1、12.1.2 椭圆的简单椭圆的简单几何性质（几何性质（1）高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2复习：复习：1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时)0(12222babyax)0(12222babxay3二、二、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质12222byax -axa,-
2、byb 知知,122 ax得：得：122 by oyB2B1A1A2F1F2cab1、范围：、范围：椭圆落在椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中4椭圆的对称性椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P2（-x，-y）52、对称性、对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成
3、换成-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中心对称。心对称。坐标轴是椭圆的对称轴，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，原点是椭圆的对称中心，叫椭圆的中心。叫椭圆的中心。63、椭圆的顶点（截距）、椭圆的顶点（截距）)0(12222babyax令令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆
4、的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)7123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 84、椭圆的离心率椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量刻画椭圆扁平程度的量)ace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距
5、与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0ebabceaa2=b2+c21122221(0)xyabab|x|a,|y|b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短短半轴长为半轴长为b.b.ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x|b,|y|a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前
6、同前同前同前同前同前12例例1 1已知椭圆方程为已知椭圆方程为9x9x2 2+25y+25y2 2=225,=225,它的长轴长是它的长轴长是：。短轴长是短轴长是：。焦距是焦距是：。离心率等于离心率等于：。焦点坐标是焦点坐标是：。顶点坐标是顶点坐标是：。外切矩形的面积等于外切矩形的面积等于：。1068(5,0),(0,3)(0,4)60解题的关键：解题的关键：192522yx2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置45题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质1、将椭圆方程转化为标准方程明确、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b13已知椭圆方程为已
7、知椭圆方程为6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的长轴长是：它的长轴长是：。短轴长是：。短轴长是：。焦距是：焦距是：.离心率等于：离心率等于：。焦点坐标是：焦点坐标是：。顶点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于：。262)5,0(52630(0,6)(1,0)4 616122 yx其其标标准准方方程程是是5 1 622bacba则练习练习1.1.14练习练习求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。心率。（1）x2+9y2=81 (2)25x2+9y2=225 (3)16x2+y2=25 (4)4x2+
8、5y2=122(1)1819xy22(3)1252516xy22(2)1925xy22(4)11145xy15练习：已知椭圆练习：已知椭圆 的离心率的离心率 求求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。标、顶点坐标。22(3)(0)xmym m3,2e 2213xymmm椭圆：222(2),33mm mam bcmm22334mem1m22a长轴长21b短轴长3,0)2焦点坐标(11,0),(0,)2顶点坐标(16例例2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于长轴长等于20，离心率
9、，离心率3/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经过点3 2,4P 22194xy所求椭圆方程为：解：解：方法一：方法一：设方程为设方程为mx2ny21（m0，n0，mn），），注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定位；定位；定量定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程将点的坐标方程，求出将点的坐标方程，求出m1/9,n1/4。17例例2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于长轴长等于20，离心率，离心率3/5。一焦点将长轴
10、分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经过点3 2,4P 22194xy解：解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质方法二：利用椭圆的几何性质 注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定位；定位；定量定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，交点就是椭圆的顶点，于是焦点在于是焦点在x轴上，且点轴上，且点P、Q分别是分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，椭圆长轴与短轴的一个端点，故故a3，b2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 18例例2
11、求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于长轴长等于20，离心率，离心率3/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经过点3 2,4P 注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定位；定位；定量定量2222111006410064xyyx椭圆方程为：或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程3220,5caea：解(2)10,6ac8.b 19例例2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(3,0)、Q(0,
12、2)；长轴长等于长轴长等于20，离心率，离心率3/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经过点3 2,4P 222211145290363249xyyx椭圆方程为：或题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程一焦点将长轴分成：解:(3)的两部分():()2:1acac3ac228bc22222222119889xyxycccc椭圆方程可设为：或22222222(3 2)4(3 2)4119889cccc或3 2,4P 椭圆过，22145436cc或20练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴
13、是短轴的三倍，且椭圆经过点轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P P（3 3，0 0），求椭圆的方程。），求椭圆的方程。2222119981xxyy或分类讨论分类讨论的数学思想的数学思想232ab3ab3,1ab39ba或，21练习：练习：1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。根据下列条件，求椭圆的标准方程。长轴长和短轴长分别为长轴长和短轴长分别为8 8和和6 6，焦点在，焦点在x x轴上轴上 长轴和短轴分别在长轴和短轴分别在y y轴，轴，x x轴上，经过轴上，经过P(-2,0)P(-2,0)，Q(0,-3)Q(0,-3)两点两点.一焦点坐标为（一焦点坐标为（3 3，0 0）一顶点坐标为（）一顶
14、点坐标为（0 0，5 5）两顶点坐标为（两顶点坐标为（0 0，6），且经过点（），且经过点（5，4）焦距是焦距是1212，离心率是，离心率是0.60.6，焦点在，焦点在x x轴上。轴上。22169xy+=12294yx+=1223425xy+=12210064xy+=1224536xy+=1222.2.已知椭圆的一个焦点为已知椭圆的一个焦点为F F（6 6，0 0）点）点B B，C C是短是短轴的两端点，轴的两端点，FBCFBC是等边三角形，求这个椭圆的是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。标准方程。6c 2ab362a 4 3,2 3ab2214812xy椭圆方程为：23105x练习：已知椭圆
15、中心在原点，它在 轴的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点距离为，求这个椭圆方程。105acbc2ac221105xy椭圆方程为：5c 10,5ab24例例3：(1)椭圆椭圆 的左焦点的左焦点 是两个顶点，如果到是两个顶点，如果到F1直线直线AB的的距距 离为离为 ，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率e=.22221(0)xyabab1(,0),Fc(,0),(0,)AaBb7b题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题:0ABbxayab解 直线方程为122.7FABbcabbdba222bac2227()2acac2251480aacc24.acac或51
16、.2cea 1225例例3：(2)设设M为椭圆为椭圆 上一点，上一点，为椭圆的焦点，为椭圆的焦点，如果如果 ，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。22221(0)xyabab12FF、122175,15MFFMF F题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题012211275,1590MFFMF FFMF解：，1212sin15sin75sin90MFMFFF由正弦定理：1212sin75sin15sin90MFMFFF22sin75sin15sin90acsin903sin75sin153cea 26题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题1113(3):FA,PO AB(O)例
17、已知F为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF为椭圆中心 时,求椭圆的离心率2222:1xyab解 设椭圆方程为11FAPF2(,)bPca(,0),(0,)A aBbPO ABPOABkk2/babcabc 22.22cceac 27练习：练习：12212FFFPFPF()221.C.2-2.2122ABD1.设椭圆的两个焦点分别为、，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ，D28小结：小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。对
18、称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个了解了研究椭圆的几个基本量基本量a a，b b，c c，e e及顶点、及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握握数与形数与形的联系。在本节课中，我们运用了的联系。在本节课中，我们运用了几何性几何性质质，待定系数法待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了准确体现了函数与方程函数与方程以及以及分类讨论分类讨论的数学思想。的数学思想。
