1、2.2.2事件的相互独立性事件的相互独立性创设情境创设情境 俗话说：三个臭皮匠俗话说：三个臭皮匠顶一个诸葛亮。你能用数学的观顶一个诸葛亮。你能用数学的观点来解释为什么吗？点来解释为什么吗？嘿嘿，跟我嘿嘿，跟我斗！斗！创设情境创设情境 俗话说：三个臭皮匠俗话说：三个臭皮匠顶一个诸葛亮。你能用数学的观顶一个诸葛亮。你能用数学的观点来解释为什么吗？点来解释为什么吗？已知诸葛亮想出计谋的概率为已知诸葛亮想出计谋的概率为0.80.8，三个，三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率为臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率为0.5,0.5,、0.450.45、0.4.0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸问这三个臭皮匠能
2、胜过诸葛亮吗？谈谈你的想法？葛亮吗？谈谈你的想法？什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？两个互斥事件两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？有一个发生的概率公式是什么？若若A与与A为对立事件，则为对立事件，则P（A）与）与P（A）关系如何？）关系如何？不可能同时发生的两个事件叫不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；互斥事件；(A(AB=)B=)必有一个发生的两个互斥事件，叫必有一个发生的两个互斥事件，叫对立事件对立事件.(A(AB=B=且且A AB=)B=)P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P()=1复习巩固复习巩固(4).条件概率条件概率(5).条件
3、概率计算公式条件概率计算公式:()()(|)()()n ABP ABP B An AP A注意条件：必须注意条件：必须 P(A)0 设事件设事件 A和事件和事件B，且，且P(A)0,在已知事件在已知事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的概率，叫做发生的概率，叫做条件概率条件概率.记作记作P(B|A).复习巩固复习巩固新课引入新课引入请你试着用计算来验证。请你试着用计算来验证。把结果记为（把结果记为（x,y),其中其中x表示第一次摸出的球，表示第一次摸出的球，y表示第二次摸出的球，则所有情况如下表：表示第二次摸出的球，则所有情况如下表：由表可得：由表可得：62()93P B 42(|)6
4、3P B A (|)()P B AP B有有新课引入新课引入(|)()P B AP B有有新课引入新课引入()(|)()P ABP B AP A 又又由由得得()=()(|)=()(P ABP A P B AP A P B）1、事件的相互独立性、事件的相互独立性 设设A，B为两个事件为两个事件,若若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件则称事件A与事件与事件B相互独立相互独立。即事件即事件A A（或（或B B）是否发生）是否发生,对事件对事件B B（或（或A A）发生）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件.基本概念基本概念1 10 0.
5、独立事件与互斥事件有什么区别？独立事件与互斥事件有什么区别？2 20 0.能否把能否把P(B|A)=P(B)当做当做A A、B B相互独立的定相互独立的定义？义？3 30 0.如何求两个相互独立事件同时发生的概率？如何求两个相互独立事件同时发生的概率？1 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)(BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的
6、关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.基本概念基本概念AB21)(,21)(BPAP若若.)()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,0)(ABP则则,41)()(BPAP基本概念基本概念 2 20 0两式子的适用范围不一样，两式子的适用范围不一样，P(B|A)P(B|A)要求要求P(A)0P(A)0而而P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)中中P(A)P(A)没有限制没有限制基本概念基本概念1 10 0.独立事件与互斥事件有什么区别？独立事件与互斥事件有什么区别？2 20
7、0.能否把能否把P(B|A)=P(B)当做当做A A、B B相互独立的定相互独立的定义？义？3 30 0.如何求两个相互独立事件同时发生的概率？如何求两个相互独立事件同时发生的概率？30相互独立事件同时发生的概率公式相互独立事件同时发生的概率公式“第一、第二次都取到的都是白球第一、第二次都取到的都是白球”是一个事件，是一个事件，它的发生就是事件它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作同时发生，将它记作AB 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。等于每个事件的概率的积。两个相互独立事件两个相互独立事件A,B同时发生同时发生,即
8、事件即事件AB发生发生的概率为：的概率为：()()()P ABP AP B 基本概念基本概念1.1.独立事件与互斥事件有什么区别？独立事件与互斥事件有什么区别？2.2.当当P(B|A)=P(B)时，能否称时，能否称A A、B B相互独立？相互独立？3.3.如何求两个相互独立事件同时发生的概率？如何求两个相互独立事件同时发生的概率？概率乘法公式概率乘法公式基本概念基本概念1.1.必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何与任何事件事件A是否独立是否独立？,A BABAB AB2.2.若若相相互互独独立立 则则下下列列各各对对事事件件与与与与与与是是否否也也相相互互独独立立？3.3.相互独立
9、事件同时发生的概率的算法可否推广相互独立事件同时发生的概率的算法可否推广？（1 1）必然事件）必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A A相相 互独立互独立.证证 A=A,P()=1 P(A)=P(A)=1 P(A)=P()P(A)即即 与与A独立独立.A=,P()=0 P(A)=P()=0=P()P(A)即即 与与A独立独立.基本概念基本概念相互独立事件的性质相互独立事件的性质(2)若事件若事件A与与B相互独立相互独立,则以下三对事件也相互则以下三对事件也相互独立独立.；与与 BA；与与 BA.BA 与与证证 A与与B相互独立相互独立)()()(ABPAPBAP )()()(
10、BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP 基本概念基本概念相互独立事件的性质相互独立事件的性质(3)若事件若事件A，B与与C相互独立相互独立,则事件则事件ABC发生的发生的概率为概率为()()()()P ABCP A P B P C 基本概念基本概念相互独立事件的性质相互独立事件的性质1231212()()(A)()nnnP A AAP AAAPAPAA若若事事件件、相相互互独独 立立，则则有有 判断事件判断事件A,B 是否为互斥是否为互斥,互独事件互独事件?1.篮球比赛篮球比赛“罚球二次罚球二次”.事件事件A表示表示“第第1球罚中球罚中”,事件事件B表示表示“第第2球罚中球罚中”.
11、2.篮球比赛篮球比赛“1+1罚球罚球”.事件事件A表示表示“第第1球罚中球罚中”,事件事件B表示表示“第第2球罚中球罚中”.A与与B为相互独立事件为相互独立事件A与与B不是相互独立事件不是相互独立事件概念辨析概念辨析3.运动员甲射击一次，射中运动员甲射击一次，射中9环与射中环与射中8环环4.甲乙两运动员各射击一次，甲射中甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中环与乙射中8环；环；A与与B为互斥事件为互斥事件A与与B为相互独立事件为相互独立事件 5.5.正四面体四个面分别写着正四面体四个面分别写着1,2,3,41,2,3,4四个数字，抛四个数字，抛掷一次，每个面向下的可能性都相等，记掷一次，每
12、个面向下的可能性都相等，记 事件事件A A表示表示“向下一面的点数是向下一面的点数是1 1或或2 2”；事件事件B B表示表示“向下一面的点数是向下一面的点数是1 1或或3 3”；事件事件C C表示表示“向下一面的点数是向下一面的点数是1 1或或4 4”；判断判断A A、B B、C C的相互关系的相互关系。A、B、C间两两相互独立，但三者并不独立间两两相互独立，但三者并不独立概念辨析概念辨析 6.6.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令孩是等可能的，令A=A=一个家庭中有男孩，又有女孩一个家庭中有男孩，又有女孩，B=B=一个家庭中最多
13、有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩 对下列两种情形讨论对下列两种情形讨论A A与与B B的独立性；的独立性；（1 1）家庭中有两个小孩；）家庭中有两个小孩；（2 2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。判断两事件的相互独立性，常常通过对事判断两事件的相互独立性，常常通过对事物的本质进行分析就可判断；物的本质进行分析就可判断；在不易直接判断时，才采取计算概率的方法在不易直接判断时，才采取计算概率的方法判断判断 概念辨析概念辨析例例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以品可以获得一张奖券。奖券上有一个
14、兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的求两次抽奖中以下事件的概率：概率：（1）都抽到某一指定号码；）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。）至少有一次抽到某一指定号码。例题精讲例题精讲解解:(1)记记“第一次抽奖抽到某一指定号码第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件为事件B，则则“两次抽奖都抽到某一指定号码两次抽奖
15、都抽到某一指定号码”就是事件就是事件AB。（1）“都抽到某一指定号码都抽到某一指定号码”；由于两次的抽奖结果是互不影响的由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此因此A和和B相互相互独立独立.于是由独立性可得于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为码的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025例题精讲例题精讲解解:“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用可以用 表示。由于事件表示。由于事件 与与 互斥，根据概率互斥，根据概率加法公式加法公式 和相互独立事件的定义，所求的概率为：和相互独立事件的定义，所求的
16、概率为：(A AB B)(A AB B)A AB BA AB B（2 2）“恰有一次抽到某一指定号码恰有一次抽到某一指定号码”；P P(A AB B)P P(A AB B)P P(A A)P P(B B)P P(A A)P P(B B)0 0.0 05 5(1 10 0.0 05 5)(1 10 0.0 05 5)0 0.0 05 5 0 0.0 09 95 5例题精讲例题精讲（3）“至少有一次抽到某一指定号码至少有一次抽到某一指定号码”；P P(A AB B)P P(A AB B)P P(A AB B)0 0.0 00 02 25 50 0.0 09 95 5 0 0.0 09 97 75
17、5解解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用可以用 表示。由于事件表示。由于事件 与与 两两互两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：概率为：(A AB B)(A AB B)(A AB B)A AB BA AB BA AB B,1P(AB)1(10.05)(10.05)0.09751P(AB)1(10.05)(10.05)0.0975另解：另解：(逆向思考逆向思考)至少有一次抽中的概率为至少有一次抽中的概率为例题精讲例题精讲例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如
18、果次射击比赛，如果2 2人人 击中目标的概率都是击中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算：（1）两人都击中目标的概率）两人都击中目标的概率；（2）其中恰由）其中恰由1人击中目标的概率人击中目标的概率（3）至少有一人击中目标的概率）至少有一人击中目标的概率解：解：(1)记记“甲射击甲射击1次次,击中目标击中目标”为事件为事件A.“乙乙射射 击击1次次,击中目标击中目标”为事件为事件B.答：两人都击中目标的概率是答：两人都击中目标的概率是0.36 且且A与与B相互独立，相互独立，又又A与与B各射击各射击1次次,都击中目标都击中目标,就是事件就是事件A,B同同时发生，时发生，根据相互独立事件的概
19、率的乘法公式根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到得到P(AB)=P(A)P(B)=0.60.60.36例题精讲例题精讲 另一种是另一种是甲未击中，乙击中（事件甲未击中，乙击中（事件B发生）。发生）。例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2人击人击中目标的概率都是中目标的概率都是0.6，计算：，计算：(2)其中恰有其中恰有1人击中目标的概率？人击中目标的概率？解：解：“二人各射击二人各射击1次，恰有次，恰有1人击中目标人击中目标”包括两种包括两种情况情况:一种是甲击中一种是甲击中,乙未击中（事件乙未击中（事件 ）BA()()()()()()0.6(10.6)
20、(10.6)0.60.240.240.48P ABP ABP AP BP AP B 答：其中恰由答：其中恰由1人击中目标的概率为人击中目标的概率为0.48.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是事件的概率乘法公式，所求的概率是BA 根据题意，这两根据题意，这两种情况在各射击种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件次时不可能同时发生，即事件B与与 互斥，互斥，例题精讲例题精讲例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人击人击中目标的概率都是中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算：（3
21、）至少有一人击中目标的概率）至少有一人击中目标的概率.解法解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是()()()0.360.480.84PP ABP ABP AB 解法解法2：两人都未击中的概率是：两人都未击中的概率是()()()(10.6)(10.6)0.16,1()10.160.84P A BP AP BPP A B 因因此此，至至少少有有一一人人击击中中目目标标的的概概率率答：至少有一人击中的概率是答：至少有一人击中的概率是0.84.例题精讲例题精讲 生产一种零件，甲车间的合格率是生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的乙车间的合格率是
22、合格率是97,从它们生产的零件中各抽取从它们生产的零件中各抽取1件，都抽件，都抽到合格品的概率是多少？到合格品的概率是多少？解：设从甲车间生产的零件中抽取解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为件得到合格品为事件事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，。那么，2件都是合格品就是事件件都是合格品就是事件AB发生，又事件发生，又事件A与与B相互独相互独立，所以抽到合格品的概率为立，所以抽到合格品的概率为()()()9697582100100625P ABP AP B 答：抽到合格品的概率是答：抽到合格品的概率是582625巩固练习巩固练习例例3 在
23、一段线路中并联着在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只个自动控制的常开开关，只要其中有要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时计算在这段时间内线路正常工作的概率间内线路正常工作的概率.例题精讲例题精讲 由题意，这段时间内由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相个开关是否能够闭合相互之间没有影响。互之间没有影响。027.0)7.01)(7.01)(7.01()(1)(1)(1)()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP所以这段事件内线路正常工作的概率是所以
24、这段事件内线路正常工作的概率是973.0027.01)(1CBAP答：在这段时间内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973CBAJJJ、解：解：分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关 能够闭合为事能够闭合为事件件A,B,C.根据相互独立事件的概率乘法式这根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内段时间内3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 例题精讲例题精讲 已知诸葛亮想出计谋的概率为已知诸葛亮想出计谋的概率为0.80.8，三个，三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率为臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率为0.5,0.5,、0.450.45、0.4.0.4.问
25、这三个臭皮匠能胜过诸问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？谈谈你的想法？葛亮吗？谈谈你的想法？例题精讲例题精讲1、分别抛掷、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设枚质地均匀的硬币，设 A是事件是事件“第第1枚为正面枚为正面”，B是事件是事件“第第2枚为正面枚为正面”，C是事件是事件“2枚结果相同枚结果相同”。问：问：A，B，C中哪两个相互独立？中哪两个相互独立？巩固练习巩固练习A，B相互独立，相互独立，A，C不独立，不独立，B，C也不独立也不独立 2、在一段时间内，甲地下雨的概率是、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨，乙地下雨的概率是的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互，假定在这段时间
26、内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率）其中至少有一方下雨的概率.P=0.20.30.06P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.44巩固练习巩固练习 3.某战士射击中靶的概率为某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次若连续射击两次.求求:(1)两次都中靶的概率两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率；至少有一次中靶的概率；(3)至多有一次中靶的概率至多有一次中靶的概率;(
27、4)目标被击中的概率目标被击中的概率.分析分析:设事件设事件A为为“第第1次射击中靶次射击中靶”.B为为“第第2次射击中次射击中靶靶”.且且A与与B是相互独立事件是相互独立事件.“两次都中靶两次都中靶”是指是指“事件事件A发生且事件发生且事件B发生发生”即即AB P(AB）=P（A）P（B）=0.99x0.99=0.9581（2）“至少有一次中靶至少有一次中靶”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即：即：ABABAB()0.99 0.01 0.01 0.990.99 0.99P ABABAB巩固练习巩固练习 3.某战士射击中靶的概率为某战士射击中靶的概率为0.99.若
28、连续射击两次若连续射击两次.求求:(1)两次都中靶的概率两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率；至少有一次中靶的概率；(3)至多有一次中靶的概率至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率目标被击中的概率.（3）“至多有一次中靶至多有一次中靶”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(不中不中,不中不中)即即.（4）“目标被击中目标被击中”是指是指(中中,不中不中),(不中不中,中中),(中中,中中)即即 AB+AB+AB.求求 P(AB+AB+AB)ABABAB()0.99 0.01 0.01 0.990.01 0.01P ABABAB巩固练习巩固练习1.用恰当的字母标记事件用
29、恰当的字母标记事件,如如“XX”记为记为A,“YY”记为记为B.2.理清题意理清题意,判断各事件之间的关系判断各事件之间的关系 (等可能等可能;互斥互斥;互独互独;对立对立).关键词关键词 如如至多至多”“至少至少”“同时同时”“恰有恰有”.求求“至多至多”“至少至少”事件概率时事件概率时,通常考虑它们的对立通常考虑它们的对立事件的概率事件的概率.3.寻找所求事件与已知事件之间的关系寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件所求事件”分几类分几类(考虑加法公式考虑加法公式,转化为互斥事件转化为互斥事件)还是分几步组成还是分几步组成(考虑乘法公式考虑乘法公式,转化为互独事件转化为互独事件)4.
30、根据公式解答根据公式解答解题步骤解题步骤 1.射击时射击时,甲射甲射10次可射中次可射中8次次;乙射乙射10次可射中次可射中7次次.则则甲甲,乙同时射中乙同时射中同一目标的概率为同一目标的概率为_2.甲袋中有甲袋中有5球球(3红红,2白白),乙袋中有乙袋中有3球球(2红红,1白白).从每袋中任取从每袋中任取1球球,则则至少取到至少取到1个白球个白球的概率是的概率是_1415353.甲甲,乙二人单独解一道题乙二人单独解一道题,若甲若甲,乙能解对该题的概率乙能解对该题的概率 分别是分别是m,n.则则此题被解对此题被解对的概率是的概率是_m+n-mn4.有一谜语有一谜语,甲甲,乙乙,丙猜对的概率分别
31、是丙猜对的概率分别是1/5,1/3,1/4.则三人中则三人中恰有一人猜对恰有一人猜对该谜语的概率是该谜语的概率是_1330P(A+B)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=1-P(AB)巩固练习巩固练习 7.在在100件产品中有件产品中有4件次品件次品.从中抽从中抽2件件,则则2件都是次品概率为件都是次品概率为_ 从中抽两次从中抽两次,每次每次1件则两次都抽出次品的概率是件则两次都抽出次品的概率是_ (不放回抽取不放回抽取)从中抽两次从中抽两次,每次每次1件则两次都抽出次品的概率是件则两次都抽出次品的概率是_ (放回抽取放回抽取)C42C1002 C41C31C1001C991 C41C41C
32、1001C10015.加工某产品须经两道工序加工某产品须经两道工序,这两道工序的次品率分别这两道工序的次品率分别为为a,b.且这两道工序互相独立且这两道工序互相独立.产品的合格的概率产品的合格的概率是是_.(1-a)(1-b)6.某系统由某系统由A,B,C三个元件组成三个元件组成,每个元件正常工作概率为每个元件正常工作概率为P.则系统正常工作的概率为则系统正常工作的概率为_ABCP+P2-P3巩固练习巩固练习求较复杂事件概率求较复杂事件概率正向正向反向反向对立事件的概率对立事件的概率分类分类分步分步P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)(互斥事件互斥事件)(互独事件互独事
33、件)独立事件一定不互斥独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立互斥事件一定不独立.课堂小结课堂小结事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常由元件组成的系统正常工作的概率工作的概率.例题精讲例题精讲.)4,3,2,1(,)(4,3,2,14,.)()(试试求求系系统统的的可可靠靠性性个个元元件件的的可可靠靠性性为为设设第第称称为为串串并并联联系系统统联联结结按按先先串串联联再再并并联联的的方方式式工工作作的的元元件件个个独独立立设设有有如如图
34、图所所示示的的可可靠靠性性或或系系统统元元件件能能正正常常工工作作的的概概率率称称为为或或系系统统一一个个元元件件 ipii1234例例4例题精讲例题精讲.表示系统正常工作表示系统正常工作以以 A.4321AAAAA 则有则有:,得得系系统统的的可可靠靠性性由由事事件件的的独独立立性性)()()()(43214321AAAAPAAPAAPAP )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP .43214321pppppppp 例题精讲例题精讲 解解,)4,3,2,1(个元件正常工作个元件正常工作表示事件第表示事件第以以iiAi 例例5 5、下面是一个串并联电路
35、示意图下面是一个串并联电路示意图.A.A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H都是电路中的元件都是电路中的元件.它们下方的数是它们各它们下方的数是它们各自正常工作的概率自正常工作的概率.求电路正常工作的概率求电路正常工作的概率.ABCEDFGH.0 95.0 95.0 70.0 75.0 70.0 70.0 75.0 95例题精讲例题精讲其中：其中：()()()0.973P CP D P EP(C+D+E)=1-()()0.9375P FP GP(F+G)=1-P(W)0.782代入得：代入得：P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记
36、为解：将电路正常工作记为W W，由于各元件独立工作，有，由于各元件独立工作，有例题精讲例题精讲 例例6设一个系统由设一个系统由2n 个元件组成，每个元件的可靠个元件组成，每个元件的可靠性均为性均为 r，且各元件能否正常工作是相互独立的，且各元件能否正常工作是相互独立的.(1)求下列两个系统求下列两个系统和和的可靠性；的可靠性；(2)问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？系统系统.系统系统.n+22nn+112nn+22nn+112n例题精讲例题精讲解解,个个元元件件正正常常工工作作第第设设iAi()(1,2,)iP Ar in 则则设设 B1=系统系统正常工作正常工作 B2=系统
37、系统正常工作正常工作考察系统考察系统：设设 C=通路通路正常工作正常工作，D=通路通路正常工作正常工作 每条通路正常工作每条通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系统系统正常工作正常工作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作DCB 1nnnnAAAAAA22121 例题精讲例题精讲)()(21nAAAPCP)()()(21nAPAPAP nr)()(221nnnAAAPDP )()()(221nnnAPAPAP nr)()(1DCPBP)(1DCP )(1DCP )()(1DPCP 2)1(1nr )2(nnrr 系统系统正常工作的概率：正常工作的概率
38、：例题精讲例题精讲考察系统考察系统：系统系统正常工作正常工作通路上的每对并通路上的每对并联元件正常工作联元件正常工作 B2=系统系统正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA )(1)(iniiniAAPAAP )(1iniAAP )()(1iniAPAP 2)1(1r )2(rr ),2,1(ni 例题精讲例题精讲)()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP 所以，系统所以，系统正常工作的概率：正常工作的概率：nrr)2(nnrr)2(2)问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？10 rnnrr 2)2()()(12BPBP 即系统即系统的可靠性比系统的
39、可靠性比系统的大的大.例题精讲例题精讲 例例7、设一工人管理设一工人管理3台机床，在一小时内，台机床，在一小时内，3台机床需要照台机床需要照看的概率依次为看的概率依次为0.9,0.8,0.85，求在一小时内，求在一小时内:(1)没有一台机床需要照看的概率；没有一台机床需要照看的概率；(2)至少有一台机床不需要照看的概率。至少有一台机床不需要照看的概率。解解：iA=第第i台台机机床床需需要要人人照照看看,3,2,1i独独立立，B=没没有有一一台台机机床床需需要要照照看看，C=至至少少有有一一台台机机床床不不需需要要照照看看 123123(1)()()()()()(1 0.9)(1 0.8)(1
40、0.85)0.003P BP A A AP A P A P A12312312331(2)()()()1()1()1 0.9 0.8 0.850.388 iiP CP AAAP A A AP A A AP A例题精讲例题精讲 例例8、设一门高射炮击中飞机的概率为、设一门高射炮击中飞机的概率为0.6，欲以，欲以99的把握击中飞机，问至少需配置几门炮的把握击中飞机，问至少需配置几门炮?11:0.9911()1(1 0.6)nnniiiiPAP A 解解5.026.n取取 ，即至少需配置，即至少需配置6 6门炮。门炮。6n例题精讲例题精讲12345LR 例例9 9、如图：设每个开关闭合是独立的，且闭
41、、如图：设每个开关闭合是独立的，且闭合的概率为合的概率为p p iA=第第i个个开开关关闭闭合合，B =LR 线路通线路通,求求P(B)，例题精讲例题精讲3333()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A解解：3142521425142221414(|)()()()()()()()()(2)P B APAAAAP AA P AAP AAP AP AP A App而而：312452412451245(|)()()()()2且且：P B AP A AA AP A AP A AP A A A App12345LR2345()2252P Bpppp 例题精讲例题精讲10.,(1
42、 2),.p p 甲甲、乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球比比赛赛 每每局局甲甲胜胜的的概概率率为为问问对对甲甲而而言言 采采用用三三局局二二胜胜制制有有利利 还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有利利 设设各各局局胜胜负负相相互互独独立立例例解解,甲最终获胜甲最终获胜采用三局二胜制采用三局二胜制:胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:获胜的概率为获胜的概率为于是由独立性得甲最终于是由独立性得甲最终例题精讲例题精讲).1(2221pppp ,3,局局至少需比赛至少需比赛甲最终获胜甲最终获胜采用五局三胜制采用
43、五局三胜制.,局局而前面甲需胜二而前面甲需胜二且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜,比赛四局比赛四局例如例如:则甲的胜局情况可能是则甲的胜局情况可能是“甲甲乙乙甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲甲甲”,“甲甲甲甲乙乙甲甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:,甲最终获胜的概率为甲最终获胜的概率为在五局三胜制下在五局三胜制下.)1(24)1(2323332pppppp :于是由独立性得于是由独立性得例题精讲例题精讲)312156(23212 pppppp由于由于).12()1(322 ppp;,2112ppp 时时当当.21,2112 ppp时时当当.,21制制有有利利对对甲甲来来说说
44、采采用用五五局局三三胜胜时时故故当当 p.21,21都都是是相相同同的的概概率率是是两两种种赛赛制制甲甲最最终终获获胜胜的的时时当当 p例题精讲例题精讲备用题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体,其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色,第三面染成黑色第三面染成黑色,而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A,B,C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红,白白,黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件,问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解 由于在四面体中红由于在四面体中红,白白,黑分别出现两面黑分别出现两面,因此因此,21)()()(CPBPAP又由题意知又由题意知例例2-1,41)()()(ACPBCPABP故有故有因此因此 A、B、C 不相互独立不相互独立.,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A,B,C 两两独立两两独立.由于由于41)(ABCP),()()(81CPBPAP
