1、2.3变量的相关性变量的相关性1.理解变量与变量之间的函数关系与相关关系.2.会通过现实问题中两个相关变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.3.了解用最小二乘法求回归直线方程的思想,在所给数据较简单的情况下,能用最小二乘法求回归直线方程.1.两个变量的关系【做一做1】下列关系不属于相关关系的是()A.产品的样本数量与生产数量B.正方形的周长与面积C.家庭的支出与收入D.人的年龄与体重答案:B2.散点图与线性相关(1)散点图:将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,n)描在平面直角坐标系中得到的图形.(2)正相关与负相关:正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量
2、的值也由小变大,这种相关称为正相关.负相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.【做一做2】下列图形中的两个变量具有相关关系的是()答案:C 答案答案:11.69 1.函数关系与相关关系的区别和联系剖析:两种关系之间的区别:函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.两种关系之间的联系:两类关系在一定条件下可以相互转化,如正方形面积S与其边长x之间虽然是确定性关系,但在每次测量面积时,由于测量误差等原因,其数值大小表现为一种随机性.而对于具有线性相关关系的两个变量来说,在求得其回归直线之后,又可以用一种确定性的关系来对这两种变量间的
3、关系进行估计.2.散点图的重要作用剖析:散点图对于探究两种事物、两种现象之间的关系起着重要的作用.它是用平面直角坐标系上点的分布情况来表示两种事物之间的相关性,例如:为研究小学生的身高与体重之间的关系,研究人员分别以每个学生的身高、体重为横、纵坐标,在平面直角坐标系内画出相应的点,这些点便组成了相关的散点图.从这个散点图中可以直观地反映学生的身高与体重对应的观测值之间是否存在相关性,至于是什么样的相关关系,就要看研究的角度.温馨提示求回归直线方程,首先应画出描述两个变量之间关系的散点图,然后再判断散点图中两个变量之间的关系是否呈线性相关,这样求出的回归直线方程就有意义,否则,求出的回归直线方程
4、毫无意义.3.教材中的“思考与讨论”课本P75图2-10和图2-11中画出直线的标准合理吗?怎样判别拟合的优劣程度呢?剖析:将线性相关的数据画成散点图,图中的数据点大致分布在一条直线的附近,根据不同的标准可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系,其中最贴近已知数据点的直线叫做最优拟合直线.因此,教材两图画出直线的标准不合理.判断拟合的优劣程度就是判断找出的这条直线“是否最贴近”已知的数据点.题型一题型二题型三题型四相关关系的判断【例1】下列两个变量之间的关系为相关关系的是()A.角度和它的正弦值B.圆的半径和圆的面积C.正n边形的边数和内角之和D.一定时间段内的人的年龄和身高解析:角与它的
5、正弦值是函数关系;圆的半径r与面积S=r2是函数关系;正n边形的边数与内角之和h(n)=(n-2)180是函数关系;而一定时间段内的人的年龄和身高则具有相关关系.答案:D题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列两个变量之间的关系属于相关关系的是()A.底面积为常数时,棱柱的体积和高B.单位圆中圆心角的度数和它所对的弧长C.单产为常数时,土地面积和总产量D.日照时间与水稻的产量解析:选项A,B,C均是可以列出具体关系式的函数关系,只有选项D是具有不是非常确定的相关关系.答案:D题型一题型二题型三题型四利用回归直线对总体进行估计【例2】炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的
6、长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉熔化完毕到出钢的时间)的一组数据,如下表所示:(1)作出散点图,你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?(2)求回归直线方程.(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟?题型一题型二题型三题型四分析:画出散点图,看两者是否具有相关关系,然后利用最小二乘法可求出回归直线方程.最后利用方程预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多长时间.解:(1)以x轴表示含碳量,y轴表示冶炼时间,可作散点图如图所示.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思最小二乘法是求回归直线方程的常用方法,
7、可以通过本题的解答体会最小二乘法的优越性.为了便于计算,通常将有关数据列成表格,然后借助于计算器算出各个量.题型一题型二题型三题型四(2)将x=10代入回归直线方程,得y=0.810-0.05=7.95.所以预测加工10个零件需要7.95 h.【变式训练2】某车间为了规定工时定额,需要确定加工某零件所花费的时间,为此做了四次实验,得到的数据如下:(1)求出y关于x的回归直线方程;(2)试预测加工10个零件需要多少时间?题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四1下列关于线性回归的说法正确的是()变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系;在平面直角坐标系中用描点的方法得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图;线性回归直线方程最能代表观察值x,y之间的线性相关关系;任何一组观察值都能得到具有代表意义的回归直线方程.A.B.C.D.答案：A2已知x,y之间的一组数据如下:A.(2,2)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(1.5,4)答案：D 答案：C 4某超市“五一”过后统计了最近6个月某种鲜牛奶的进价x与售价y(单位:元)的对应数据,如下表:5测得10对父子身高如下(单位:英寸)(1英寸2.54厘米):(1)求回归直线方程;(2)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.
