1、利用函数的导数判断利用函数的导数判断函数的单调性的基本步骤为函数的单调性的基本步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 ;)(xf 解不等式解不等式 0 0得得f(x)f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式 0 0).=a(a0).0)(xf当当x x变化时变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 练习练习:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1()1(6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1)-1(-1,1)1(2,+
2、)y -0 +0 -y 极大值极大值-3 极小值极小值3 因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-3.课本课本P130 P130 练习练习1.1.设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x x0 0及其附近有定义及其附近有定义,如果如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近附近所有各点的函数值都大所有各点的函数值都大,我们说我们说f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个极的一个极大值大值;如果如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都小
3、附近所有各点的函数值都小,我们说我们说f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个极小值的一个极小值.极大值与极小值统称极值极大值与极小值统称极值.2.2.当函数当函数f(x)f(x)在在x x0 0处连续时处连续时,判别判别f(xf(x0 0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:(1):(1):如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 那么那么,f(x,f(x0 0)是是极大值极大值;()0,()0,f xf x右右侧侧 (2):(2):如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧 那么那么,f(x,f(x0 0)是是极小值极小值.()0,()0,f xf x右右
4、侧侧3.3.理解函数极值的定义时应注意理解函数极值的定义时应注意:(1)(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点极值点是区间内部的点而不会是端点而不会是端点.(2)(2)若若f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,那么那么f(x)f(x)在某区间内一定不是在某区间内一定不是单调函数单调函数,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值.(3)(3)极大值与极小值没有必然的大小关系极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比即极大值不一定比极小值大极小值大,极小值不一定比极大值小极小值不一定比极大值小.(4)(4)函数函数f
5、(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律它的极值点的分布是有规律的的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点极小值点之间必有一个极大值点.一般地一般地,当函数当函数f(x)f(x)在某区在某区间上连续且有有限极值点时间上连续且有有限极值点时,函数函数f(x)f(x)在该区间内的极大值在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的点与极小值点是交替出现的.(6)(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.4.确定函数的极值应从几何
6、直观入手确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利掌握利用导数判断函数用导数判断函数极值极值的基本方法的基本方法.(5)(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件而不是充分条件.例例:已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x3 3+ax+ax2 2+b+b.(1).(1)若函数若函数f(x)f(x)在在x=0,x=4x=0,x=4处取得极处取得极值值,且极小值为且极小值为-1,-1,求求a a、b b的值的值.(2).(2)若若 ,函数函
7、数f(x)f(x)图象上图象上的任意一点的切线斜率为的任意一点的切线斜率为k,k,试讨论试讨论k k-1-1成立的充要条件成立的充要条件.1,0 x解解:(1):(1)由由 得得x=0 x=0或或x=4a/3.4a/3=4,a=6.x=4a/3.4a/3=4,a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0 x0 x0时时,故当故当x=0 x=0时时,f(x)f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,f(0)=b,所以所以b=-1.b=-1.0)(,0)(xfxf(2)(2)等价于当等价于当 时时,-3x,-3x2 2+2ax+2ax-1-1恒成立恒成立,即即g(x)=3xg(x)=3x2 2
8、-2ax-1-2ax-10 0对一切对一切 恒成立恒成立.1,0 x 1,0 x由于由于g(0)=-10,g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2ag(1)=2-2a0,0,即即a a1.1.反之反之,当当a1a1时时,g(x)0,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立.1,0 x所以所以,a1,a1是是k-1k-1成立的充要条件成立的充要条件.223()(2).f xxx求求函函数数例例的的极极值值(:(),)f x 的的定定义义域域为为解解3)2(3)1(4)(xxxxf1,0)(xxf解得令.)(,20不存在时及当xfxx:)(),(,2,1,0的变化情况如表将定义域分成四个区间由x
9、fxfxxx1)(1;0)(,20极大值极小值时当时或当xfxxfxx x(-,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+)f(x)-不存在不存在 +0 -不存在不存在 +f(x)极小值极小值0 极大值极大值1 极小值极小值0 例例:已知函数已知函数 f(x)满足条件满足条件:当当x2时时,;当当 x2,由条件由条件可知可知 ,即即:2 x0)(2 xf;02)()(2 xxfxg当当 时时,x20,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1 +0 0 0 +f(x)极大极大值值 极小极小值值 )(xf)1,(),1(由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解
10、得解得a=3,b=5,c=2.(2)若若a0,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1 -0 0 0 -f(x)极小值极小值 极大值极大值 )1,(),1()(xf 由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.例例:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x=1处有极值处有极值,且极大值为且极大值为 4,极小值为极小值为0.试确定试确定a,b,c的值的值.练习练习:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解:=3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得、解得 或或.33114 baba当当a=-3,b=3时时,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.0)1(3)(2 xxf当当a=4,b=-11时时,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1时时,此时此时x=1是极是极值点值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.课本课本P130 P130 习题习题3.73.7
