1、微专题截长补短法构造线段和差微专题截长补短法构造线段和差(2020年年23(3)题题)题型九几何探究题题型九几何探究题（必考）（必考）截长补短法：截长补短法：具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明此某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明此方法适用于：当已知或求证中涉及线段的和方法适用于：当已知或求证中涉及线段的和(或差或差)等于另一条线段等于另一条线段(或几条线段的和或几条线段的和或差或差)时时模 型 分 析模 型 分 析
2、辅助线的作法有两种：辅助线的作法有两种：如图，在如图，在ABC中，中，C2B，12.1.截长法：截长法：在在AB上截取上截取AEAC，连接，连接DE，则有，则有ACDAED.2.补短法：补短法：延长延长AC到点到点F，使得，使得AFAB，连接，连接DF，则有，则有ABDAFD.1.1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，点，点E是是AB上一个动点，若上一个动点，若B60，ABBC，且，且DEC60.求证：求证：ADAEBC.模 型 应 用模 型 应 用第1题图证明：如解图，在证明：如解图，在BC上截取上截取BFBE，连接，连接EF，B60，BEF是等边三角形，是等边三角形，B
3、EEF，BEFBFE60，CFE120.又又ABBC，AECF.ADBC，BAD120.第1题解图在在EAD中，中，EDA180EADDEA60DEA.又又CEF180BEFDECDEA60DEA，CEFEDA.在在EAD和和CFE中，中，EADCFE(ASA)，ADEF，ADBE，ABADAE，ADAEBC.,EDACEFEA CFDAEEFC ，2.2.如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点F是是CD的中点，点的中点，点E是是BC边上的一点，且边上的一点，且AF平分平分DAE.求证：求证：AEECCD.第2题图证明：如解图，延长证明：如解图，延长AF交交BC的延长线于点的延长线于
4、点G，四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，DBCDGCF90，ADDC.在在ADF和和GCF中，中，ADFGCF(ASA)，DGCFDFCFAFDGFC ，第2题解图第2题解图ADCGCD，DAFG，AF平分平分DAE，EAFDAF，EAFG，AEEG.AEEGECCGECCD，AEECCD.【一题多解】如解图，在【一题多解】如解图，在AH上截取上截取HEEC，证得，证得ADFAHF，从而证得，从而证得AEECCD.1.若题中已知若题中已知45角，常通过角，常通过作垂线构造等腰直角三角形：作垂线构造等腰直角三角形：方 法 分 析方 法 分 析微专题由数量关系的微专题由数量关系的 、倍构造直
5、角三角形倍构造直角三角形(2020年年23(3)题题)2321类型一类型一 构造含构造含45角的直角三角形角的直角三角形(倍的数量关系倍的数量关系)(2020年年23(3)题题)22.若题中无若题中无45角，常通过寻找直角，作腰相等构造等腰直角三角形：角，常通过寻找直角，作腰相等构造等腰直角三角形：针 对 训 练针 对 训 练第1题图1.1.如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，CACB，过点，过点C作作CEAB于点于点E，点，点D在在AB的延的延长线上，连接长线上，连接CD，EF平分平分CED交交CD于点于点F，连接，连接BF，且，且BFCD.求证：求证：AECE EF.2证明：
6、如解图，过点证明：如解图，过点F作作FPEF，交，交AD于点于点P.CEAD，EF平分平分CED，1245.FPEF，6245.EFPF.PEEF.第1题解图又又BFCD，343590，即，即45.又又12，26，16.在在CFE和和BFP中，中，CFEBFP(ASA)BPCE.CACB，CEAB，AEBE.AECEBEBPPE EF.第1题解图1645EFPF ，21.若题中已知若题中已知30角，常通过作垂线构造含角，常通过作垂线构造含30角的直角三角形；角的直角三角形；方 法 分 析方 法 分 析类型二类型二 构造含构造含30角的直角三角形角的直角三角形(、倍的数量关系倍的数量关系)321
7、2.若题中无若题中无30角，常通过寻找直角，截长补短构造含角，常通过寻找直角，截长补短构造含30角的直角三角形角的直角三角形针 对 训 练针 对 训 练第2题图2.2.如图，已知等边三角形如图，已知等边三角形ABC，D是边是边AB上一点，连接上一点，连接CD，E是线段是线段CD上一点，上一点，连接连接AE，BE使得使得AEBE，且，且AED2BED.求证：求证：CE BE.33证明：如解图，在证明：如解图，在CD上截取上截取CFAE，过点，过点F作作FGBE于点于点G，连接，连接FB，第2题解图AEBE，AED2BED，AED60，BED30，EACACD60，ACDFCB60，EACFCB，
8、在在ACE 和和CBF中，中，ACECBF(SAS)，CEBF，AECCFB，第2题解图,ACCBEACFCBAECF ，BFDAED60，EBF30，BED30，EFB是等腰三角形，是等腰三角形，FGBE，EGGB，在在RtBFG中，中，BF BG，BF BE，CE BE.第2题解图2 333333微专题半角模型微专题半角模型(2018年年23(3)题，题，2014年年23(3)题题)如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，EAF45，绕点，绕点A顺时针旋转顺时针旋转ADF到到ABG，使，使AD与与AB重合重合模 型 分 析模 型 分 析模型一模型一90含含45的半角模型的半角模型(20
9、18年年23(3)题题)类型一类型一正方形的半角模型正方形的半角模型【结论】【结论】AEFAEG，EFEGBEDF.模 型 应 用模 型 应 用1.1.如图如图，在正方形在正方形ABCD中中，点点E、F分别在边分别在边BC、CD上上，且且EAF45，分别连接分别连接EF、BD，且且BD与与AF、AE分别相交于点分别相交于点M、N.(1)若若BE2，DF3，EF5，求正方形求正方形ABCD的边长；的边长；(2)求证：求证：AE平分平分BEF；(3)线段线段BN、MN、DM是否满足是否满足BN2DM2MN2，说明理由，说明理由第1题图(1)解：解：设正方形的边长为设正方形的边长为x，BE2，DF3
10、，CEx2，CFx3，在在RtCEF中中，EF5，EF2CE2CF2，52(x2)2(x3)2，解得解得x6或或1(舍舍)，正方形正方形ABCD的边长为的边长为6；AE平分平分BEF；ABADABGADFBGDF ，(2)证明：证明：如解图如解图，延长延长CB至点至点G，使使BGDF，连接连接AG，四边形四边形ABCD为正方形为正方形，ABAD，BADADFABEABG90，在在ABG和和ADF中中，ABGADF(SAS)，DAFBAG，AFAG，第1题解图ABADABGADFBGDF ，第1题解图DAFBAG，AFAG，GAEBAGBAEDAFBAEBADEAF904545EAF，在在AEF
11、和和AEG中中，AEFAEG(SAS)，BEAFEA，AE平分平分BEF；ABADHABMADAHAM ，(3)解：解：线段线段BN、MN、DM满足满足BN2DM2MN2.理由如下：如解图理由如下：如解图，在在AG上截取上截取AHAM，连接连接HN、BH，在在AHB和和AMD中中，AHBAMD(SAS)，BHDM，ABHADB45，第1题解图AHAMHANMANANAN ，又又ABD45，HBN90.BH2BN2HN2.在在AHN 和和AMN中中，AHNAMN(SAS)，MNHN.BN2DM2MN2.第1题解图模 型 分 析模 型 分 析类型二等腰三角形的半角模型类型二等腰三角形的半角模型如图
12、如图，在在RtBAC中中，BAC90，DAE45，绕点绕点A逆时针旋逆时针旋转转ABD到到ACF，使，使AB与与AC重合重合【结论】【结论】AEFAED，EFED，CFBD.模 型 应 用模 型 应 用2.2.如图如图，ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形，ABAC，BAC90，点点D、E在边在边BC上上，连接连接AD、AE，且且DAE45.(1)若若BAD20，求求AED的度数；的度数；(2)若若BAD15，求证：求证：DE2BD；(3)如图如图，过点过点C作作CFAC交交AE延长线于点延长线于点F，连接连接DF，求证：求证：ADF是等腰是等腰直角三角形直角三角形第2题图(1)解：解：AB
13、AC，BAC90，BC45，DAE45，BAD20，EAC90204525，AEDCEAC254570；(2)证明：证明：如解图如解图，将将AEC绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转90得到得到ABK，连接连接DK.BAKBADBADEAC904545，DAKDAE，第2题解图ADAD，AKAE，DAKDAE，ADEADKABDBAD60，DKDE，KDB60，ABKABC45，KBD90，BKD30，DK2BD，DKDE，DE2BD；第2题解图(3)证明：证明：CFAC，ACF90，ACBFCE45，DAE45，DAEFCE，AEDCEF，AEDCEF，=,AEDECEFE=,AECEDEFEAE
14、CDEF，AECDEF，DFEACE45，DAFDFE45，ADF是等腰直角三角形是等腰直角三角形模型二模型二120含含60的半角模型的半角模型(2014年年23(3)题题)如图如图，ABC是等边三角形是等边三角形，BDC是等腰三角形是等腰三角形，且且BDC120，以以D为顶点作一个为顶点作一个60角角，使其两边分别交使其两边分别交AB于点于点E，交交AC于点于点F，连接连接EF，绕点绕点D顺时针旋转顺时针旋转DBE到到DCG，使使DB与与DC重合重合模 型 分 析模 型 分 析【结论】【结论】DEFDGF，EFGFBECF.模 型 应 用模 型 应 用3.3.如图如图，ABC是正三角形是正三
15、角形，BDC是等腰三角形是等腰三角形，BDCD，BDC120，以以D为顶点作一个为顶点作一个60角角，角的两边角的两边分别交分别交AB、AC边于边于M、N两点两点，连连接接MN.(1)探究探究BM、MN、NC之间的关系之间的关系，并说明理由并说明理由(2)若若ABC的边长为的边长为2，求求AMN的周长的周长第3题图 解：解：(1)MNBMNC；理由如下：如解图理由如下：如解图，延长延长AC至至E，使得使得CEBM，连接连接DE，BDC为等腰三角形为等腰三角形，ABC为等边三角形为等边三角形，BDCD，DBCDCB，ABCACB60，又又BDDC，且且BDC120，DBCDCB30，ABCDBC
16、ACBDCB603090，MBDECD90，第3题解图第第3题解图题解图在在MBD与与ECD中中，MBDECD(SAS)，MDDE，BDMCDE，又又BDC120，MDN60，BDMNDCBDCMDN60，CDENDC60，即即NDE60，BD CDMBDECDBMCE ，MDNNDE60，在在DMN与与DEN中中，DMNDEN(SAS)，MNEN，又又NENCCE，BMCE，MNBMNC；DMDEMDNEDNDNDN ，第第3题解图题解图(2)ABC为等边三角形为等边三角形，ABBCAC2，由由(1)可得可得，BMCE，MNEN，AMN的周长的周长AMMNAN AMNEAN AMANNCCE
17、 AMANNCBM (AMBM)(NCAN)ABAC224.第第3题解图题解图一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，来证明三角形全等或相一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，来证明三角形全等或相似，当证明三角形全等时必须还有一组对应边相等似，当证明三角形全等时必须还有一组对应边相等.常见基本图形如下：常见基本图形如下：方 法 分 析方 法 分 析微专题一线三等角微专题一线三等角(2017、2013、2011年年23题题)(1)两个三角形在直线同侧两个三角形在直线同侧，点点P 在线段在线段AB上上锐角一线三等角锐角一线三等角直角一线三垂直直角一线三垂直钝角一线三等角钝角一线三等角已知：已知：
18、123.利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到一组对应角相等从而可得两三角形相似两个内角的和得到一组对应角相等从而可得两三角形相似【结论】【结论】CAPPBD；当当ACBP或或APBD或或CPPD时时，CAPPBD.(2)两个三角形在直线异侧两个三角形在直线异侧，点点P在在AB(或或BA)的延长线上的延长线上锐角一线三等角锐角一线三等角直角一线三垂直直角一线三垂直已知：已知：123.利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到一组对应角相等从而可得两三角形相似内角的和得到一组对应角相等从而
19、可得两三角形相似【结论】【结论】CAPPBD；当当ACBP或或APBD或或CPPD时时，CAPPBD.钝角一线三等角钝角一线三等角模 型 应 用模 型 应 用1.1.如图如图，在正方形在正方形ABCD中中，AB4，点点E是是DC延长线上的一点延长线上的一点，连接连接BE，过点过点E作作EFBE，与与AD的延长线交于点的延长线交于点F，若若CE2，求求DF的长的长第1题图解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形，BCEEDF90，EFBE，BEF90，=,BCCEEDDF 即即 42=,42DF CBEBEC90，BECDEF90，CBEDEF，BCEEDF，解得解得DF3.DF的长为的长为
20、3.2.2.如图如图，在矩形在矩形ABCD中中，已知已知ADAB.在边在边AD上取点上取点E，连接连接CE.过点过点E作作EFCE，与边与边AB的延长线交于点的延长线交于点F.(1)求证：求证：AEFDCE；(2)若若AB3，AE4，DE6，求线段求线段BF的长的长第2题图(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形是矩形，AD90，AEFF90.EFCE，CEDAEF90，CEDF，AEFDCE；(2)解：解：由由(1)知知，AEFDCE，ABCD3，AE4，DE6，解得解得BF5.BF的长为的长为5.=,AEAFDCDE33=,46BF 3.3.如图如图，在等边在等边ABC中中，BC8，过
21、过BC边上一点边上一点P，作作DPE60，分别与边分别与边AB，AC相交于点相交于点D与点与点E.(1)在图中找出与在图中找出与EPC始终相等的角始终相等的角，并说明理由；并说明理由；(2)若若PDE为正三角形为正三角形，求求BDCE的值的值解：解：(1)BDPEPC；理由如下：理由如下：ABC为等边三角形为等边三角形，B60.DPE60，DPEB.DPC是是BDP的外角的外角，DPEEPCBBDP，EPCBDP；第3题图(2)PDE为正三角形为正三角形，PDPE.在在BDP和和CPE中中，BDPCPE(AAS)，BDCP，BPCE，BDCECPBPBC8.BCBDPCPEPD EP ，4.4
22、.如图如图，在四边形在四边形ABCD中中，点点P在边在边AB上上(点点P不与点不与点A、B重合重合)，ABDPC.(1)求证：求证：DAPPBC.(2)若若PD5，PC10，BC9，求求AP的长的长(3)如图如图，在在ABC中中，ACBC4，AB6，点点P在边在边AB上上(点点P不与点不与点A、B重合重合)，连接连接CP，作作CPEA，PE与边与边BC交于点交于点E.当当CE3EB时时，求求AP的长的长第4题图(1)证明：证明：DPBAADP，DPCCPBAADP，ADPC，ADPCPB，AB，DAPPBC；(2)解：解：DAPPBC，AP ；=,PDAPCPBC5=,109AP459=102
23、由由(1)得得CAPPBE，ACBEAPBP，BC4，CE3EB，BE1，AC4，BPABAP6AP，AP(6AP)4，AP3 或或AP3 .=,ACAPBPBE55(3)解：解：ACBC，AB，CPEA，ACPEB，微专题手拉手模型微专题手拉手模型(2016、2015、2014年年23题，题，2011年年22题题)模 型 分 析模 型 分 析模型一共顶点两等腰三角形，旋转后产生全等三角形模型一共顶点两等腰三角形，旋转后产生全等三角形(2016、2015、2014年年23题题)模型展模型展示示模型特模型特点点在在ABC中中，ABABAC，在在ADE中中，ADADAE，BACBACDAE，绕绕公
24、共顶点公共顶点A旋转旋转，连接连接BD、CE交于点交于点P结论结论CAEBAD(SAS)，BDCE，BPCBAC(“8字型字型”证角证角相等相等)1.1.如图如图，ABD与与BCE都为等边三角形都为等边三角形，连接连接AE与与CD，延长延长AE交交CD于于点点H.(1)求证：求证：AHD60；(2)连接连接HB，求证：求证：HB平分平分AHC.模 型 应 用模 型 应 用第1题图证明：证明：(1)ABEABDEBD，DBCEBCEBD，ABDEBC60，ABEDBC.在在ABE和和DBC中中，ABEDBC(SAS)EABCDB.AHDABD60；ABDBABEDBCBEBC ，(2)如解图如解
25、图，过过B作作AH、DC的垂线的垂线，垂足分别为点垂足分别为点M、N.ABEDBC，SABESDBC.即即 AEBM CDBN.又又AECD，BMBN.HB平分平分AHC.1212第1题解图模 型 分 析模 型 分 析模型二共顶点的两个相似三角形，旋转后产生相似三角形模型二共顶点的两个相似三角形，旋转后产生相似三角形(2011年年22题题)模型展示模型展示模型特点模型特点AOCBOD，且绕公共顶点且绕公共顶点O旋转旋转总结总结AOBCOD，且且 =OAACOCOBBDOD 模 型 应 用模 型 应 用2.2.如图如图，在在ABC和和ADE中中，ACBAED90，连接连接BD、CE，EACDAB
26、.(1)求证：求证：ABCADE；(2)求证：求证：BADCAE；(3)已知已知BC4，AC3，AE .将将AED绕点绕点A旋转旋转，当点当点E落在线段落在线段CD上时上时，求求BD的长的长32第2题图(1)证明：证明：EACDAB，CABEAD，ACBAED90，ABCADE；(2)证明：证明：由由(1)知知ABCADE，EACBAD，BADCAE；=,ACAEABAD(3)解：解：ACB90，BC4，AC3，AB ，ABCADE，AD 如解图如解图，将将AED绕点绕点A旋转旋转，当点当点E落在线段落在线段CD上时上时，AECADB90，BD 2222435BCAC =,ACABAEAD5,
27、2AB AEAC 22225553.22ABAD 第2题解图微专题微专题 十字模型十字模型(2017年年23题题)(1)如图，经过顶点：在正方形如图，经过顶点：在正方形ABCD中，中，AEBF，借助，借助“同角的余角相等同角的余角相等”模型一模型一 正方形类十字模型正方形类十字模型(2012017 7年年2 23 3题题)模型分析模型分析可证可证ADEBAF，从而可得，从而可得AEBF.(2)如图，不经过顶点：在正方形如图，不经过顶点：在正方形ABCD中，中，E，F，G，H分别为分别为AB、BC、CD、DA边上的点，其中边上的点，其中EGFH.构选全等三角形，可得构选全等三角形，可得EGFH.
28、(注意：在正方形的对注意：在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直)模 型 应 用模 型 应 用1.已知正方形已知正方形ABCD.(1)如图，如图，E是是AD上一点，过上一点，过BE上一点上一点O作作BE的垂线，交的垂线，交AB于点于点G，交，交CD于点于点H，求证：，求证：BEGH；第1题图（1）证明：如解图，过点）证明：如解图，过点A作作GH的平行线，交的平行线，交DC于点于点H，交，交BE于点于点O.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，D90，HADAHD90.GHBE，AHGH，AHBE
29、.HADBEA90.第1题解图BEAAHD.在在BAE和和ADH中，中，BAEADH(AAS)，BEAHGH；,BEAAHDBAEDBAAD (2)如图，过正方形如图，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交分别交AD，BC于点于点E，F，交，交AB，CD于点于点G，H，求证：，求证：EFGH.(2)解：如解图，过解：如解图，过E作作EMBC，过，过G作作GNCD，GN交交EF于点于点Q.EMFGNH90，又又GHEF，EOGGOF90，MEFEQG90，NGHEQG90，MEFNGH，又又GNEM，EMFGNH，EFGH.第1题解图第1题图模型二
30、模型二 矩形类十字模型矩形类十字模型模型分析模型分析(1)如图，经过顶点：在矩形如图，经过顶点：在矩形ABCD中，中，ABa，ADb，其中，其中AEBF.探探究究AE与与BF的关系；的关系；可证：可证：ADEBAF AE BF.AEBFADBAbaba(2)如图，不经过顶点：在矩形如图，不经过顶点：在矩形ABCD中，中，ABa，ADb，E、F、G、H分别为分别为AB、BC、CD、DA边上的点其中边上的点其中EGFH，探究，探究EG与与FH的关系；的关系；过过B作作BMFH交交AD于于M.过过A作作ANEG交交CD于于N，可证：，可证：ADNBAM =EG FH.EGFHANBMbabaADBA
31、模 型 应 用模 型 应 用2.如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD，点，点E为为AD上一点，上一点，BEAC于于F点点(1)若若AEAD，SAEF1，求，求ABC的面积；的面积；第2题图解：解：(1)四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC，ADBC，AEFCBF，AE AD，BF3EF，CF3AF，SAEF1，SCBF9SAEF9，SABF3SAEF3，SABCSABFSCBF12；AFCFEFBFAECB13(2)若若AD4，tanEAF ，求，求AF的长的长解：解：AD4，tanEAF ，DCADtanEAF2，ABDC2，EAFBAF90，BAFABF90，EAFABF，tanA
32、BF ，即，即BF2AF，AF2BF2AB2，AF2(2AF)24，AF .12AFBF122 5512典例精讲典例精讲类型一与全等三角形有关的问题类型一与全等三角形有关的问题(2014、2011年年23题题)例例1(2020合肥瑶海区二模改编合肥瑶海区二模改编)如图，在等边如图，在等边ABC中，中，AB6，BDCE,AD、BE交于点交于点F.(1)求证：求证：ABD BCE；例1题图解：解：(1)ABC是等边三角形，是等边三角形，ABACBC，ABDC60，在在ABD和和BCE中，中，ABDBCE(SAS)；60,ABBCABDBCEBDCE 【思维教练】根据【思维教练】根据BDCE，又因为
33、，又因为ABC为等边三角形可得边的关为等边三角形可得边的关系系 ，角的关系，角的关系 所以可得所以可得ABD BCE.ABBCCABCBAC60(2)当当FAE45时，求时，求AE的值；的值；【思维教练】由【思维教练】由(1)可知，可知，EBCBAD，所以，所以ABEFAE45，又因为，又因为BAE60，AB6，考虑，考虑ABE中有两个特殊角，通过作垂线构造两个特殊直中有两个特殊角，通过作垂线构造两个特殊直角三角形，简化图如下图，若设角三角形，简化图如下图，若设AHa，则其余边均可表示出来，因为，则其余边均可表示出来，因为AB6，所，所以可列等式即可求得以可列等式即可求得AE的长的长解：如解图
34、，作解：如解图，作EHAB，垂足为，垂足为H，设，设AHa，BAE60，ABE45，HEHB a，即即a a6，解得，解得a3 3，AE 2AH2a6 6.例1题解图333cos60AH 3(3)如图，连接如图，连接FC，若，若CFAD时，求证：时，求证：BDCD.【思维教练】考虑【思维教练】考虑F点在等边三角形内部，通常考虑将点在等边三角形内部，通常考虑将ABF绕绕A点旋转，构造等点旋转，构造等边三角形，可以延长边三角形，可以延长BE至至G，使得，使得FGFA，结合，结合(1)的结论的结论AFG60，可得，可得AFG为为 ，从而可证得，从而可证得 ，所以，所以AGCAFB例1题图等边三角形等
35、边三角形ABF AGC_，所以所以FGC60，所以，所以AFCG，此时，此时 ，而，而BFCG，CG和和FG关系由关系由GFC30，GCF90可得，问题得以证明可得，问题得以证明证明：如解图，延长证明：如解图，延长BE至至G，使，使FGAF，连接，连接AG，CG，由由(1)知知AFE60，BADCBE，AFG是等边三角形，是等边三角形，例1题解图BDBFDCFG 120FAG60，AFAG，BACFAG60，BACCADFAGCAD，即，即BAFCAG，在在BAF和和CAG中，中，BAFCAG(SAS)，ABFACG，CGBF，又又ABCBAC，BADCBE，ABCCBEBACBAD，即，即A
36、BFCAF，ABACBAFCAGAFAG ，ACGCAF，AFCG，AFC90，AFE60，CFCG，CFG30，FG2CG，FG2BF，FDCG，BFDBGC，BD DC.BFFG12BDDC12类型二与相似三角形有关的问题类型二与相似三角形有关的问题(2019年年23题题,2012/2011年年22题题)典例精讲典例精讲例例2(2020滁州模拟滁州模拟)已知，在已知，在ABC中，中，ABC90，(1)如图，分别过如图，分别过A、C两点作经过点两点作经过点B的直线的直线MN的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为M、N.求证：求证：AMBBNC；例2题图证明：证明：ABC90，ABMCBN90，
37、AMBM，ABMBAM90，BAMCBN，BAMCBN，AMBBNC90，AMBBNC；【思维教练】欲证明【思维教练】欲证明AMBBNC，可将图形简化得到一线三垂直模型，可将图形简化得到一线三垂直模型，根据同角的余角相等，可证另外一组角相等，即可证相似根据同角的余角相等，可证另外一组角相等，即可证相似若若AMBABC，求证：，求证：ACAMCN；【思维教练】【思维教练】由由AMBABC可得可得MABBAC，即，即BA平分平分MAC，根据，根据角平分线性质想到此处用到的辅助线为角平分线性质想到此处用到的辅助线为 ，由，由CNBN，同理结，同理结合已证明的结论合已证明的结论AMBBNC，可得类似条
38、件，可得类似条件 ，即即 从而根据证明三角形全等进行线段之间的等量代换，从而从而根据证明三角形全等进行线段之间的等量代换，从而可求证可求证证明：如解图，作证明：如解图，作BPAC于于P，则则APBABC90，又，又BAPCAB，APBABC，例2题解图作作BPAC于点于点PAMBAPBBAMBAP令令AMBABC，AMBAPB，BAMBAP，在在BAM和和BAP中，中，AMBAPB(AAS)，APAM，同理可证，同理可证，CPCN，ACAPCPAMCN；AMBAPBBAMBAPABAB ，（2）如图，点）如图，点D是是CA延长线上的一点，延长线上的一点，DEEB，AEAB，AD BC CA3
39、3 5，求，求 的值的值【思维教练】【思维教练】考虑到承接上一小问，尽可能利用上问结论，需要构造考虑到承接上一小问，尽可能利用上问结论，需要构造k字形相似模字形相似模型，对比可发现，需要过型，对比可发现，需要过A点向点向BE所在直线作垂线，如下图所示，所在直线作垂线，如下图所示，AMBE，CNBE，垂足分别为，垂足分别为M、N，此时构造出上一问结论模型，这是我们做几何压轴，此时构造出上一问结论模型，这是我们做几何压轴EBBC例2题图题常用思维之一同时，由条件题常用思维之一同时，由条件AEAB，结合，结合AMBE，可得，可得 ，同时，由条件同时，由条件DEAMCN，可得，可得 ，再根据线段之间的
40、比例关系求，再根据线段之间的比例关系求得得 的值的值EBBC解：解：设如解图，过点设如解图，过点A作作AMBE于于M，过点，过点C作作CNBE交交EB的延长线于的延长线于N，DEB90，CNAMDE，例2题解图35ADEMACMN 12EMMBEB 令令 ,在在RtABC中，中，,由由(1)可知，可知，AMBBNC,AEAB，AMBE，EMMB，EM BM BN3 3 2，BM BN CN12 8 9,设设BM12k，则，则BN8k，CN9k，此时在，此时在RtBCN中，中，BC k.ADAC35EMMN35BCACBCAB3443BMCNABBCkk2 22 2（9 9）+(8 8)145B
41、EBC24145kk24 145145类型三与全等和相似三角形有关的问题类型三与全等和相似三角形有关的问题(2020、2017、2016、2015、2013年年23题题)典例精讲典例精讲例例3(2020安徽安徽)如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD是矩形，点是矩形，点E在在BA的延长线上，的延长线上，AEAD，EC与与BD相交于点相交于点G，与，与AD相交于点相交于点F，AFAB.(1)求证：求证：BDEC；例3题图证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，点是矩形，点E在在BA的延长线上，的延长线上，EAFDAB90，又又AEAD，AFAB，AEFADB，AEFADB，GEBGBEADBA
42、BD90，EGB90，即，即BDEC；【思维教练】要证【思维教练】要证BDEC，则需证，则需证 ，根据题干得到条件，根据题干得到条件AEAD，AFAB，四边形，四边形ABCD是矩形是矩形(DAB90)，可得，可得AEFADB，即得即得 ，再根据角度之间的转换从而可求证，再根据角度之间的转换从而可求证.EGB90AEFADB(2)若若AB1，求，求AE的长；的长；【思维教练】已知【思维教练】已知AB1，AFAB，AF_，要求，要求AE的长，观察图形可的长，观察图形可得如下简化后得如下简化后2个三角形相似，若设个三角形相似，若设AEADa，可得，可得DF_，可根，可根据两三角形相似列比例式为据两三
43、角形相似列比例式为_，再化简求解即可求得，再化简求解即可求得AE的长的长1a1AEAFDCDF 解：解：由矩形性质知由矩形性质知AECD，AEFDCF，EAFCDF，AEFDCF，即，即AEDFAFDC，设设AEADa(a0)，则，则DFa1，则有则有a(a1)1，化简得化简得a2a10，解得解得a1 ，a2 (舍舍)，AE的长为的长为 ；AEAFDCDF 152 152 152（3）如图，连接）如图，连接AG，求证：，求证：EGDG AG.【思维教练】根据题干可得要证的是【思维教练】根据题干可得要证的是EGDGAG，观察这个式子出现，观察这个式子出现AG，则需，则需想到要构造等腰直角三角形，
44、将想到要构造等腰直角三角形，将AG放在等腰直角三角形中才可能出现放在等腰直角三角形中才可能出现AG，根据，根据条件条件AEAD及由及由(1)知的知的BDA_，可想到在线段，可想到在线段EG上取一点上取一点P，使，使2例3题图AEP得得EPDG，构造，构造AEP与与ADG全等，证明全等，证明PAG为为 ，根据线段的等量代换从而得证根据线段的等量代换从而得证等腰直角三角形等腰直角三角形证明：如解图，在线段证明：如解图，在线段EG上取点上取点P，使得，使得EPDG，连接，连接AP，在在AEP与与ADG中，中，AEP ADG(SAS)，APAG，EAPDAG，PAGPADDAGPADEAPDAE90，PAG为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，EGDGEGEPPG AG.2,AEADAEPADGEPDG 例3题解图【一题多解】【一题多解】证明：如解图，过点证明：如解图，过点A作作AG的垂线，与的垂线，与DB的延长线交于点的延长线交于点Q，EAG90DAGDAQ，在在AEG与与ADQ中，中，AEG ADQ(ASA)，EGDQ，AGAQ，AGQ为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，EGDGDQDGQG AG.2,AEGADQAEADEAGADQ 例3题解图
