1、第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化u 矩阵的特征值矩阵的特征值u 矩阵的特征向量矩阵的特征向量u 矩阵可对角化的条矩阵可对角化的条件件5.1 预备知识一.向量的内积 在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系.内积定义：夹 角：向量的长度：cosx yx yarccosx yx yxx x123123112233(,)(,)x x xy yyx yx yx yx y1212,TTnnx xxy yyxy内积的坐标表示式：令1122,nnx yx yx yx y称为向量x x与y y的内积内积.定义1 设有n维向量 123123,x x xy yyxy
2、(1)向量x x与y y的内积是一个实数,注:(2)常用符号(x x,y y)=x x,y y=x xy y.(3)零向量与任一向量的内积内积为0.当x x与y y都是列向量时,可以用矩阵乘法表示内积内积为例1已知=(1,2,1,1)T T,=(2,3,1,1)T T则 =,=12+23+(1)1+1(1)=6也称点积,数量积.“”x x,y y=x xT Ty y=y yT Tx x 不可省略.性质:（其中x x,y y,z z 为n 维向量，为实数):,x yy x（1）,x yx y（2）,xy zx zy z（3）,0,x x（4）当且仅当 时等号x 0成立.(以上性质显然成立)222
3、12,nxx xxxx定义2nx称为 维向量 的长度长度（或范数范数）.令设x x=(x1,x2,xn)T显然|x x|0,当|x x|=1时,称x x为单位向量,零向量的长度为0.=(a1,a2)2212aa =(a1,a2,a3)222123aaan维向量的长度是二维、三维的推广.在R2中，在R3中，证:向量的长度具有下述性质性质：（1）非负性：0;x（2）齐次性：;xx（3）三角不等式：.xyxy为实数（1）显然成立.下面证明（2）和（3）.即数乘向量x的长度|x|等于|与|x|的乘积.(2),xxx根据上式可知，设是非零向量，是一个单位向量.则这是因为任一非零向量除以它的长度后就成了单
4、位向量.这一过程称为将向量单位化将向量单位化.2,x xx111(3)2,xyxy xy所以xyxy,2,x xx yy y222xxyy,2,x xxyy y2xy2,x yx xy y,x yxy,10 x yxyxy当时由此得当且仅当 x x与y y线性相关时，等号才成立对任意n维向量x x,y yCauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式不等式：有此不等式还可表示为如果x与y线性相关，不妨设y=kx,则有证：x,y2设x与y线性无关，tx+y0，tx+y,tx+y0即t2x,x+2tx,y+y,y 0的判别式一定小于零.即x,y2x,xy,y0或x,y2x,xy,y
5、那么对于任意实数t 来说，于是 最后不等式左端是t的一个二次三项式，由于它对于t的任意实数值来说都是正数，所以它=x,kx2=k2x,x2=x,xy,y定义3 当 时，0,0 xy,arccosx yxy定义4 当 时，,0 x y nxy称为 维向量 与 的夹角夹角.xy称向量 与 正交正交(或垂直垂直).定义4，则称x x与y y正交正交.如果x x与y y的夹角为2显然，零向量与任何向量都正交.若一个向量组中任意两个向量都正交，若一个正交正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为正交规范向量组正交规范向量组或标准正交向量组标准正交向量组.则称此向量组为正交向量组正交向量组.定义5
6、例2设=(1,0,2)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.解:=1 (1)+00+21=1222=102=5 222=-101=2 所以与的夹角 的余弦110cos1010 10arccos10例3解:=0=3=2cos0 2设=(1,1,1)T,=(1,0,1)T,求与的夹角.例4 Rn中的e1,e2,en 是一组两两正交的向量若ij,显然有eiej=0例5是R4的一个标准正交向量组.可以验证111,0,022211,0,0223110,0,224110,0,22的非零向量组，证：k11+k22+krr=0 0=i(k11+k22+krr)但ii 0,则1,2,r线性无关.若n维向量1,2,
7、r是一组两两正交设有实数k1,k2,kr 使得因为当ij时,i j=0,所以所以1,2,r线性无关.定理10=i0 0=ki(ii)所以ki=0,i=1,2,n.定理3Rn中任一非零正交向量组中向量的个数不会超过n.在Rn中,如果与1,2,r中每一个向量正交,证：k11+k22+krr为1,2,r的一个线性组合因为i=0 (i=1,2,r)所以110rriiiiiikk 定理2则与1,2,r任意一个线性组合也正交.12111,1,12 求非零向量 ,使 成为正交向量组.3123,1323,xxx13230,0TT 已知 设则例6解：1231 110,1 120 xxx 即1 111 12112
8、23,TTxxx0由123,0 xxx 得11,0从而有基础解系 111003110,0013110取即合所求.二二.SchmidtSchmidt正交化方法 设,是Rn中的两个向量，定义2 记 称 为向量 在 上的投影纯量.记称向量 为向量 在 上的投影向量.SchmidtSchmidt正交化方法是将一组线性无关的向量12,r 作如下的线性变换，化为一组与之等价的正交向量组 的方法：12,r 11;1222111,;,1.SchmidtSchmidt正交化令1111,rrrrr12121122,rrrr 可以证明：12,r 两两正交，向量组 与12,k 12,k 等价.1kkr且对任何2.标准
9、化（单位化）令则1,2,r就是一组长度都是1的正交向量组.111,222,rrr先正交化，后标准化，次序不可颠倒.注：1121,11232311,1,4110 例7 将 正交规范化.先将1，2，3进行正交化，取解:1222111,32145111,63111 1323331211220,2.,2 111211,61333011.21 再将它们单位化，取 123,则 即为所求.2221113112221,001例8 已知 1 =(1,2,2)T,求非零向量 2,3,2,3应满足方程 1Tx x=0，它的基础解系为取 2=1=210使 1,2,3成为正交向量组.解:即x1+2x2+2x3=0将1,
10、2正交化,3=222222,则 2,3就是所求.2240151021455TTAAA AE定义6 如果n阶方阵A A 满足 3.正交矩阵（即A1=AT）那么称A为正交矩阵正交矩阵(简称正交阵正交阵).正交矩阵具有如下性质：1.若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵.2.两个正交阵的乘积仍是正交阵.3.正交阵的行列式等于1或1.4.正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1.5.正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和 等于0.证：1.因为(A)=A,所以A =A1也是正交阵.2.设A,B都是正交阵,则(AB)(AB)=3.设A是正交阵,而|AA|=因此|A|2=1,(AB)(BA)=A(BB)
11、A=AEA=AA=E则 AA=E,|AA|=|E|=1|A|A|=|A|2即|A|=1设A是正交阵,即 AA=E,12nA其中i=(ai1,ai2,ain).4.和 5.将A写成行向量的形式则A的转置A=12,n 其中12iiiinaaa 1212,nnAA 111212122212nnnnnn 10ijijij 其中当i=j时，当ij时，22212.1iiiiinaaa 11.0ijijinjna aa a 这样，性质4.和5.得证.列的情况可以通过 AA=E 加以证明定理4 A A为正交矩阵的充要条件是A A的行（列）向量组为正交规范向量组.证：由性质4,5可以直接推出正交矩阵举例：(1)
12、n 阶单位矩阵Encossin.sincos(2)例92000cossin770sincos77xA已知A是正交阵，求x.解：根据定理4设123A则11=1即(2x)2+02+02=1 x=12设.Tx xxTTTyy yx P Px设 为正交变换，则有yPxyPx定义7 若P为正交矩阵，则线性变换这说明，正交变换不改变向量的长度.称为正交变换正交变换.5.2 特征值和特征向量1.概念定义1 设A是 n阶方阵，如果数和n维非零相应的非零列向量x x称为A的对应于特征值 的特征向量特征向量.方阵A的特征值特征值；列向量x x使关系式Ax x=x x (1)成立，则称是此处可能是复数，注：也可能是
13、复数.A的元素和x x的分量(E A)x x=0 )此为n 元齐次线性方程组(AE)x x=0|A E|=0将(1)改写成(或改写为它有非零解的充要条件是(2)1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa即定义称为A的特征矩阵特征矩阵;其行列式|AE|是的n次多项式,记为f()，显然，A的特征值就是A的特征方程方程|AE|=0称为A的特征方程特征方程.|AE|=0的根，因此，特征值也称为特征根.称为A的特征多项式特征多项式;A为n阶方阵，含有未知量的矩阵AE 方程组(AE)x x=0的每一个非零解向量，都是与相应的特征向量.定理1 任一n阶矩阵A A必有n个复的特征值.证:因为一元
14、n次方程必有n个复数根(包括重根),所以特征方程|AI|=0有n个复数根，即A A有n个复的特征值.定理2 若x x是A的关于特征值0的特征向量,证:若Ax x=0 x x，Ax x=0 x x则0 x x=0 x x，x x0，且又是关于特征值0的特征向量,则0=0 00=0(00)x x=0定理3证:(其中k1，k2为任意常数，且k1+k20).k1+k2也是(AE)x x=0解.设和 均是A的特征值的特征向量，则线性组合k1+k2也是A的特征值的特征向量.根据定义,均为齐次线性方程组(AE)x x=0的解,由齐次线性方程组的解的性质，A已知2125312Aab111试确定参数 a,b由特
15、征值和特征向量的定义可知，及特征向量 所对应的特征值.例1是的一个特征向量，解:3,0,1ab 1,2,1ab 121ab2121153111211ab即于是所以故2.特征值和特征向量的求法;AEAn（1）求出 阶方阵 的特征多项式 求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：0AEi（2）求出特征方程 的全部根 ，i（3）把每个特征值 代入线性方程组A 即是 的特征值；求出基础解系，基础解系的线性组合（零向量除外）就是Ai对应于 的全部特征向量(AE)x x=034(7)(2),52例2 求矩阵 的特征值和特征向量3452A解:A A的特征多项式为 所以 A A的特征值为 122,7.12 当 时
16、，对应的特征向量应满足 AE12540540 xx 于是，的对应 的全部特征向量为A12 145p容易求得方程组的一个基础解系为 12440550 xx 当 时，2711c p10c（为常数）211p 解得基础解系 27A于是，的对应 的全部特征向量为 22c p（为常数）20c 3.特征值和特征向量的性质 设 A是n阶方阵，则 A与 AT有相同的特征值.(特征向量未必相同)定理4证:因为(AE)T|ATE|所以=AT(E)T=AT E =|(AE)T|=|AE|即 A与 AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.*定理5 设是方阵 A的特征值，k,m是正整数，则(1)c是cA的特征值(c是
17、任意常数).(2)当A可逆时，1是A1的特征值.(3)k是 Ak的特征值.*(4)01()mmfaaa是01()mmf Aa Ea Aa A的特征值.证:(1)所以 c(Ax x)=c(x x)(2)因为 Ax x=x x,且A可逆,x x=(A1x x)所以 A1(Ax x)=A1(x x)即A1x x=1x即(cA)x x=(c)x.因为 Ax x=x x=(A1x x)(3)因为 Ax x=x x,两端同时左乘 A，得A2x x=A(x x)=(Ax x)=2x x两端再同时左乘 A，得A3x x=A(2x x)=2(Ax x)=3x x依此类推，得Amx x=mx x(4)可由(1)，
18、(3)推出12,n n()ijAan定理6 设 阶方阵 的 个特征值为1niiia11nniiiiia(1)角元之和，称为矩阵矩阵A的迹的迹,1.niiA(2)n阶方阵A可逆的充要条件是它的则推论任一特征值都不等于零.是A的主对其中记作tr(A)定义的迹，矩阵的迹有如下的性质：(1)tr(A+B)=trA+trB(3)tr(AT)=tr(A)(2)tr(kA)=ktr(A)n阶方阵A的主对角线上元素之和称为矩阵A记为tr(A).即tr(A)=a11+a22+ann(4)tr(AB)=tr(BA)(5)tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)A,B,C均为n阶方阵定理6的证明：把矩阵A的特
19、征多项式|EA|记为fA(),将这个行列式展开，得到一个关于的n次多项式，其最高次项n出现在主对角元的乘积(a11)(a22)(ann)中，主对角线上的元素，行列式的展开式中其余的项至多含有n2个因此，(a11)(a22)(ann)中.fA()=n(a11+a22+ann)n1+(1)这里没有写出的项的次数至多是n2.在(1)式中，令=0,得到fA(0)=(1)n|A|,fA()是(a11)(a22)(ann)因此，fA()中次数大于n2的项只出现在乘积和一个至多是的一个n2次多项式之和.也就是说，A的特征多项式fA()=|EA|的常数项等于(1)n|A|.所以设1，2，n是矩阵A的全部特征根
20、，fA()=(1)(2)(n)=n(1+n)n1+(1)n12n因此,有1+2+n=a11+ann 12n=|A|那么,m12,m A定理7 设 是方阵 的 个特征值，12,mp pp依次是与之对应的特征向量.12,m 如果 各不相等，则 12,mp pp线性无关.(证明参见教材)注：方阵A的同一特征根的特征向量未必线性相关.11,例3 三阶方阵 A A的三个特征值分别为*32.AAE求21,32*32AAE*1AA A故A可逆1232,A 而所以解：1232AAE A 13,11,23,232所以(A A)的特征值为则(A A)的特征值为若A A的特征值为于是*32AAAE 1339.设有四
21、阶方阵A满足条件|3E+A|=0,AA=2E,例4由|3E+A|=0，有|A(3)E|=0,解:又|AA|=|2E|=24|E|=16所以|AA|=|A|A|=|A|2=16|A|=4A*的一个特征值.|A|0,其中E是四阶单位阵.求方阵A的伴随阵=3.因为|A|0,所以|A|=4.得A的一个特征值设A的属于=3的特征向量为，则 A1=13又所以|A|A1=13A即A*=43故A*的一个特征值为43|A|=4，A*=|A|A1,例5设方阵A满足AA=E,|A|02=0|=1A=则A=(A)=()A(A)=()由AA=E=2特征值的绝对值等于1.E为单位阵.试证A的实特征向量所对应的例6 设矩阵
22、A满足A2 3A+2E=0 0,证明A的特征值只能证:设为A的特征值，=(2 3+2)所以2 3+2=0，故=1 或 2则 A =，于是取值或 2.为其对应的特征向量(0)0 0=(A23A+2E)=A2 3A+2 因为 0，4.应用（发展与环保问题）为了定量分析工业发展与环境污染的关系，某地区提出如下增长模型：(1,2,)k 111181332733kkkkkkxxyyxy kkykx和 为第 个周期后的污染损耗和工业产值.0,.kkA210210,AAA 11811273kkkkxxyy即1(1,2,).kkAk或0由此模型及当前的水平 ，可以预测若干发展周期后的水平：2813356273
23、3AE下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，A A的特征多项式为 122,3.所以，A A的特征值为来计算A A的幂.为此，先计算 A A的特征值.20AE x121)对于特征值 ，解齐次线性方程组11.2p 的一个特征向量232)对于特征值 ，解齐次线性方程组30AE x的一个特征向量21.1p12A可得 的属于23A可得 的属于0111122nnnnnAA pp kn1p0如果当前的水平 恰好等于 ，则 时，12,2.nnnnxy即它表明，经过n个发展周期后，工业产值已达12n到一个相当高的水平，但其中一半被污染损耗(2n)所抵消，造成资源的严重浪费.10 2320 23nnnn1210
24、 23nnpp01119如果当前的水平 ，则不能直接应用上述方法分析.01210nnnnAA pA p于是01210,pp此时由于4241,x 4n 特别地，当 时，污染损耗为由上面的分析可以看出：4239y 工业产值为 ，损耗已超过了产值，经济将出现负增长.2pA尽管 的特征向量 没有实际意义0但任一具有实际意义的向量都可以表示为1,p2p的线性组合2p从而在分析过程中，仍具有重要作用.2p因 中含负分量5.3 相似矩阵1.概念与性质 定义1 设A A,B B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P P，1P APAA对 进行运算 称为对 进行相似变换相似变换.P可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵相
25、似变换矩阵.BA1P APB使 则称B B是A A 的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵A A与B B相似.相似矩阵有下列基本性质：(1)反身性:(2)对称性:(3)传递性:A与A 相似 若A与B 相似，则B与A也相似若A与B 相似，B与C相似，则A与C相似(A,B,C为n阶方阵)(根据定义可直接推出上述性质)若A与B相似，则(1)A与 B有相同的特征多项式和特征值；;AB(2)()();R AR B(3)(4)Am与Bm也相似，其中m为正整数.(5)相似矩阵或都可逆或都不可逆，定理1当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.(证明参见教材)定理2证:若P1AP=B，0是A与B的某个特征值，若x x是A关于
26、0的特征向量，P 1x x是B 的关于0的特征向量.根据已知,Ax x=0 x x 即P1x x是B的关于0的特征向量.B(P1x x)=P10 x x两边同时左乘P1,PBP1x x=0 x x则A=PBP1所以即又因为P1AP=B得到=0 (P1x x)定理3证:若n阶方阵A与对角阵由定理1,相似阵有相同的特征值,则1,2,n是A的n个特征值.12n 相似,也是 A的特征值.因此1,2,n既是的特征值,2.矩阵可对角化的条件 使 P1AP=为对角阵,若方阵A相似于一个对角矩阵,定义则称A可以对角化.1P AP 使 为对角阵.把方阵A对角化，即存在可逆阵P,即求相似变换阵P如果n阶方阵A有n
27、个互不相等的特征值，是A有n个线性无关的特征向量.则A与对角矩阵相似.定理4n阶方阵A相似于n阶对角矩阵的充要条件推论(证明参见教材)从定理的证明过程中，我们可以看出把一个(1)先求出A的全部特征根.*(3)如果对每一个特征根来说,相应的齐次线性(2)对每一个特征根，求出齐次线性方程组(AE)X=0 0的基础解系.数,则A可以对角化,否则不能对角化.方程组的基础解系所含解向量的个数等于的重矩阵对角化的具体步骤：(4)以这些解向量为列,作一个n阶矩阵P,则P1AP为对角形矩阵.例1求可逆矩阵P,使P1AP为对角矩阵.A=321222361解：A的特征多项式为|EA|=(2)2(+4)(1)当1=
28、4时，代入齐次线性方程组特征根为1=4，2=3=2(E A)x=0 0即123721022203630 xxx 基础解系为13231(2)当2=3=2时，代入齐次线性方程组即123121024203630 xxx 基础解系为211,001 (E A)x x=0 0A有3个线性无关的特征向量，因此 A可以对角化取12132103101P 则P1AP=422例2的特征值为1=2=3，3=12，求x值，已知矩阵A=74147144x解:根据1+2+3=a11+a22+a33于是3+3+12=7+7+x得 x=4并问矩阵A是否可以对角化.对于1=2=3，解齐次线性方程组(3E EA A)X=0 123
29、123123440440440 xxxxxxxxx即得特征向量12111,004 对于3=12，解齐次线性方程组(12E EA A)X X=0 1231231235404504480 xxxxxxxxx即得特征向量3111 因此1,2,3线 性无关，故矩阵A A可对角化例3相似，求x，y值.设方阵A=12422421x解(1)2(x)16(x)8(1)+32=0 (*)由对角阵的对角元素与原方阵特征值的关系，与对角阵=54y由|EA|=0 有可知=5,=4均为方程(*)的解，于是将=4代入方程(*)，得25(x+4)16(x+4)72=0又又 1+2+3=a11+a22+a33即 1+4+1=
30、5+y 4 x=4 y=5例4 已知矩阵10002000By200223 11Ax与相似.yx（1）求 与 ；（2）求一个可逆矩阵 ，使 1;P APBP100.A（3）求(1)(2)()y2(2)(1)2xx20010022020,31100 xy AEBE解：(1)因A与B相似，故 即1230012,1,0111ppp 1 0 x 将 代入有 ；A（2）的特征值为1，2，2，2.y 2 将 代入有()0AE x解齐次线性方程组可分别求得A的特征值对应的特征向量111 112123300P1001001,APBP123001(,)210,111Pp pp 于是所求可逆矩阵 1.P APB使1
31、APBP（3）由于 ，于是 100100100(1)0002000(2)001210111100A所以11 1121233001001011001011001001013 200122222231 22121设A=使P1AP=再求An 求：An110220421110例5解：先求P，容易求出A的特征值为1，1，0=PP1n=PnP15.4 实对称矩阵的相似矩阵定义设A,B是两个n阶实矩阵,如果存在一个对于正交阵P,正交阵P,使得P1AP =B,则称A与B正交相似.因此,此时有PAP =B.有P1=P,1.实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵A的特征值均为实数.定理1证：设是A的特征值，并设 x
32、x=(x1,x2,xn)T0 0是的特征向量,(只需证明即可)(1)式两边取共轭，则Ax x=x x (1)Axx根据共轭复数的性质，有Axx因为A是实对称矩阵，(2)有TAAA(2)式两边取转置，TTAxx则TTAxx上式两边同时右乘x x，TAxxTAxxTTxxx x所以TTx xx x即0Tx x=但 x x0 0所以0Tx x因此实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.定理2证：设1,2是实对称阵A的两个不同特征值，1，2分别是1,2特征向量，则111A222A 由111TTA得1111TTTTAA上式两边同时右乘2，有11212TTA 122T 212T 因此有21120T
33、 因为21所以120T 即120 即1，2正交.注：普通方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，定理3特征值恰有r个线性无关的特征向量.则矩阵A E的秩为nr，从而对应(证明略)2.实对称矩阵的相似理论 定理4 任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似.定理5设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩 阵P,使P1AP=,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.(以上两个定理的证明参见教材)3.实对称矩阵对角化方法 n阶实对称矩阵A对角化的具体步骤:(2)求出A的属于各特征值的特征向量，将属于(3)将所求的正交向量组单位化.(4)用已标准正交化的特征向量作为列向量得到正
34、交阵P.同一特征值的特征向量用施密特方法正交化.(1)求出A的所有特征值2(3)(1)100021012AE100021,012A例1 设求一个正交矩阵P，1P AP 使 为对角矩阵.A的特征方程为 解:(3)0AE x13当 时，解方程组 得101,1 基础解系101121p 单位化后得()0AE x当 时，解方程组2311233,1.A故 的特征值为 210,0p 210,0 得基础解系 这两个向量已是正交，故只须将其单位化,得 3011.21p301.1131.1P AP12301011(,)0,2211022Pp pp于是求得正交矩阵 使2323101,1,011T 23,此时须先将
35、正交化231A 值得注意的是，对于 的二重特征值 23,上面求得的 碰巧是正交的，故不必正交化，只要单位化即可.但如果求得的基础解系为取2312111,13611pp2333222211,31TT 2211,1再单位化，得 12036111236111236P于是又得正交矩阵 131.1P AP使这也说明，定理5中的正交矩阵P是不唯一的.设6,3,3为实对称阵A的特征值，属于3 例2(1)求属于6的特征向量.(2)求矩阵A.110,2.11 的特征向量为解:设属于6的特征向量为 123,xxx由定理知,属于实对称阵的不同特征值的特征向量正交 所以有(1,0,1)123xxx=0,(1,2,1)
36、123xxx=0于是有13123020 xxxxx101101121011即1323xxxx 基础解系为111可以验证：123111021111 已正交将它们单位化1111201222211261 33311126321063111263T则所求正交阵为1336TAT131313 111311336ATT1111102632232112103636666111111263333411141114 例例3 3120222023A A的特征方程为：的特征方程为：120222023AE 1250得A的特征值 1 1=1 1，2 2=2=2，3 3=5=5求正交阵求正交阵T，使，使T-1AT为对角阵为
37、对角阵。为实对称矩阵，为实对称矩阵，设设解：解：将将 1 1=1代入方程代入方程 (A E)X=0 X=0，得一属于得一属于 1 1=-1=-1的特征向量的特征向量1221P 将将 2 2=2代入方程代入方程 (A E)X=0)X=0，得一属于得一属于 2 2=2=2的特征向量的特征向量2212P将将 3 3=5代入方程代入方程 (A E)X=0)X=0，得一属于得一属于 3 3=5=5的特征向量的特征向量2122P 已两两正交已两两正交123,PPP123,PPP分别属于三个不同的特征值分别属于三个不同的特征值所以所以因为因为再把再把单位化：单位化：123,PPP*1111PPP21231
38、*2221PPP21132*3331PPP11232取正交阵取正交阵*123TP P P221333212333122333于是有于是有T T-1-1AT=AT=100020005 一 关于特征值和特征向量的重要公式和结论第五章小结设A是 n阶方阵，如果数和n维非零列向量x x使关系式Ax x=x x 成立，则称是A的特征值特征值,非零列向量x x称为A的对应于特征值 的特征向量特征向量.可能是复数，A的元素和x x的分量也可能是复数.注：A必须是方阵.(一)概念 1.是A的特征值|AE|=0(AE)不可逆 2.x x是 的特征向量特征向量x x是方程组(AE)x x=0的非零解 4.若是A的
39、关于特征值的特征向量,则k(k0)也是 A的关于的特征向量.3.若是A的关于特征值的特征向量,则A与线性相关.5.若,都是A的特征值的特征向量，则k1+k2 也是的特征向量.(其中k1，k2为任意常数，且k1+k20).(二)重要公式和结论1.任一n阶矩阵A A必有n个复的特征值.但特征矩阵和特征向量不一定相同.2.A与AT有相同特征多项式、特征方程、特征值,3.设1,2,n是n阶方阵A=(aij)的特征值，则 11nniiiiiatr A121nini A推论:A可逆的充要条件是A的特征值均不为0.4.设是A的k重特征值,则 k n R(AE).6.设1,2,n是A的一组特征向量,如果其中属
40、于同一5.设1,2,m是方阵A的m个特征值，且互不相等，p1,p2,pm依次是与之对应的特征向量，则注：方阵A的同一特征根的特征向量未必线性相关.p1,p2,pm线性无关.特征值的特征向量构成的部分都线性无关，则1,2,n也线性无关.7.设1,2是方阵A的两个特征值，且12，分别是1,2的特征向量，p1,p2则p1+p2不是A的特征向量.8.设是方阵A的特征值,k是常数，m是正整数则 kA,A2,Am,aA+bE,f(A),A1,A*分别有特征值为 k,2,m,a+b,f(),-1,1A设x x是A的对应于特征值的特征向量,则x x也是kA,A2,Am,aA+bE,f(A),A1,A*对应于特
41、征值k,2,m,a+b,f(),-1,的特征向量.1A9.设 f(x)是多项式,A是n阶方阵，是A的特征值,若A满足 f(A)=0,则 满足 f()=0.注：若数c满足 f(c)0,则 c 不是A的特征值,从而|AcE|0，即AcE可逆.但是，当数c满足 f(c)=0 时,不能确定c 是A的特征值,从而不能确定AcE是否可逆.(三)一些特殊矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量1.n阶对角矩阵 3.n阶单位矩阵E的特征值都是1.4.n阶零矩阵的特征值是0.2.n阶数量矩阵aE的特征值都是a,且任意n维非零列向量都是它的特征向量.的特征值是1,2,n.12n 5.设n阶方阵A(n1)的秩r(A
42、)=1,则A的n个特征值为 11niiiatr A230n证：因为r(A)=1,所以A=0即0是A的一个特征值，其重数 1nr An又因为A的n个特征值之和为tr(A),所以，A的n个特征值为 11niiiatr A230n因此，当tr(A)=0时,A的n个特征值均为0，其重数nnr(A)=n 1此时A不可以对角化.当tr(A)0时,特征值0的重数为n 1，此时A可以对角化.其重数=nr(A)如果方阵A A 满足（即A1=AT）那么A A称为正交矩阵正交矩阵(简称正交阵正交阵).三 关于正交矩阵的重要公式和结论的重要公式和结论AAT=E注：注：通常用定义判断一个矩阵是否为正交矩阵正交矩阵.1.
43、若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵.2.两个正交阵的乘积仍是正交阵.3.正交阵的行列式等于1或1.4.正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1.5.正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和等于0.重要公式和结论重要公式和结论6.A A为正交矩阵的充要条件是A A的行（列）向量组为正交规范向量组.设A,B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P ，1P APB使 则称B是A 的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵A与B相似.四 关于相似矩阵和对角化的重要公式和结论的重要公式和结论相似矩阵有下列基本性质:反身性,对称性,传递性若方阵A相似于一个对角矩阵,则称A可以对角化.若有正交阵P,使 1P APB则称A与B正
44、交相似.(此时有PTAP =B).1.2.3.4.若A与B相似，则(1)A与 B有相同的特征多项式和特征值；;AB(2)()();R AR B(3)(4)Am与Bm也相似，其中m为正整数.(5)相似矩阵或都可逆或都不可逆，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.(6)AT与BT也相似A有n个互不相等的特征值 A有n个线性无关的特征向量.判断一个n阶方阵A是否可以对角化的常用方法：1.A可以对角化2.A可以对角化对于A的每个特征根，其重数k=n R(AE).3.A可以对角化五 关于实对称矩阵的重要公式和结论的重要公式和结论1.特征值均为实数.2.属于不同特征值的特征向量相互正交.3.对每个特征值，其重
45、数k=n R(AE).4.实对称矩阵都可以对角化，且可以正交对角化.六六.典型例题122212,221A例1 设 (1)求 A 的特征值 (2)利用(1)的结果求 E+A1 的特征值,E是三阶单位阵.EA解：(1)1222122211221102211221110221 215 故矩阵A 的特征值为：1,1,5.(2)设矩阵A 对应于特征值 的特征向量为x x,则 Ax x=x x于是11,Axx1111,EAEAxxxx可得矩阵E+A1 的特征值为 2,2,故知1+1是矩阵E+A1 的特征值,将=1,1,5代入1+1,4.5 注:(1)在计算EA时,尽量不要直接展开得一个分解出一次因式.(2
46、)在计算EA时,如果各行(或列)之和都相等,EA122212221 例如在例1中,计算EA时,直接展开得327115分解因式时可能会遇到困难.通常把相等的部分提出来.或把某个不含的元素化为零.三次多项式,通常是在计算EA的过程中,直接122322236A 例2 把|EA|的各列加到第一列,得EA解：122322236122122136求矩阵的实特征值及对应的特征向量.1221 12213621820 有唯一实特征值=1,解得x1=x2=x3,基础解系为=(1,1,1)T,故对应于=1的全部特征向量为k(1,1,1)T,k为非零常数.231231232203202350 xxxxxxxx对应=1
47、,由(1EA A)x=x=0 0得例3 选择题(1)设=2是非奇异矩阵A的特征值,1213A则矩阵 有一特征值等于 4A3(2)若n阶矩阵A的任意一行中n个元素的和都是a,则A的一个特征值为 3B4 1C2 1D4(A)a(B)a(C)0(A)a1()()(4)设A为n阶可逆矩阵,1,2是A的特征值,(A)1=2时,1,2一定成比例.(B)1=2时,1,2一定不成比例.(C)12时,1,2一定成比例.(D)12时,1,2一定不成比例.1,2是A的分别对应于1,2的特征向量,则(3)设A为n阶可逆矩阵,是A的一个特征值,则A的伴随矩阵A*的特征值之一是(A)1|A|n(B)1|A|(C)|A|(
48、D)|A|n()()解：(1)(2)BA2有一特征值22，A213A 有一特征值等于1213A43有一特征值所以34 把|EA|的各列加到第一列,可提出公因子a,所以，A的一个特征值为a.(3)B(4)D当1=2为重根时,可能有多于一个的线性无关的特征向量，也可能只有一个线性无关的特征向量，所以A,B均不成立.当12时,1,2属于不同的特征根，因此线性无关，即 1,2一定不成比例.设1,2是n阶矩阵A的不同特征值,1,2是A的分别属于1,2的特征向量，例4 证明:1+2不是A的特征向量证：用反证法若1+2为A的属于某特征值的特征向量,则由定义有A(1+2)=(1+2)根据已知从而有A1=11,
49、A2=22得A(1+2)=A1+A2=11+2211+22=(1+2)即(1)1+(2)2=0因为1,2属于不同的特征值,所以1,2线性无关,故1+2不是A的特征向量.于是(1)=0,(2)=0即有1=2=此与题设矛盾.设A为三阶方阵，有三个不同的特征值1,2,3,对应的特征向量依次为 1,2,3,例5证明:,A,A2 线性无关证：因为A =A(1+2+3)=令=1+2+3,A i=i i i=1,2,3所以A 1+A 2+A 3222112233=A2 =A(A )=A(1 1+2 2+3 3)=1 1+2 2+3 3设 三个常数k1,k2,k3，使k1 +k2A +k3A2 =0即k1(1
50、+2+3)+k2(1 1+2 2+3 3)+=(k1+k21+k312)1+2223112233k (k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0由于不同的特征值的特征向量线性无关,线性无关,于是所以 1,2,3,212231212232212333000kkkkkkkkk其系数行列式211222233111123222123111(21)(31)(32)0因此方程组仅有零解k1=k2=k3=0,故 ,A,A2 线性无关例6.设A为三阶矩阵,1,2,3是线性无关的三维列向量,且满足A1=1+2+3,A2=22+3,A3=22+33.(2)求矩阵A的特征值;(1)求矩阵B,使得A
