1、3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离有一个有一个 无无 无数个无数个 主题主题1 1两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标观察图形，思考下面问题观察图形，思考下面问题 1.1.两直线两直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，如相交，如何求两条直线的交点坐标？何求两条直线的交点坐标？提示提示:采用消元的方法来解方程组采用消元的方法来解方程组 B B2 2-B B1 1得得(A(A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1)x=B)x=B1 1C C2
2、 2-B-B2 2C C1 1，当当A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 100时，方程组有惟一解时，方程组有惟一解 111222A xB yC0,A xB yC0,当当A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0=0，且，且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 100时，方程组无解时，方程组无解;当当A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0=0，且，且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 1=0=0时，方程组有无数组解时，方程组有无数组解.1221122112211221B CB CxA BA BC AC Ay.A BA B，2.2.两条
3、直线两条直线l1 1与与l2 2应具备怎样的条件才能相交？应具备怎样的条件才能相交？提示提示:A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 10.0.结论结论:两条直线的交点问题两条直线的交点问题111222A xB yC0,A xB yC0无解无解相交相交重合重合平行平行【对点训练对点训练】1.1.已知直线已知直线l1 1:3x+4y-5=0:3x+4y-5=0与与l2 2:3x+5y-6=0:3x+5y-6=0相交，则它相交，则它们的交点是们的交点是()1111A.(1,)B.(,1)C.(1,)D.(1,)3333【解析解析】选选B.B.由由 13x4y50,x,33x5y60y1.得
4、2.2.若直线若直线ax+y+1=0ax+y+1=0与与x-by+3=0 x-by+3=0的交点是的交点是(1(1，2)2)，则，则a+b=_.a+b=_.【解析解析】由由ax+y+1=0ax+y+1=0与与x-by+3=0 x-by+3=0的交点为的交点为(1(1，2)2)，所以所以a+2+1=0a+2+1=0，1-2b+3=01-2b+3=0，得得a=-3a=-3，b=2b=2，所以，所以a+b=-1.a+b=-1.答案答案:-1-1主题主题2 2两点间的距离公式两点间的距离公式1.1.在直角坐标系中，已知两点在直角坐标系中，已知两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1)，P P2 2
5、(x(x2 2，y y2 2)，过，过P P1 1，P P2 2分别向分别向x x轴轴和和y y轴作垂线，垂足分别为轴作垂线，垂足分别为M M1 1(x(x1 1，0)0)，M M2 2(x(x2 2，0)0)，N N1 1(0(0，y y1 1)，N N2 2(0(0，y y2 2)，直线，直线P P1 1N N1 1与与P P2 2M M2 2相相交于点交于点Q Q，|P|P1 1Q|Q|，|QP|QP2 2|分别是多少？分别是多少？提示提示:因为因为|P|P1 1Q|=|MQ|=|M1 1M M2 2|，|QP|QP2 2|=|N|=|N1 1N N2 2|，所以所以|P|P1 1Q|=
6、|xQ|=|x2 2-x-x1 1|，|QP|QP2 2|=|y|=|y2 2-y-y1 1|.|.2.2.结合问题结合问题1 1，如何求，如何求|P|P1 1P P2 2|？提示提示:在直角在直角P P1 1QPQP2 2中，利用勾股定理，得到中，利用勾股定理，得到|P|P1 1P P2 2|2 2=|P=|P1 1Q|Q|2 2+|QP+|QP2 2|2 2，由此得到，由此得到|P|P1 1P P2 2|=|=222121xxyy.结论结论:两点间的距离公式两点间的距离公式平面上任意两点平面上任意两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1)，P P2 2(x(x2 2，y y2 2)间的
7、距离公式间的距离公式为为:|P:|P1 1P P2 2|=_|=_，特别地，原点，特别地，原点O(0O(0，0)0)与任一点与任一点P(xP(x，y)y)的距离的距离|OP|=_.|OP|=_.222121xxyy22xy【对点训练对点训练】1.1.已知已知A(2A(2，-1)-1)，B(3B(3，-1)-1)，则，则|AB|=|AB|=()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.D.【解析解析】选选A.|AB|=|3-2|=1.A.|AB|=|3-2|=1.22.A(a2.A(a，2a)2a)，B(1B(1，2)2)两点间的距离为两点间的距离为 ，则，则a=_.a=_.【解析解析】由由 得得
8、a=0a=0或或a=2.a=2.答案答案:0 0或或2 2522a12a25，【跟踪训练跟踪训练】直线直线x+ky=0 x+ky=0，2x+3y+8=02x+3y+8=0和和x-y-1=0 x-y-1=0三条三条直线交于一点，则直线交于一点，则k=_.k=_.【解析解析】因为直线因为直线x+ky=0 x+ky=0，2x+3y+8=02x+3y+8=0和和x-y-1=0 x-y-1=0三条三条直线交于一点，直线交于一点，解方程组解方程组 所以直线所以直线x+ky=0 x+ky=0过点过点(-1(-1，-2)-2)，解得解得k=-.k=-.答案答案:-2x3y80,x1,xy 10y2 得，121
9、2【训练训练】已知两条直线已知两条直线l1 1:mx+8y+n=0:mx+8y+n=0和和l2 2:2x+my-1=0:2x+my-1=0，试分别，试分别确定确定m m，n n的值，使的值，使:(1)(1)l1 1与与l2 2相交于一点相交于一点P(mP(m，1).1).(2)(2)l1 1l2 2且且l1 1过点过点(3(3，-1).-1).(3)(3)l1 1l2 2.【解析解析】(1)(1)由于由于l1 1与与l2 2相交于一点相交于一点P(mP(m，1)1)，把点，把点P(mP(m，1)1)代入代入l1 1，l2 2的方程得的方程得m m2 2+8+n=0+8+n=0，2m+m-1=0
10、2m+m-1=0，联，联立解得立解得 (2)(2)因为因为l1 1l2 2且且l1 1过点过点(3(3，-1)-1)，所以所以 173m,n39 m2m4,m4,8mn4n20.3m8n0,解得或类型二过两直线交点的直线系方程类型二过两直线交点的直线系方程【典例典例2 2】(1)(1)经过点经过点P(1P(1，0)0)和两直线和两直线l1 1:x+2y-2=0:x+2y-2=0，l2 2:3x-2y+2=0:3x-2y+2=0交点的直线方程为交点的直线方程为_._.(2)(2)无论实数无论实数a a取何值，方程取何值，方程(a-1)x-y+2a-1=0(a-1)x-y+2a-1=0表示的表示的
11、直线恒过定点，试求该定点直线恒过定点，试求该定点.【跟踪训练跟踪训练】已知直线已知直线l:kx-y-2k-1=0(kR).:kx-y-2k-1=0(kR).(1)(1)若直线若直线l过定点过定点P P，求点，求点P P的坐标的坐标.(2)(2)若直线若直线l交交x x轴正半轴于点轴正半轴于点A A，交，交y y轴正半轴于点轴正半轴于点B B，O O为坐标原点，且为坐标原点，且|OA|=|OB|OA|=|OB|，求，求k k的值的值.【解题指南解题指南】(1)kx-y-2k-1=0(1)kx-y-2k-1=0，化为，化为y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即，即可得出直线经过的定点可得出直
12、线经过的定点.(2)(2)分别令分别令x=0 x=0，y=0y=0即可得出即可得出.【解析解析】(1)kx-y-2k-1=0(1)kx-y-2k-1=0，化为，化为y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，因为因为kRkR，所以，所以 所以点所以点P P的坐标为的坐标为(2(2，-1).-1).x20,x2,y 10y1 ，解得，(2)(2)当当x=0 x=0时，时，y=-2k-1y=-2k-1，当当y=0y=0时，时，x=x=，由题意得由题意得-2k-1=0-2k-1=0，解得，解得k=-1k=-1或或k=-(k=-(经检验经检验不合题意，舍去不合题意，舍去).).所以所以k=-1.k=-1
13、.12kk12kk12【拓展延伸拓展延伸】常见的直线系常见的直线系(1)(1)与直线与直线l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0平行的直线系方程为平行的直线系方程为:Ax+By:Ax+By+m=0(+m=0(其中其中mCmC，m m为待定系数为待定系数).).(2)(2)与直线与直线l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为垂直的直线系方程为:Bx-Ay+:Bx-Ay+m=0(mm=0(m为待定系数为待定系数).).【训练训练】1.1.对任意实数对任意实数m m，直线，直线(m-1)x+2my+(m-1)x+2my+6=06=0必经过的定点是必经过的定点是()A.(1A.
14、(1，0)0)B.(0B.(0，-3)-3)C.(6C.(6，-3)-3)D.D.2.2.设直线设直线l1 1:x-3y+4=0:x-3y+4=0和和l2 2:2x+y+5=0:2x+y+5=0的交点为的交点为P P，求过，求过点点P P和原点的直线方程和原点的直线方程.63(,)1 mm【解析解析】1.1.选选C.C.直线方程直线方程(m-1)x+2my+6=0(m-1)x+2my+6=0可化为可化为:-x+6+m(2y+x)=0.-x+6+m(2y+x)=0.因此，该直线恒过直线因此，该直线恒过直线-x+6=0-x+6=0与与x+2yx+2y=0=0的交点的交点.由由 2.2.方法一方法一
15、:求得交点求得交点 又又O(0O(0，0)0)，写出方程，写出方程为为3x+19y=0.3x+19y=0.x60,x6,x2y0y3.得19 3P(,7 7）类型三两点间距离公式及应用类型三两点间距离公式及应用【典例典例3 3】(1)(1)已知点已知点P(aP(a，2)2)，A(-2A(-2，-3)-3)，B(1B(1，1)1)，且且|PA|=|PB|PA|=|PB|，则，则a=_.a=_.(2)(2)ABDABD和和BCEBCE是在直线是在直线ACAC同侧的两个等边三角形，同侧的两个等边三角形，用解析法证明用解析法证明:|AE|=|CD|.:|AE|=|CD|.【解析解析】(1)(1)由由|
16、PA|=|PB|PA|=|PB|，所以，所以 即即6a=-276a=-27，所以，所以a=-.a=-.答案答案:-22a2)23（929222a12 1,(2)(2)如图所示，以如图所示，以B B为坐标原点，取为坐标原点，取ACAC所在的直线为所在的直线为x x轴，以垂直于轴，以垂直于ACAC且经过且经过B B点的直线为点的直线为y y轴，建立平面直轴，建立平面直角坐标系角坐标系.设设ABDABD和和BCEBCE的边长分别为的边长分别为a a和和c c，则则A(-aA(-a，0)0)，则则 所以所以|AE|=|CD|.|AE|=|CD|.c3ca3aE(,C(c 0)D(,),2222)，22
17、22222c3cc3cAEa(0)aacaacc,2244 2222222a3aa3aCD(c)(0)accaacc,2244【方法总结方法总结】用解析法解决几何问题的三个步骤用解析法解决几何问题的三个步骤 【跟踪训练跟踪训练】已知已知A(1A(1，5)5)，B(5B(5，-2)-2)，在，在x x轴上存在轴上存在一点一点M M，使，使|MA|=|MB|MA|=|MB|，则点，则点M M的坐标为的坐标为()83A.(,0)B.(,0)3883C.(,0)D.(,0)38【解析解析】选选B.B.设设M(xM(x，0)0)由由|MA|=|MB|MA|=|MB|得得 即即(x-1)(x-1)2 2+
18、25=(x-5)+25=(x-5)2 2+4+4，解得，解得x=.x=.22x10522x502 38【训练训练】1.1.对于平面直角坐标系中任意两点对于平面直角坐标系中任意两点P(xP(x1 1，y y1 1)，Q(xQ(x2 2，y y2 2)，我们将，我们将|x|x1 1-x-x2 2|+|y|+|y1 1-y-y2 2|定义为定义为PQPQ两点的两点的“耿直距耿直距离离”.已知已知A(0A(0，0)0)，B(3B(3，1)1)，C(4C(4，4)4)，D(1D(1，3)3)，设设M(xM(x，y)y)是平面直角坐标系中的一个动点，若使得是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点点M M到到
19、A A，B B，C C，D D的的“耿直距离耿直距离”之和取得最小值，之和取得最小值，则点则点M M应位于下列哪个图中的阴影区域之内应位于下列哪个图中的阴影区域之内()【解题指南解题指南】通过所求图形，求出最小值，利用特殊通过所求图形，求出最小值，利用特殊点求解点点求解点M M到到A A，B B，C C，D D的的“耿直距离耿直距离”之和判断即之和判断即可可.【解析解析】选选B.B.由题意可知由题意可知M(2M(2，2)2)满足所有阴影，点满足所有阴影，点M M到到A A，B B，C C，D D的的“耿直距离耿直距离”之和为之和为12.12.当当M(1M(1，1)1)时，点时，点M M到到A
20、A，B B，C C，D D的的“耿直距离耿直距离”之和之和为为1212，排除，排除C;C;当当M(1M(1，0)0)时，点时，点M M到到A A，B B，C C，D D的的“耿直距离耿直距离”之和之和为为1414，排除，排除A;A;当当M(1M(1，3)3)时，点时，点M M到到A A，B B，C C，D D的的“耿直距离耿直距离”之和之和为为1212，排除，排除D.D.2.2.直线直线2x-y-4=02x-y-4=0上有一点上有一点P P，它与两定点，它与两定点A(4A(4，-1)-1)，B(3B(3，4)4)的距离之差最大，则的距离之差最大，则P P点的坐标是点的坐标是_._.【解题指南解
21、题指南】判断判断A A，B B与直线的位置关系，求出与直线的位置关系，求出A A关关于直线的对称点于直线的对称点A A1 1的坐标，求出直线的坐标，求出直线A A1 1B B的方程，与直的方程，与直线线2x-y-4=02x-y-4=0联立，求出联立，求出P P的坐标的坐标.【解析解析】易知易知A(4A(4，-1)-1)，B(3B(3，4)4)在直线在直线l:2x-y-4=0:2x-y-4=0的的两侧作两侧作A A关于直线关于直线l的对称点的对称点A A1 1(0(0，1)1)，当当A A1 1，B B，P P共线时距离之差最大，共线时距离之差最大，A A1 1B B的方程为的方程为:y-x-1=0.:y-x-1=0.联立方程得联立方程得 yx10,2xy40,解得解得 所以所以P P点的坐标是点的坐标是(5(5，6).6).答案答案:(5(5，6)6)x5,y6,【知识思维导图知识思维导图】
