1、第七章复数第七章复数数学文化了解数学文化的发展与应用但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因此复数在历史上长期不被接受.直到18世纪，达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的.到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成一门庞大的学科，在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)中，复变函
2、数论都有着重要应用.读图探新发现现象背后的知识问题1：1545年，数学家卡尔丹在重要的艺术中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10 x)40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什么吗？问题2：根据你的经验，你认为怎么办就可以解决卡当的问题？在正数范围内，方程x20有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x22有解吗？我们又是怎样让它有解的？问题3：为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？链接：由有理数的研究经验，我们知道“引进一种新的数，就要定义相应的运算
3、；定义一种运算，就要研究它满足怎样的运算律”.另外，根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.7.1复数的概念复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念课标要求素养要求通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.通过理解复数的基本概念及复数相等的有关知识，体会数学抽象及数学运算素养.教材知识探究希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛.一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话.张明：海纳百川，心阔容海.海、心孰大？王华：夸张的手法，不可比较.张明：那么数m，n可否比较大小？王
4、华：未必.问题同学们，你能准确回答张明的问题吗？提示若m，n为实数可以比较大小，若m，n是虚数则无法比较大小.1.复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，_所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集.(2)复数通常用字母_表示，代数形式为zabi(a，bR)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.2.复数相等在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等当且仅当_.全体复数ac且bdz3.复数的分类(2)集合表示：b0b0a0且b0教材拓展补遗微判断1.若a，b为实数，则zabi为虚数.()2.若a
5、为实数，则za一定不是虚数.()3.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.()提示1.当b0时，zabi为虚数.2.zabi(a，bR)，当b0时，为实数.3.当两个复数的实部与虚部分别相等，则两个复数相等.微训练A.0 B.1 C.2 D.3答案C2.若a2ibi1，a，bR，则a2b2_.解析由a2ibi1，所以a1，b2，所以a2b25.答案53.若(xy2)(xy4)i0(x，yR)，则x_，y_.答案31微思考1.(1)两个复数一定能比较大小吗？(2)复数zabi的虚部b可以为零吗？提示(1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.(2)可以.当b0时
6、，z为实数.2.(1)若复数zabi(a，bR)，z0，则ab的值为多少？(2)若复数z13ai(aR)，z2bi(bR)，且z1z2，则ab的值为多少？提示(1)0；(2)4.题型一复数的概念【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.规律方法复数abi(a，bR)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.【训练1】下列命题中，的个数是()正确命题按照“先特殊后一般，先否定后肯定”的方法进行判断，否定一个命题只需举出一个反例即可若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，bR且ab，则aib
7、i；若x2y20，则xy0.A.0 B.1 C.2 D.3解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以是假命题.由于两个虚数不能比较大小，所以是假命题.当x1，yi时，x2y20成立，所以是假命题.故选A.答案A题型二复数的分类根据复数zabi(a，bR)是实数、纯虚数、虚数的充要条件求解【例2】(1)已知复数za(a21)i是实数，则实数a的值为_；(2)若复数zsin 2(1cos 2)i是纯虚数，则_.规律方法根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为abi(a，bR)的形式，实部与虚部分别为什么；第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化
8、为实数问题；第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)；第四步，明确结论.题型三两个复数相等把复数问题转化为实数问题解方程(组)求解【例3】已知x2y22xyi2i，求实数x，y的值.解x2y22xyi2i，规律方法求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：(1)等式两边整理为abi(a，bR)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3)解方程组，求出相应的参数.一、素养落地1.通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养.通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运算素养.2.对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.3.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.二、素养训练1.已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()答案C2.下列复数中，满足方程x220的是()答案C3.i2 021_.解析i2 021i2 020i(i2)1 010i(1)1 010ii.答案i4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一实根为n，则m_.答案1
