1、1.双曲线定义双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当 时，P点的轨迹是双曲线；(2)当 时，P点的轨迹是两条射线；(3)当 时，P点不存在.知识梳理距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围_对称性对称轴：对称中心：_顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线_离心
2、率e ，e ，其中c_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2 (ca0，cb0)xa或xa，yRxR，ya或ya坐标轴原点(1，)2a2ba2b2巧设双曲线方程【知识拓展】题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()基础自测123456123456题组二教材改编题组二教材改编答案解析123456解析解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴
3、长，3.P54A组T6经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.解析答案123456把点A(3，1)代入，得a28(舍负)，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0).命题点命题点3利用定义解决焦点三角形问题利用定义解决焦点三角形问题典例典例 已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.解析解析由双曲线的定义有解析答案1.本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2
4、的面积是多少？引申探究引申探究解答解解不妨设点P在双曲线的右支上，在F1PF2中，由余弦定理，得|PF1|PF2|8，12F PFS解答解解不妨设点P在双曲线的右支上，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，12F PFS(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设
5、有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 (1)设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_.解析答案解析解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知，a4，b3.(2)(2016天津)已知双曲线 1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为解析答案圆的方程为x2y24，由
6、双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，解析题型二双曲线的几何性质师生共研师生共研答案解析解析由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|1，此时有两条直线符合题意；当直线AB与双曲线两支相交时，此时A、B的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a4，距离无最大值.|AB|4，此时有1条直线符合条件.综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.A.(2,0)B.(3,0)C.(0,2)D.(0,3)解析答案1234567891011121314
7、151612345678910111213141516焦点坐标可以为(2,0)，故选A.答案12345678910111213141516解析12345678910111213141516解析解析A(3,0)，B(3,0)，点P满足|PA|PB|42，即圆心C的轨迹L是以C1，C2为焦点，4为实轴长的双曲线，12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析联立直线方程与渐近线方程，得12345678910111213141516结合|NF1|2|MF1|和两点之间的距离公式，可得12345678910111213141516解析答案1
8、2345678910111213141516从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，A.3 B.2C.3 D.2技能提升练12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，解析12345678910111213141516答案14.(2017安徽安庆二模)已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若ACBF1，则
9、双曲线的离心率为12345678910111213141516又b2c2a2，可得3c410c2a23a40，则有3e410e230，拓展冲刺练解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析如图所示，设PF1，PF2分别与PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|，|AF1|AF2|QA|QF2|,12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析由定义，知|PF1|PF2|2a.当P，F1，F2三点不共线时，在PF1F2中，由余弦定理，12345678910111213141516当P，F1，F2三点共线时，
