，则，；连接，如图：由等体积法求点到平面的距离，即，在平行四边形中，的面积等于的面积;顶点到平面的距离为;又的面积为；设点到平面的距离为，由，得：，所以，即点到平面的距离为1.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、棱锥的体积公式以及等体积法求点到面的距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.21.已知椭圆：（）的一个焦点与
16、抛物线：的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可写出椭圆的标准方程. （2）当直线不存在斜率时，可求出四点，可验证；当直线存在斜率时，设直线方程为，将直线分别与椭圆方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出、，根据解方程即可.【详解】解：（1）由已知椭圆的离心率，得，则，故椭圆的标准方程为（2）当直线不存在斜率时，可求出，所以，不满足条件；当直线存在斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程得：，恒成立，设，则将直线：，代入抛物线得，设，则，又因为，由
17、得：，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.22.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】【分析】（1）求出，讨论的取值范围判断的正负即可求解. （2）根据题意不等式化为恒成立，然后采用分离参数法化为，令，利用导数求出函数的最小值即可求解.【详解】解：（1），当时，在上单调递增；当时，则时，在上单调递减；时，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意知时，恒成立，即恒成立，即，只需，令，则.令，则.，在上单调递增，因此，故在上单调递增，则，所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了导函数在研究函数单调性的应用、导数在求函数最值中的应用，属于中档题.
