1、幂级数解法幂级数解法本征值问题本征值问题第十一章第十一章11.111.1二阶常微分方程的幂级数解法二阶常微分方程的幂级数解法11.1.111.1.1幂级数解法理论概述幂级数解法理论概述 1.球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量一、分离变量法求解偏微分方程：一、分离变量法求解偏微分方程：0sin1sinsin112222222ururrurrr),()(),(YrRru)()(),(Y222dd2(1)0ddRRrrl lRrr可直接求解可直接求解0 2ddsinsin(1)sin0ddl l 可直接求解可直接求解对第对第3个方程作变量替换个方程作变量替换cosx
2、22222dd(1)2(1)0dd1mxxl lxxx 为为为为 l 阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程，不可直接求解不可直接求解若讨论问题具有旋转轴对称性，即若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0222dd(1)2(1)0ddxxl lxx 为为 l 阶勒让德方程阶勒让德方程，不可直接求解不可直接求解2.柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量01122222zuuu)()()(),(zZRzu0 0 ZZ2222d1 d()0ddRRmR可直接求解可直接求解可直接求解可直接求解对第对第3个方程：个方程：(1)若若 0，作变换，作变换x22222dd0ddRRxxx
3、mRxx为为 m 贝塞尔方程贝塞尔方程，不可直接求解不可直接求解=0可直接求解可直接求解(2)若若 0，作变换，作变换2,kxk 为为虚宗量虚宗量贝塞尔方程贝塞尔方程，不可直接求解不可直接求解22222dd0ddRRxxxmRxx.用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出
4、现各种各样的特殊微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题。解问题。不失一般性，我们讨论复变函数不失一般性，我们讨论复变函数(z)的的线性二阶常微分方程：线性二阶常微分方程：22d()d()()()()0ddzzp zq zzzz(11.1.1)00)(Cz10)(Cz这里这里 z 是复变量，是复变量，p(z)和和 q(z)是已知的复变函数，是已知的复变函数，称为方程的系数，称为方程的系数，(z)是待求的未知函数
5、，是待求的未知函数，z0为选为选定的点，定的点，C0和和C1为复常数。为复常数。这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出。解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数幂级数解法解法求解二阶常微分方程的具体过程为：求解二阶常微分方程的具体过程为：（1）任选某个点任选某个点z0，在其邻域上把待求的解，在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数；表为系数待定的幂级数；（2）将这个幂级数形式解代入方程和定解将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。条件，求出所有待定幂级数系数。(2)(2)既然是级数，就存在是否收敛和收敛
6、范围的问既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问 题；题；说明：说明：(1)(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；特殊的要求；(3)(3)级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。二、二、方程的常点和奇点概念方程的常点和奇点概念 定义定义 11.1.1 若方程若方程(11.1.1)的系数的系数p(z)和和q(z)都都在点在点z0及其邻域内解析，则称点及其邻域内解析，则称点z0为方程为方程(11.1.1)的的常点。常点。定义定义 11.1.2 只要系数只要系数p(z)和和q(z)之一在点之一在点z0不
7、解不解析，则称点析，则称点z0为方程为方程(11.1.1)的奇点。的奇点。定义定义 11.1.3 若若(z-z0)p(z)及及(z-z0)2q(z)都在点都在点z0解解析，则称点析，则称点z0为方程为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称的正则奇点，否则称为方程的非正则奇点。为方程的非正则奇点。定理定理 11.1.1 若方程若方程(11.1.1)的系数的系数p(z)和和q(z)为为点点z0的邻域的邻域|z-z0|R 中的解析函数，则方程在这个中的解析函数，则方程在这个圆中存在唯一的解析解圆中存在唯一的解析解(z)满足初始条件满足初始条件(z0)=C0和和(z0)=C1。定理定理 11.1.2
8、若若z0为方程为方程(11.1.1)的常点，则在的常点，则在z0点的邻域内，方程点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为的通解形式为000110()()()()kkkzazzazaz其中其中a0和和a1为任意常数，为任意常数，0(z)和和1(z)为在点为在点z0解解析的两个线性独立的函数。析的两个线性独立的函数。(11.1.2)三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）在在x0=0的邻域求解的邻域求解 l 阶勒让德方程：阶勒让德方程：222dd(1)2(1)0ddyyxxl lyxx方程的系数：方程的系数：2222d2d(1)0d(1)d(
9、1)yxyl lyxxxx22()(1)xp xx 2(1)()(1)l lq xx在在x0=0，方程的系数，方程的系数p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)单值且为单值且为有限值，因此它们必然在有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故处解析，故x0=0为方为方程的常点，根据常点邻域上解的程的常点，根据常点邻域上解的定理定理11.1.2，解具有，解具有泰勒级数形式：泰勒级数形式：20120()kkkkky xa xaa xa xa x根据此解的形式，于是有：根据此解的形式，于是有：11()kkky xka x2112323kkaa xa xka x22()(1)kkkyxk ka x2223
10、423 24 3(1)kkaa xa xk ka x 代入勒让德方程，可得：代入勒让德方程，可得：22121(1)(1)2kkkkkkxk ka xxka x0(1)0kkkl la x合并整理后可得：合并整理后可得：2122(1)(12)kkkkkkkkkk kakk kxa xa x0(1)0kkkl la x将各求和号内将各求和号内k的起点统一化：的起点统一化：222324(1)26(1)kkkkkkk ka xaa xk ka x232226(2)(1)kkkaa xkkax 23110262(1)(1)lxaaalal la22(2)(1(1)0(1)2kkkkkkkkak kaak
11、l lax0102(1)(1)(1)(1)kkkkkkl la xl lal la xl la x112222kkkkkkka xa xka x 因此合并因此合并x的同幂次项后有：的同幂次项后有：要使上述方程对任意的要使上述方程对任意的x都成立都成立(=0)，则要求则要求x各幂各幂次前的系数必须为次前的系数必须为0，即：，即：312220(2)(1)(1)0 (2(1)02,3,4,)6(1)20kkkkal lalal laaakkkl解得系数间的递推关系：解得系数间的递推关系：2()(1)(0,1,2,)(2)(1)kkkl lkaakkk因此，若知道级数系数因此，若知道级数系数a0、a1
12、，则可由上述递推公，则可由上述递推公式计算出任一系数式计算出任一系数ak(k=2,3,)。系数递推：系数递推：20()(1)2!l laa420(2)(3)(2)()(1)(3)4 34!l lll llaaa.20(22)(24)(2)()(1)(3)(21)(2)!kklklll lllkaak31(1)(2)3!l laa531(3)(4)(3)(1)(2)(4)5 45!l lll llaaa.211(21)(23)(1)(2)(4)(2)(21)!kklkll lllkaak 勒让德方程的解为：勒让德方程的解为：240()(1)(2)()(1)(3)12!4()!l lll llax
13、yxx2(22)(24)(2)()(1)(3)(21)(2)!kklklll lllkxk351(1)(2)(3)(1)(2)(4)3!5!l lll llaxxx21(21)(23)(1)(2)(4)(2)(21)!kklkll lllkxk()()llxp xqpl(x)仅含仅含x的偶次幂，为偶函数；的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含仅含x的奇次的奇次幂，为奇函数。它们的收敛半径幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)为：为：2limkkkaRa(2)(1)lim()(1)kkkkl lk21(1)(1)lim11(1)(1)kkkllkk因此，级数解因此，级数解 pl
14、(x)和和 ql(x)收敛于收敛于|x|1；但勒让德方程中的；但勒让德方程中的x=cos定义于定义于-1,1上，上，因此还要考虑级数解在因此还要考虑级数解在x=1处的收敛性。处的收敛性。高斯判别法：高斯判别法：对于正项级数对于正项级数 ，1kku当当21()1kkuB kukk 1lim1kkkuu时，若前后邻项之比可表示为：时，若前后邻项之比可表示为：其中其中B(k)是当是当k时为时为k的有界函数，则当的有界函数，则当1时级时级数收敛，当数收敛，当 1时级数发散。时级数发散。对于足够大的对于足够大的k，pl(x)和和ql(x)均为正项级数。均为正项级数。对于对于pl(x)：12(22)!(2
15、)!(2)(21)kkkkuakuakkl lk(22)(21)(2)(21)kkkl lk221(1)(1)1112(1)4l lkl lkkkk 根据高斯判别法，根据高斯判别法，=1，级数，级数pl(x)发散。发散。有界有界对于对于ql(x)：12(23)!(21)!(21)(22)kkkkuakuakkl lk 221(1)(2)(1)1116(1)(2)4llkllkkkk 根据高斯判别法，根据高斯判别法，=1，级数，级数ql(x)发散。发散。有界有界(23)(22)(21)(22)kkkl lk 如果级数解如果级数解 pl(x)和和 ql(x)退化为有限项，即多退化为有限项，即多项式
16、，则它们在项式，则它们在x=1处取有限数值，那么发散问处取有限数值，那么发散问题就根本不存在了。题就根本不存在了。考察考察 pl(x)：240()(1)(2)()(1)(3)()12!4!ll lll llp xaxx2(22)(24)(2)()(1)(3)(21)(2)!kklklll lllkxk22(2)(22)(2)()(1)(3)(21)(22)!kklklll lllkxk如果如果l是某个偶数，是某个偶数，l=2n(n是正整数是正整数)，则，则 pl(x)只到只到x2n项为止，从项为止，从x2n+2项起（项起（上式彩色项上式彩色项），系数都含），系数都含有因子有因子(2n-l)从而
17、都为从而都为0。这样。这样pl(x)不再是无穷级数不再是无穷级数，而是，而是2n次多项式，并且只含偶次幂。至于次多项式，并且只含偶次幂。至于pl(x)因因其系数不含其系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在，仍是无穷级数，且在x=1处发处发散。散。考察考察ql(x)，如果如果l是某个奇数，是某个奇数，l=2n+1(n是非负是非负整数整数)，则，则 ql(x)只到只到x2n+1项为止，从项为止，从x2n+3项起，系数项起，系数都含有因子都含有因子(2n+1-l)从而都为从而都为0。这样。这样ql(x)是是2n+1次次多项式，并且只含奇次幂。此时多项式，并且只含奇次幂。此时pl(x)因其系数不含因
18、其系数不含(2n+1-l)，仍是无穷级数，且在，仍是无穷级数，且在x=1处发散。处发散。其实，考察级数解的系数递推公式便知，只要其实，考察级数解的系数递推公式便知，只要l是整数，如是整数，如l=n(正负均可正负均可)，k从某个数从某个数k=n(n为正为正)或或k=-n-1(n为负为负)起，级数解的偶数或奇数系数全为起，级数解的偶数或奇数系数全为0：ak+2=0、ak+4=0，级数的偶数或奇数部分变，级数的偶数或奇数部分变成多项式成多项式。2()(1)(0,1,2,)(2)(1)kkkl lkaakkk 一般情况下，我们均取一般情况下，我们均取l是非负整数，且在一般是非负整数，且在一般解解y(x
19、)中取常数中取常数a0=0(a10)或或a1=0(a00)，使，使y(x)成为成为一个只含偶次幂或奇次幂的一个只含偶次幂或奇次幂的l次多项式，作为特解，次多项式，作为特解，称作称作l阶勒让德多项式，记阶勒让德多项式，记Pl(x)。可以看出可以看出 l 次勒让德多项式次勒让德多项式Pl(x)的系数繁琐，的系数繁琐，为了使其有比较简单的形式，且使它在为了使其有比较简单的形式，且使它在x=1处的值处的值恒为恒为1(归一化归一化)，选最高次幂的系数为：，选最高次幂的系数为：2(2)!2(!)lllal勒让德多项式勒让德多项式Pl(x)的系数递推关系改写为：的系数递推关系改写为：2(2)(1)()(1)
20、kkkkaakl lk0 (when is even)2,4,1 (when is odd)lklll 这样我们可从最高次幂系数这样我们可从最高次幂系数al依次获得其它低次幂依次获得其它低次幂系数：系数：22(1)(1)(2)!(1)2(21)2(21)2(!)llll ll llaalll(22)!(211)2(1)!(1)(1)2)!)22(21)llllllllllll(22)!(1)2(1)!(2)!llll 242(2)(3)(2)(3)(22)!(1)(4)(23)2 2!(23)2(1)!(2)!llllllllaallll 2(23(24)!(1(2)2!2(4)!)(3)(2
21、)(3)(2(22)2(1)23()!)llllllllllll 2(24)!(1)2!2(2)!(4)!llll 364(4)(5)(4)(5)(24)!(1)(6)(25)2 3(25)2!2(2)!(4)!llllllllaallll 3(2(2(26)!(1)32!2(34)25)(25)(4)(5)!(6)(4)(5)2)!(llllllllllll 3(26)!(1)3!2(3)!(6)!llll.依次做下去，利用数学归纳法，可得：依次做下去，利用数学归纳法，可得：2(22)!(1)(0,1,2,)2!()!(2)!2nlnllnlann lnln ,212,2lwhen l is
22、 an even numberllwhen l is an odd number 其中：其中：因此所求得的勒让德方程的多项式解为：因此所求得的勒让德方程的多项式解为：220(22)!()(1)2!()!(2)!lnlnllnlnP xxn lnln 该该 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式Pl(x)也称为也称为第一类勒让德函数第一类勒让德函数。前几个勒让德多项式：前几个勒让德多项式：0()1P x 1()cosP xx2211()(31)(3cos21)24P xx3311()(53)(5cos33cos)28P xxx42411()(35303)(35cos420cos29)864P xxx5
23、3511()(637015)(63cos535cos330cos)8128P xxxx当当l是非负整数时，勒让德方程的一般解中的一个是非负整数时，勒让德方程的一般解中的一个解为勒让德函数，而另外一个线性独立的解则为无解为勒让德函数，而另外一个线性独立的解则为无穷级数，称为穷级数，称为第二类勒让德函数第二类勒让德函数，记为，记为Ql(x)，其表，其表达式为（达式为（朗斯基行列式导出朗斯基行列式导出，不作要求）：，不作要求）：221()()(1)()lllQ xP xdxxP x221011243()ln()21(21)(1)lllkkxlkP xPxxklk 011()ln21xQ xx11()
24、ln121xxQ xx22113()(31)ln412xQ xxxx3231152()(53)ln4123xQ xxxxxQl(x)和和Pl(x)的递推公式具有相同的形式，所以勒让的递推公式具有相同的形式，所以勒让德方程德方程222dd(1)2(1)0ddyyxxl lyxx的通解为的通解为12()()()lly xC P xC Q x总结：总结：（1）当）当l不是整数时，勒让德方程在区间不是整数时，勒让德方程在区间-1,1上上 有无解解；有无解解；（2）当）当l是整数时，勒让德方程的通解为是整数时，勒让德方程的通解为12()()()lly xC P xC Q xPl(x)称为第一类勒让德函数
25、，称为第一类勒让德函数，Ql(x)称为第称为第二类勒让德函数；二类勒让德函数；（3）当）当l是整数时，在自然边界条件下是整数时，在自然边界条件下(|cos|1)，要求解有界，因此必须取要求解有界，因此必须取C2=0。四、正则奇点邻域上的幂级数解法（贝塞尔方程的四、正则奇点邻域上的幂级数解法（贝塞尔方程的 求解）求解）对于复变函数对于复变函数(z)的线性二阶常微分方程：的线性二阶常微分方程：22d()d()()()()0ddzzp zq zzzz如果选定的如果选定的z0是该方程的奇点，则一般来说，解也是该方程的奇点，则一般来说，解也以以z0为奇点，在为奇点，在z0邻域上的展开式不是泰勒级数而邻域
26、上的展开式不是泰勒级数而含有负幂项，即展开式是罗朗级数，且有如下定含有负幂项，即展开式是罗朗级数，且有如下定理：理：定理定理 11.1.3 若若z0为方程为方程(11.1.1)的正则奇点，则的正则奇点，则存在两个线性无关存在两个线性无关(独立独立)的解，它们在这奇点的去的解，它们在这奇点的去心邻域上可表示成下列形式：心邻域上可表示成下列形式：11000()()()skkkzzzazz和和22000()()()skkkzzzb zz或：或：2200100()()()()ln()skkkzzzb zzAzzz常系数常系数s1、s2、ak、bk和和A通过将解代入方程合并通过将解代入方程合并(z-z0
27、)的同幂项使其系数为的同幂项使其系数为0得出，这里不作展开。得出，这里不作展开。（1）贝塞尔方程的求解）贝塞尔方程的求解22222dd()0ddyyxxxyxx对于上述对于上述阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程1(),()1p xx p xx222()1,()q xxq xxx 所以所以x=0为方程的正则奇点，根据上述定理，方为方程的正则奇点，根据上述定理，方程的一个特解可展开为如下形式的级数：程的一个特解可展开为如下形式的级数：00()ckk ckkkky xxa xa x0()()k ckkx y xck a x20()()(1)k ckkxyxck cka x此时此时将此将此3式代入式代入阶贝塞尔
28、方程，可得：阶贝塞尔方程，可得：22200()0k ck ckkkkcka xa x 合并合并x的同幂次：的同幂次：2222101(1)ccca xca x22222()0k ck ckkkkcka xax要使此方程对任意的要使此方程对任意的x都成立，则必须使都成立，则必须使x的各幂的各幂次前的系数为次前的系数为0，即：，即：2200ca221(1)0ca222()0 (2,3,)kkckaak取取a00，由第，由第1式可解得：式可解得：c 代入第代入第2式，可解得：式，可解得：10a 22(1)0因为因为由由3式，可解得级数解的系数递推公式：式，可解得级数解的系数递推公式：2221 (2,3
29、,)()kkaakck 因为因为a1=0，从该递推公式可知：，从该递推公式可知：1357210maaaaa取取c=(0)，可得偶数幂次系数：，可得偶数幂次系数：00a 212(22)a 24211(1)4(24)4 2(24)(22)aa 36411(1)6(26)6 4 2(26)(24)(22)aa 22212(22)mmaamm 021(1)2!()(1)(1)mmammm 02(1)(1)2!(1)mmamm 因此我们得到贝塞尔方程的一个特解：因此我们得到贝塞尔方程的一个特解：20120(1)()(1)2!(1)mmmmay xxmm通常我们取通常我们取并记并记y1(x)为为J(x)，
30、称之为，称之为阶阶贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即201()(1)!(1)2mmmxJxmm 012(1)a201()(1)!(1)2mmmxJxmm若取若取c=-，及，及012(1)a 可得方程的另一个特解，并记为可得方程的另一个特解，并记为J-(x)，称之为，称之为-阶阶贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 若若n(整数整数)，当，当x0时时201()(1)2!(1)2mmmxxJxmmJ(x)和和J-(x)统称为统称为阶第一类阶第一类贝塞尔函数。贝塞尔函数。12(1)x1()2(1)xJx 2()(1)()2(1)JxxJx 常数常数J(x)和和J-(x)线性无关，因此贝塞尔方程的通解为：线性无关，
31、因此贝塞尔方程的通解为：()()()y xA JxA Jx 若若=n(整数整数)201()(1)!(1)2m nmnmxJxmnm (-n+m+1)函数的定义要求函数的定义要求(-n+m+1)0，即，即m n-1，令，令k=m-n，可得，可得21(1)!(1)2m nmm nxmnm 201(1)()!(1)2k nk nkxknk201(1)(1)!(1)2k nnkkxkkn(1)()nnJx 即正、负即正、负n阶的贝塞尔函数线性相关，因此它们阶的贝塞尔函数线性相关，因此它们的线性组合不能构成贝塞尔方程的通解，此时需的线性组合不能构成贝塞尔方程的通解，此时需要根据要根据Jn(x)求出另一个
32、与它线性无关的特解：求出另一个与它线性无关的特解：20()()lnkknkyxxb xAJxx通常这一特解定义为通常这一特解定义为cos()()()()sin()JxJxNx称为称为第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数或或诺伊曼函数诺伊曼函数。（2）贝塞尔方程解的敛散性）贝塞尔方程解的敛散性对于贝塞尔函数对于贝塞尔函数J(x)，其收敛半径为：，其收敛半径为：22limlim(2)kkkkaRkka 即级数解即级数解J(x)的收敛范围为的收敛范围为0|x|。对于贝塞尔函数对于贝塞尔函数J-(x)，其收敛半径为：，其收敛半径为：22limlim(2)kkkkaRkka 但此级数解但此级数解J(x)存在
33、负幂项，所以其收敛范围存在负幂项，所以其收敛范围为为0|x|。（3）贝塞尔函数举例）贝塞尔函数举例24602211()1()()()2(2!)2(3!)2xxxJx 35111()()()22!22!3!2xxxJx 最低阶的二个第一类贝塞尔函数最低阶的二个第一类贝塞尔函数J0(x)和和J1(x)在实在实际应用中经常遇到，如平行光通过凸透镜在交点际应用中经常遇到，如平行光通过凸透镜在交点处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到05101520-0.500.51x J0(x)J1(x)024681
34、00123456x N0(x)11.1.2 11.1.2 施图姆施图姆刘维尔本征值刘维尔本征值 在运用分离变量法求解偏微分方程时，在边在运用分离变量法求解偏微分方程时，在边界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才有非零解，这些未知参数所取的特定值称为有非零解，这些未知参数所取的特定值称为本征本征值值，相应的非零解则称为，相应的非零解则称为本征函数本征函数。求本征值和。求本征值和本征函数的问题称为本征函数的问题称为本征值问题本征值问题。一些偏微分方。一些偏微分方程定解问
35、题的最后解决往往取决于本征值问题的程定解问题的最后解决往往取决于本征值问题的解决。因此从数学理论上讨论本征值问题具有重解决。因此从数学理论上讨论本征值问题具有重要的意义。要的意义。前面对数理方程分离变量后所得到的一些带前面对数理方程分离变量后所得到的一些带有参量的常微分方程的一般形式为：有参量的常微分方程的一般形式为：一、施图姆一、施图姆刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题21232dd()()()0 ddyyc xc xc xyaxbxx21()()exp()c xk xdxc x做变换做变换31()()()()c xq xk xc x 1()()()k xxc xdd()()()0 ddyk
36、xq x yx yaxbxx则原方程变为则原方程变为因此，任何一个形如上述一般形式的含参数的二因此，任何一个形如上述一般形式的含参数的二阶常微分方程均可化为此形式，该形式的方程称阶常微分方程均可化为此形式，该形式的方程称为为施图姆施图姆刘维尔型方程刘维尔型方程，简称为，简称为S-L方程方程。施图姆施图姆刘维尔型方程附以奇次的第一类、刘维尔型方程附以奇次的第一类、第二类、第三类或自然边界条件，就构成施图姆第二类、第三类或自然边界条件，就构成施图姆刘维尔本征值问题。刘维尔本征值问题。例例1：1,1ab 2()1,()0,()1k xxq xx 0,ab()sin,k ()0,()sinq 或或自然
37、边界条件：自然边界条件：(1)y 有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：2dd(1)0dd(1)yxyxxy有界有界ddsinsin0dd(0),()有界有界此两方程为此两方程为勒让德方程本征值问题勒让德方程本征值问题。例例2：1,1ab 222()1,(),()11mk xxq xxx 0,ab()sin,k2(),()sinsinmq 或或自然边界条件：自然边界条件：(1)y 有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：222dd(1)0dd1(1)ymxyyxxxy有界有界2ddsinsin0ddsin(0),()m 有界有界此两方程为此两方程为连带勒让德方程本征值问题连带勒让德方程本
38、征值问题。例例3：200,(),(),()mabxk xxq xxxx自然边界条件：自然边界条件：0(0),()yy x有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：20dd0dd(0),()ymxyxyxxxyy x有界有界此方程为此方程为贝塞尔方程本征值问题贝塞尔方程本征值问题。注：方程的注：方程的x为柱坐标系或极坐标系中的极坐标为柱坐标系或极坐标系中的极坐标例例4：120,(),()0,()abl k xCq xxCC1、C2为常数为常数代入代入S-L方程可得：方程可得：220(0)0,()0d yydxyy l一维自由弦振动问题分离变量后所得的方程，一维自由弦振动问题分离变量后所得的方程，
39、其本征值和本征函数分别为：其本征值和本征函数分别为：222,sinnn xyCll例例5：22,(),()0,()xxabk xeq xxe 代入代入S-L方程可得：方程可得：这是埃尔米特方程这是埃尔米特方程20yxyy的增长不快于的增长不快于22dd0dd,xxyeeyxxxy 212xe的本征值问题。（此问题来自量子力学中的谐振的本征值问题。（此问题来自量子力学中的谐振子问题）子问题）例例6：0,(),()0,()xxabk xxeq xxe 代入代入S-L方程可得：方程可得：这是拉盖尔方程这是拉盖尔方程(1)0 xyx yy的本征值问题。（此问题来自量子力学中的氢原的本征值问题。（此问题
40、来自量子力学中的氢原子问题）子问题）的增长不快于的增长不快于dd0dd,xxyxeeyxxxy 12xe，y(0)有限有限注：在以上各例中，注：在以上各例中，k(x)、q(x)和和(x)在开区间在开区间(a,b)上都取正直。上都取正直。（2）贝塞尔方程的）贝塞尔方程的k(x)=x，k(0)=0，在端点，在端点x=0确实存在着自然边界条件；确实存在着自然边界条件；从以上各例还可看出从以上各例还可看出，如端点如端点a和和b是是k(x)的的一级零点，在那个端点就存在着自然的边界条件一级零点，在那个端点就存在着自然的边界条件，例如：例如：（1）勒让德方程的勒让德方程的k(x)=1-x2，k(1)=1-
41、(1)2=0，在端点在端点x=1确实存在自然边界条件；确实存在自然边界条件；（3）再如拉盖尔方程的）再如拉盖尔方程的k(x)=xe-x，k(0)在端点在端点x=0确实有自然边界条件。确实有自然边界条件。二、施图姆二、施图姆刘维尔本征值问题的共同性质刘维尔本征值问题的共同性质（1）如果如果k(x)、k(x)、q(x)连续或者最多以连续或者最多以x=a 和和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值为一阶极点，则存在无限多个本征值条件：条件：S-L本征值问题中的本征值问题中的k(x)、q(x)和和(x)在在 开区间开区间(a,b)上非负（上非负（0）。）。1234,相应的有无限多个本征函数相应的有无限
42、多个本征函数1234,yyyy（2）所有本征值为实数且非负，即所有本征值为实数且非负，即0n证明：证明：dd()()()ddnnnnyk xq x yx yxx 本征值本征值n和本征函数和本征函数yn(x)满足满足用用yn(x)遍乘各项，并逐项从遍乘各项，并逐项从a到到b积分可得积分可得22ddddddbbbnnnnnaaayy dxykxqyxxx 22ddddddbbnnnnaabyykykxqyxaxx 22dd()nnnnbbnnabx aaxkykyxqyyky yx22dd0bbnnaakyxqyx()0nnx aky y如果在端点如果在端点x=a是第一类奇次条件是第一类奇次条件y
43、n(a)=0、第、第二类奇次条件二类奇次条件yn(a)=0或自然边界条件或自然边界条件k(a)=0，则则()0nnx bky y2()()0nnx annnnky yk yhyyhky如果在端点如果在端点x=a是第三类奇次条件是第三类奇次条件(yn-hyn)x=a=0，则则同理，可得无论在哪种边界条件下，都有同理，可得无论在哪种边界条件下，都有因此，有因此，有20bnnay dx即即0n大家自己证大家自己证明明n=*n（3）相应于不同本征值相应于不同本征值m和和n的本征函数的本征函数ym和和yn 在区间在区间a,b上带权重上带权重(x)正交，即正交，即()()()d0 ()bmnayx yxx
44、xnm证明：证明：本征函数本征函数ym和和yn(x)满足满足d0dmmmmkyqyyx d0dnnnnkyqyyx yn(x)第一式第一式 ym(x)第二式，可得第二式，可得 dd()0ddnmmnmnmnykyykyy yxx 逐项在区间逐项在区间a,b积分，可得积分，可得dd0()()d()dddbbnmmnmnmnaaykyykyxy yxxxdd()ddbbnmmnmnmnaaky yky yxy yxx()|)(|)dnmmnxbmnmnnmmnx aabky ykyy ykxyyyky y()|0nmmnx bky yky y如果在端点如果在端点x=b是第一类奇次条件是第一类奇次条
45、件y(b)=0、第二、第二类奇次条件类奇次条件y(b)=0或自然边界条件或自然边界条件k(b)=0，则，则()|nmmnx bky yky y如果在端点如果在端点x=b是第三类奇次条件是第三类奇次条件(y+hy)x=b=0，则则同理，可得无论在哪种边界条件下，都有同理，可得无论在哪种边界条件下，都有1()()0nmmmnnx bkyyhykyyhyh()|0nmmnx aky yky y因此，有因此，有()d0bmnmnay yx又又mn，所以，所以()()()d0 ()bmnayx yxxxnm得证。得证。如果如果(x)=1，则是我们以前学过的函数正交关系，则是我们以前学过的函数正交关系（4
46、）本征函数族本征函数族y1(x),y2(x),y3(x),是是完备的完备的。1()()nnnf xf yx 这是说，如果函数这是说，如果函数f(x)具有连续一阶导数和具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级边界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级数：数：证明超出我们的范围，略。证明超出我们的范围，略。三、广义傅里叶级数三、广义傅里叶级数绝对一致收敛的级数绝对一致收敛的级数1()()nnnf xf yx称为称为广义傅里叶级数广义傅里叶级数，系数，系数fn(n=1,2,)叫作叫作f(x)的的广
47、义傅里叶系数广义傅里叶系数，函数族，函数族yn(x)叫作这个级数展开叫作这个级数展开的的基基。用用ym(x)(x)乘上述级数展开式并逐项积分，可乘上述级数展开式并逐项积分，可得：得：1()()()d()()()dbbmnnmaanfyfyy 记：记：22()()dbmmaNy 由于本征函数带权重的正交性质，上式右端除了由于本征函数带权重的正交性质，上式右端除了n=m项之外全为项之外全为0，因此有：，因此有：2()()()d()()dbbmmmaafyfy 上式积分的平方根上式积分的平方根Nm项叫作本征函数项叫作本征函数ym(x)的模。的模。21()()()dbmmamffyN 从而从而f(x)
48、的广义傅里叶系数的广义傅里叶系数 fm为为:如果本征函数的模如果本征函数的模Nm=1(m=1,2,)，就称为归一化，就称为归一化的本征函数。对于正交归一化的本征函数族，上的本征函数。对于正交归一化的本征函数族，上述广义傅里叶系数计算公式变为：述广义傅里叶系数计算公式变为：()()()dbmmaffy 对于非归一化的本征函数对于非归一化的本征函数yn(x)，只要改用，只要改用yn(x)/Nn，就实现了本征函数的归一化。，就实现了本征函数的归一化。2()()()dbmnmmnayx yxxxN为了方便，我们常将本征函数的正交关系写为为了方便，我们常将本征函数的正交关系写为:其中：其中：1 ()0
49、()mnnmnm称为称为克罗内克克罗内克函数函数，对于正交归一化的本征函数，对于正交归一化的本征函数族，上式简化为族，上式简化为()()()dbmnmnayx yxxx注：注：为了应用为了应用广义傅里叶系数计算公式广义傅里叶系数计算公式，必须先判，必须先判 定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能 计算本征函数族的模计算本征函数族的模。四、复数的本征函数族四、复数的本征函数族 以上的讨论假定了本征函数是实变数的实值函以上的讨论假定了本征函数是实变数的实值函数数。但本征函数也可以是实变数的复值函数，例如但本征函数也可以是实变数的复值函数，例如本征值方程本征
50、值方程0 自然周期条件自然周期条件的本征函数族通常是实函数族：的本征函数族通常是实函数族：1,cos,cos2,cos3,sin,sin2,sin3,这些实函数族也完全可以由如下复函数族代替这些实函数族也完全可以由如下复函数族代替i3i2iii2i3,1,eeeeee对于复数本征函数族，为了保证模是实数，通常将对于复数本征函数族，为了保证模是实数，通常将模定义修改为模定义修改为2()()()dbmmmaNyxyxxx其中其中ym(x)*为为ym(x)的复数共轭，正交关系也相应地的复数共轭，正交关系也相应地变为变为()()()d0bmnayxyxxx两式统一起来，即两式统一起来，即2()()()
