1、7.2.2单位圆与三角函数线1.1.单位圆与三角函数单位圆与三角函数(1)(1)单位圆单位圆:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,坐标满足坐标满足x x2 2+y+y2 2=1=1的点的点组成的集合组成的集合.(2)(2)三角函数与单位圆三角函数与单位圆:角角的终边与单位圆相交于点的终边与单位圆相交于点P(x,y),P(x,y),如图如图:则则sin=sin=y y,cos=,cos=x x,tan=,tan=,则角则角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P(P(cos cos,sin sin).).yx【思考】【思考】单位圆的圆心和半径分别是什么单位圆的圆心和半径分别是什么?提示提
2、示:单位圆的圆心在原点单位圆的圆心在原点,半径为单位长度即半径等半径为单位长度即半径等于于1.1.2.2.三角函数线三角函数线(1)(1)作图作图:角角的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于P,P,过过P P作作PMPM垂直垂直于于x x轴轴,垂足为垂足为M.M.过过A(1,0)A(1,0)作作x x轴的垂线轴的垂线,交角交角的终边或其反向延长的终边或其反向延长线于点线于点T.T.(2)(2)图示图示:(3)(3)结论结论:向量向量 分别称为角分别称为角的正弦线、余的正弦线、余弦线、正切线弦线、正切线,统称为三角函数线统称为三角函数线.MP OM AT ，【思考】【思考】(1)(1)三角函数线的
3、长度与三角函数的值有何关系三角函数线的长度与三角函数的值有何关系?提示提示:三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.(2)(2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗?请说请说明理由明理由.提示提示:能能,当三角函数线与当三角函数线与x x轴轴(或或y y轴轴)正向同向时正向同向时,所所表示三角函数值为正的表示三角函数值为正的,与与x x轴轴(或或y y轴轴)正向反向时正向反向时,所所表示三角函数值为负的表示三角函数值为负的.【素养小测】【素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)
4、(1)(1)角角的正弦线的长度等于的正弦线的长度等于sin.sin.()(2)(2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线.(.()(3)(3)余弦线和正切线的始点都是原点余弦线和正切线的始点都是原点.()提示提示:(1)(1).角角的正弦线的长度等于的正弦线的长度等于|sin|.|sin|.(2)(2).90.90角不能作正切线角不能作正切线.(3)(3).正切线的始点是正切线的始点是(1,0).(1,0).2.2.如图如图,在单位圆中角在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的正弦线、正切线完全正确的是的是()A.MPA TB.OMA TC.MPATD.M
5、PAT 正弦线，正切线余弦线，正切线正弦线，正切线余弦线，正切线【解析】【解析】选选C.C.为第三象限角为第三象限角,故正弦线为故正弦线为 ,正切正切线为线为 ,C,C正确正确.MPAT 3.3.角角(02)(02)的正、余弦线的长度相等的正、余弦线的长度相等,且正、且正、余弦符号相异余弦符号相异,那么那么的值为的值为()3737A.B.C.D.44444或【解析】【解析】选选D.D.根据三角函数值的符号可知根据三角函数值的符号可知,当角当角在在二、四象限时二、四象限时,角角的正弦、余弦符号相反的正弦、余弦符号相反.又角又角的的正、余弦线的长度相等正、余弦线的长度相等,02,0sin .sin
6、 .77MP AT ，MPAT 777【素养【素养探】探】利用三角函数线比较大小利用三角函数线比较大小,常常涉及直观想象的核心常常涉及直观想象的核心素养素养.利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较大小的步骤:角的位置要角的位置要“对号入座对号入座”.比较三角函数线的长度比较三角函数线的长度.确定三角函数值的正负确定三角函数值的正负.将本例中的条件改为将本例中的条件改为“”“”,则则a,b,ca,b,c的大小的大小顺序排列为顺序排列为_._.522asin bcos ctan 777，【解析】【解析】由如图的三角函数线知由如图的三角函数线知:因为因为 所以所以 所以所以bac.bac.答
7、案答案:bacba1A.sin+cos 1B.sin+cos=1B.sin+cos=1C.sin+cos 1C.sin+cos 1.sin+cos 1.【类题【类题通】通】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点(1)(1)关键关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)(2)注意点注意点:比较大小比较大小,既要注意三角函数线的长短既要注意三角函数线的长短,又又要注意方向要注意方向.【习练【习练破】破】若若是三角形的内角是三角形的内角,且且sin+cos=,sin+cos=,则这个则这个三角形是三角形是()A.A.等边三角形等边三角形B.B.直角三角形直角三角形C.C.锐角三角形锐角三角形D.D.钝角三角形钝角三角形23【解析】【解析】选选D.D.当当0 0 时时,由单位圆中的三角函数由单位圆中的三角函数线知线知,sin+cos 1,sin+cos 1,而而sin+cos=,sin+cos=,所以所以必为钝角必为钝角.232
