1、 中值定理及其应用中值定理及其应用2.3.12.3.1 中值定理中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理四、小结思考题四、小结思考题1一、罗尔(Rolle)定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(f)1()2(
2、)3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf2点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释:变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC3证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由此
3、得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()(fxf,0)()(fxf4,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有5注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy,)0(2,
4、2的一切条件的一切条件满足罗尔定理满足罗尔定理不存在外不存在外上除上除在在f .0)(2-2 xf使使内找不到一点能内找不到一点能，但在区间但在区间;0,01,0(,1 xxxy.1,0,xxy又例如又例如,6例例1 1.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满
5、足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根7二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).(
6、)()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成8ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ABAB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba9作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至
7、少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.10,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定
8、理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf11例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx12例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)
9、(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即13三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()
10、()(FfaFbFafbf 成立成立.14几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba15,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在
11、一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf16例例4 4).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(
12、2)(fff 即即17四、小结四、小结RolleRolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理CauchyCauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.18思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.19思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续
13、的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.20一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _.2 2、设设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，方 程方 程0)(xf有有_个根，它们分别在区间个根，它们分别在区间_上上.3 3、罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、微分中值定理
14、精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系.5 5、如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数.练练 习习 题题21二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间.三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1,0(x.四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnn
15、nn .五、五、证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、baba arctanarctan；2 2、时时当当1 x，exex .22六六、设函数、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数，且且)0()0()0()1(nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ，（，（10 ）.七七、设、设)(xf在在 ba,内上连续，在内上连续，在(ba,)内可导，若内可导，若 ba 0,则在则在(ba,)内存在一内存在一 点点，使，使 )()()()(baffabfbaf .23一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,
16、3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形,加加)()(bfaf 即可；即可；4 4、增量、增量,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零.练习题答案练习题答案242.3.2 2.3.2 洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 三、小结三、小结25洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把这种极限称为常把这种极限称为在通在通可能存在、也可能不存可能
17、存在、也可能不存极限极限大，那末大，那末都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与时，两个函数时，两个函数或或如果当如果当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(26.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一
18、定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.27证证定义辅助函数定义辅助函数,0),()(1 axaxxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()(Ff )(之间之间与与在在ax,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 28
19、.,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x使用洛必达法则，即使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续定理的条件，可以继续满足满足型，且型，且仍属仍属如果如果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,也有相应的洛必达法则也有相应的洛必达法则时的未定式时的未定式当当 xax29例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 x
20、xxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(30例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式.1)00()(axbxxcoscoslim0 31例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2
21、.3)(32注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 33型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),
22、00()(型型 0.1步骤步骤:,10 .0100 或或34例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步骤步骤:35步骤步骤:型型00,1,0.3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 36例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111l
23、im1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式37例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件38三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00
24、型型 gfgf1 fgfggf1111 取对数取对数令令gfy 39思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.40思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg)(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在41一、一、填空题：填空题：1 1、洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00”，及”，及“”两种”两种类型
25、的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题.2 2、xxx)1ln(lim0=_.=_.3 3、xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题42二、二、用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ；2 2、xxxarctan)11ln(lim；3 3、xxx2cotlim0；4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim；6 6、xxxtan0)1(lim；7 7、xxx)arctan2(lim .43
26、三、三、讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当,在在处处点点0 x的连续性的连续性.44一、一、1 1、00,0,1,0 ；2 2、1 1；3 3、1.1.二、二、1 1、81；2 2、1 1；3 3、21；4 4、21；5 5、1 1；6 6、1 1；7 7、2e.三、连续三、连续.练习题答案练习题答案45 2.3.3 2.3.3 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理 一、问题的提出一、问题的提出 二、二、PnPn和和RnRn的确定的确定 三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理 四、简单应用四、简单应用 五、小结五、小结 思考题思考题46一、问题的提出1
27、.1.设设)(xf在在0 x处连续处连续,则有则有2.2.设设)(xf在在0 x处可导处可导,则有则有例如例如,当当x很小时很小时,xex 1,xx )1ln()()(0 xfxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf)()()(000 xxxfxfxf 47xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 48不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误差误差 )()()(xPxfxR 可估计可估计1 1、精确度不高；、精确度不高；2 2、误差不能估计、误差不能估计.设函数设函数)(xf在含有在含有0 x的开区
28、间的开区间),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶导数阶导数,)(xP为多项式函数为多项式函数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 49二、二、nP和和nR的确定的确定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.2.若有相同的切线若有相同的切线3.3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x50假设假设 nkxfxPkkn,2,1)()(0)(0)(),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxf
29、xxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn 51三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶的导数阶的导数,则则当当x在在),(ba内时内时,)(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一个的一个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和:)(
30、)(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0 x与与x之间之间).52证明证明:由假设由假设,)(xRn在在),(ba内具有直到内具有直到)1(n阶阶导数导数,且且两函数两函数)(xRn及及10)(nxx在以在以0 x及及x为端点的为端点的区间上满足柯西中值定理的条件区间上满足柯西中值定理的条件,得得)()(1()(01011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnn
31、n53如此下去如此下去,经过经过)1(n次后次后,得得 两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 为端点为端点的区间上满足柯西中值定理的条件的区间上满足柯西中值定理的条件,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn (之间之间与与在在nx 0,也在也在0 x与与x之间之间)()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 54 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 次近似多项式次近似多项式 nknk
32、kxRxxkxfxf000)()()(!)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 阶泰勒公式阶泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则则由由上上式式得得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 55拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及
33、.)()(0nnxxoxR 即即56注意注意:1.1.当当0 n时时,泰勒公式变成拉氏中值公式泰勒公式变成拉氏中值公式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x,在在0与与x之间之间,令令)10(x 则余项则余项 1)1()!1()()(nnnxnxfxR 57)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式58四、简单的应用例例 1 1 求求xexf)(的
34、的n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式.解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe59由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估计误差估计误差)0(x设设!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR60 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22
35、642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 61例例 2 2 计算计算 403cos2lim2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 62xy xysin 播放播放五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;63思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒
36、公式求极限30)1(sinlimxxxxexx 64思思考考题题解解答答)(!3!21332xoxxxex )(!3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(!3!2limxxoxxx .31 65一、一、当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)(的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 .二、二、求函数求函数xxexf)(的的n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式.三、三、验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010
37、.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01.四、四、应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差.五、五、利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx .练练 习习 题题66一、一、)1()1()1(112nxxxx )1,0()1(1)1()1(211 nnnxx.二、二、)!1(!232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn.三、三、645.1 e.四、四、5331088.1,10724.330 R.五、五、1
38、 1、121.2.2、21.练习题答案练习题答案67xy xysin 五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;68xy xysin!33xxy o五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;69xy xysin!33xxy o!5!353xxxy 五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用;70 xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o五、小结1 1.T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似
39、计算中的应用;71么么么么方面 Sds绝对是假的 2.4.1 2.4.1 一一 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 一、单调性的判别法一、单调性的判别法 二、单调区间求法二、单调区间求法 三、小结三、小结 思考题思考题73一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy
40、abBA74证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 75例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意:函数的单调性是一个区间上的
41、性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又76二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点
42、方法方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 77例例2 2解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上上单单调调增增加加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,
43、278例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 79例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).
44、1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在80三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.81思考题思考题 若若0)0(f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调
45、调递递增增？82思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0,00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)(xxxxxf83 )212(1kx当当 时，时，0)212(41)(kxf kx21当当 时，时，01)(xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.07584一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _
46、._.2 2、函数函数212xxy 在区间在区间-1,1-1,1上单调上单调_，在在_上单调减上单调减.3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_，单减区间为单减区间为_._.二二、确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、xxxy6941023 ；2 2、32)(2(xaaxy (0 a)；3 3、xxy2sin .练练 习习 题题85三、三、证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、当当4 x时，时，22xx；3 3、若若0 x，则，则361sinxxx .四、四、方程方程)0(ln aaxx有几个实根有
47、几个实根.五、五、设设)(xf在在 ba,上连续，在上连续，在(ba,)内内)(xf ,试证试证 明：对于明：对于 ba,上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1）0)(xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)(xf，利用泰勒公式利用泰勒公式 86一、一、1 1、),3,1,(单调增加单调增加,3,1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加,),1,1,(3 3、1,(,),1；1,0(,1,(;1,0(),0,1 .二、二、1 1、在、在),1,21,0(),0,(内单调减少内单调减少,在在1,21上单调增加；上单调增加；
48、2 2、在、在),32,(aa内单调增加内单调增加,在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题答案练习题答案87 3 3、在、在32,2 kk上单调增加上单调增加,在在22,32 kk上单调减少上单调减少,),2,1,0(k.四、四、(1)(1)ea1 时没有实根；时没有实根；(2)(2)ea10 时有两个实根；时有两个实根；(3)(3)ea1 时只有时只有ex 一个实根一个实根.88 二二 函数极值及其求法函数极值及其求法 一、函数极值的定义一、函数极值的定义 二、函数极值的求法二、函数极值的求法 三、小结三、小结 思考题思考题89一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5
49、x6xoxyoxy0 x0 x90.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极
50、小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.91二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且且在在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x92(1)(1)如果如果),(00
