1、31.2空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算学习目标学习目标1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线共线(平行平行)向量的意义向量的意义2理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题会证明空间三点共线与四点共面问题课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练3.1.2空空间间向向量量的的数数乘乘运运算算课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1空间向量加法运算满足空间向量加法运算满足_和和_2以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算，以前学过的平面向
2、量中有关向量的数乘运算，所谓平面向量的数乘运算就是：实数所谓平面向量的数乘运算就是：实数与平面向量与平面向量a的乘积的乘积a仍然是一个仍然是一个_，还学过平面中两向量，还学过平面中两向量共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在_，使得，使得_成立成立结合律结合律交换律交换律向量向量惟一实数惟一实数ab(b0)知新益能知新益能1空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算(1)定义：实数定义：实数与空间向量与空间向量a的乘积的乘积a仍然是一个仍然是一个_，称为向量的数乘运算，称为向量的数乘运算(2)向量向量a与与a的关系的关系向量向量相同相同相反相反|倍倍ab
3、(a)()a方方向向量向向量2共线向量与共面向量共线向量与共面向量(1)共线向量共线向量定义：表示空间向量的有向线段所在的直线定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫做，则这些向量叫做_或平行或平行向量；向量；充要条件：对于空间任意两个向量充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数，使，使_.(2)共面向量共面向量定义：平行于定义：平行于_的向量叫做共面向的向量叫做共面向量量充要条件：若两个向量充要条件：若两个向量a，b不共线，则向量不共线，则向量p与与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(
4、x，y),使使_.互相互相平行或重合平行或重合共线向量共线向量同一个平面同一个平面abpxayb2空间的两非零向量空间的两非零向量a，b共面，能否推出共面，能否推出ab(R)?提示：提示：不能推出不能推出ab.因空间中任意两向量都共因空间中任意两向量都共面，面，a，b共面未必有共面未必有ab，则不一定有，则不一定有ab.提示：提示：能判定能判定P、A、B共线共线问题探究问题探究课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算考点突破考点突破空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空什么区别，只是将适用
5、范围由平面推广到了空间运算要正确地使用向量加法和减法的平行四间运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律【思路点拨】【思路点拨】解答本题需准确画图，先利用三解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出根据对应向量的系数相等，求出x、y的值即可的值即可向量共线问题向量共线问题判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使使axb成立，或充分利用空间向量的运算法则，成立，或充分利用空间向量
6、的运算法则，结合具体的图形，通过化简、计算得出结合具体的图形，通过化简、计算得出axb，从，从而得出而得出ab即即a与与b共线共线证明三个向量共面的常用方法：证明三个向量共面的常用方法：(1)设法证明其中设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；一个向量可表示成另两个向量的线性组合；(2)寻寻找平面找平面，证明这些向量与平面，证明这些向量与平面平行平行向量共面问题向量共面问题【思路点拨】【思路点拨】利用向量共面的充要条件或向利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明量共面的定义来证明方法感悟方法感悟1向量共线的充要条件及其应用向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量
7、的定义完全一样，空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说当我们说a，b共线时，表示共线时，表示a，b的两条有向线段所的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说我们说ab时，也具有同样的意义时，也具有同样的意义(2)“共线共线”这个概念具有自反性这个概念具有自反性(aa)，也具有对，也具有对称性，即若称性，即若ab，则，则ba.(3)如果应用上述结论判断如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还所在的直线平行，还需说明需说明a(或或b)上有一点不在上有一点不在b(或或a)上上(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具向量式，以便于应用向量这一工具
