1、第三章函第三章函 数数安徽中考考点过关安徽中考考点过关第一节平面直角坐标系与函数第一节平面直角坐标系与函数目录目录（安徽（安徽中考中考）考点考点 考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征 考点2 平面直角坐标系中点的平移与对称 考点3 函数方法方法 命题角度1 平面直角坐标系中点的坐标特征 命题角度2 平面直角坐标系中图形变换的特征 命题角度3 实际问题中函数图象的分析与判断 命题角度4 分析动点位置判断函数图象考点考点 考点考点1平面直角坐标系中点的坐标特征平面直角坐标系中点的坐标特征1 1.各象限内点的坐标特征各象限内点的坐标特征点P(x,y)在第一象限内x0,y0 点P(x,y)在第二象限内
2、x0点P(x,y)在第三象限内x0,y0,y0 考点考点1平面直角坐标系中点的坐标特征平面直角坐标系中点的坐标特征 2.2.坐标轴上点的坐标特征坐标轴上点的坐标特征(1)点P(x,y)在x轴上y=0;(2)点P(x,y)在y轴上x=0;(3)点P(x,y)在原点处x=0,y=0.3 3.各象限角平分线上点的坐标特征各象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限角平分线上;(2)点P(x,y)在第二、四象限角平分线上.x=yx=-y考点考点1平面直角坐标系中点的坐标特征平面直角坐标系中点的坐标特征4.点到坐标轴的距离及两点间的距离点到坐标轴的距离及两点间的距离(1)点P(x,y)
3、到x轴的距离为,到y轴的距离为;(2)平行于x轴的直线l上两点P1(x1,y),P2(x2,y)之间的距离为;(3)平行于y轴的直线l上两点P3(x,y1),P4(x,y2)之间的距离为.拓展:平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离是|y|x|x1-x2|y1-y2|考点考点2平面直角坐标系中点的平移与对称平面直角坐标系中点的平移与对称用坐标表示平移 用坐标表示对称点P(x,y)关于x轴的对称点的坐标为;点P(x,y)关于y轴的对称点的坐标为;点P(x,y)关于原点的对称点的坐标为.(x,-y)(-x,y)(-x,-y)考点考点3函数函数1 1.函数的有关概念及表
4、示方法函数的有关概念及表示方法(1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量是常量,可以变化的量是变量.(2)函数:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x,y,如果对于x,在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.(3)函数值:对于一个函数,如果当自变量x=a时,因变量y=b,那么b叫做自变量的值为a时的函数值.考点考点3函数函数(4)表示方法表示方法定义优点缺点列表法通过列出自变量的值与其对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.一目了然,由表格中已有自变量的每一个值,可直接查出与它对应的函数值.列出的对应值是有限的,而且表格无
5、法直观地表示出自变量与函数的变化规律.考点考点3函数函数表示方法定义优点缺点解析法用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.其中的等式叫做函数表达式(或函数解析式).能准确地反映这个变化过程中自变量与函数的对应关系.求对应的函数值时,往往要经过比较复杂的计算,而且有些函数无法用解析法表示出来.图象法用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质.常常难以找到自变量的值所对应函数的准确值.考点考点3函数函数2 2.自变量的取值范围自变量的取值范围类型特点举例取值范围整式型等号右边是整式.y=2x2+3x-1全体实数分式型等号右边的分式的分母中含有自
6、变量.y=使分母不为0的实数二次根式型等号右边是开二次方的式子.y=使根号下的式子的值大于或等于0的实数零次幂或负整数次幂型等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂.y=x0,y=x-2+1使底数不为0的实数综合型包含至少2种及以上类型.y=使各部分都有意义的实数的公共部分注:在实际问题中,自变量的取值要使实际问题有意义.考点考点3函数函数3 3.函数图象的概念及函数图象的画法函数图象的概念及函数图象的画法函数图象的概念一般地,对于一个函数,若把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,则这些点所组成的图形,就是这个函数的图象.画法(1)列表;(2)描点;(
7、3)连线.方法方法 命题角度命题角度1平面直角坐标系中点的坐标特征平面直角坐标系中点的坐标特征例12020江苏扬州在平面直角坐标系中,点P(x2+2,-3)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【思路分析】根据点P的横坐标与纵坐标的正负,判断点P的位置即可.D命题角度命题角度2平面直角坐标系中图形变换的特征平面直角坐标系中图形变换的特征例22019浙江嘉兴如图,在平面直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形OABC关于y轴的对称图形OABC(点C的对应点为C),再作图形OABC关于点O的中心对称图形OABC(点C的对应点为C),则点C的坐
8、标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)【思路分析】先根据关于y轴对称的两点的坐标特征确定点C的坐标,再根据关于坐标原点对称的两点的坐标特征即可得到点C的坐标.A命题角度命题角度3实际问题中函数图象的分析与判断实际问题中函数图象的分析与判断例32019内蒙古赤峰如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变),能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间对应关系的大致图象是()【思路分析】根据容器的形状:下宽上窄,且上半部分粗细均匀,即可得到高度h随时间t的变化情况.D1.明确“两轴”所表示的意义.2.找特殊点,即交点或转折点,图象在此点
9、处将发生变化.3.判断图象趋势:向上倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而增大;与x轴平行的直线表示函数值随自变量的增大保持不变;向下倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而减小.4.看图象是否与坐标轴相交:若相交,则表示此时自变量或因变量中有一个量为0.实际问题中函数图象的分析与判断实际问题中函数图象的分析与判断命题角度命题角度3提分技法提分技法判断符合实际情境的函数图象的一般步骤判断符合实际情境的函数图象的一般步骤命题角度命题角度3实际问题中函数图象的分析与判断实际问题中函数图象的分析与判断例42020四川攀枝花甲、乙两地之间是一条直路,在全民健身活动中,赵明阳跑步从甲地去乙地,
10、王浩月骑自行车从乙地去甲地,两人同时出发,王浩月先到达目的地,两人之间的距离s(km)与运动时间t(h)的函数关系图象如图所示,下列说法中错误的是 ()A.两人出发1 h后相遇B.赵明阳跑步的速度为8 km/hC.王浩月到达目的地时两人相距10 kmD.王浩月比赵明阳提前1.5 h到达目的地C【思路分析】先根据题图,明确点(0,24),(1,0),(3,24)所代表的实际意义,由此可确定赵明阳及王浩月的速度,据此分析即可.例52018安徽,10如图,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为点M,N,MN=1,正方形ABCD的边长为,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处.将正方形ABCD沿l向
11、右平移,直到点A与点N重合为止,记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为()分析动点位置判断函数图象分析动点位置判断函数图象命题角度命题角度4【思路分析】根据正方形平移过程中,位于l1,l2之间的图形的特征,求出以下三种情况时y与x之间的函数关系式:0 x1;1x0k0b0b0时,向上平移个单位长度;当b0(或kx+b0)的解集.一次函数与方程组直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的交点坐标是方程组 的解.两直线相交 直线y=k1x+b1与y=k2x+b2组成的方程组 无解.两直线平行 直线y=k1x+b1与y=k2x+b2组成的
12、方程组 有无数组解.两直线重合 k1k2k1=k2,b1b2k1=k2,b1=b2考点考点4一次函数的应用一次函数的应用常见类型(1)简单应用:一般只涉及一个简单表达式的实际问题,如根据表达式求变量的值或最大(小)值等.(2)分段函数问题:函数关系随自变量取值范围的变化而不同,如阶梯收费问题(水费、电费、出租车收费等)、促销问题、计算机程序等.(3)双函数问题:问题情境涉及两个相关表达式,如方案选择、相遇问题等.一般步骤(1)根据题意,设定问题中的变量;(2)建立函数模型;(3)确定自变量的取值范围;(4)结合方程或不等式(组)、函数的性质等解决实际问题.方法方法 命题角度命题角度1一次函数的
13、图象与性质一次函数的图象与性质例12019山东临沂 下列关于一次函数y=kx+b(k0)的说法,错误的是()A.图象经过第一、二、四象限B.y随x的增大而减小C.图象与y轴交于点(0,b)D.当x 时,y0D【思路分析】根据k,b的取值范围,结合一次函数的图象与性质判断即可.1.k的符号决定函数的增减性:当k0时,y随x的增大而增大;当k0时,交点在y轴的正半轴上;当b=0时,交点在原点;当b0时,交点在y轴的负半轴上.一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质命题角度命题角度1提分技法提分技法一次函数一次函数y=kx+b(k0)中中k,b的符号对函数性质的影响的符号对函数性质的影响命题角度命题
14、角度2一次函数与一次方程一次函数与一次方程(组组)、一次不等式、一次不等式(组组)的关系的关系例22019湖南娄底如图,直线y=x+b和y=kx+2与x轴分别交于点A(-2,0),点B(3,0),则 的解集为()A.x3C.x3D.-2x0时和kx+20时的x的取值范围,从而可得到不等式组的解集.D命题角度命题角度3一次函数的实际应用一次函数的实际应用例32019山东济宁小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:(1)小王和小李的速
15、度分别是多少?(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.【思路分析】(1)由题图可知,出发时小王和小李相距30 km,1 h后两人相遇,故可求得小王和小李的速度之和,由x轴表示小王的行驶时间,可知小王用了3 h到达乙地,从而可求得小王的速度,进一步计算即可得到小李的速度;(2)由题意知点C表示的意义是小李到达甲地.求得小李到达甲地时x的值及此时小王与小李之间的距离,即可得到点C的坐标,根据点B,C的坐标,利用待定系数法即可求得线段BC所表示的y与x之间的函数关系式.命题角度命题角度3一次函数的实际应用一次函数的实际应用(1)由题图可知由题图可知,小王用了小王用了
16、3 h骑完全程骑完全程,故他的速度为故他的速度为303=10(km/h).由题图可知由题图可知,小王和小李小王和小李1 h后相遇后相遇,设小李的速度为设小李的速度为a km/h,则有则有1(10+a)=30,故故a=20.答答:小王和小李的速度分别是小王和小李的速度分别是10 km/h,20 km/h.(2)点点C表示的意义是小李到达甲地表示的意义是小李到达甲地.小李到达甲地用时为小李到达甲地用时为3020=1.5(h),此时两人相距此时两人相距(10+20)(1.5-1)=15(km),C(1.5,15).设线段设线段BC的解析式为的解析式为y=kx+b(1x1.5),则则 解得解得故线段故
17、线段BC的解析式为的解析式为y=30 x-30,自变量自变量x的取值范围是的取值范围是1x1.5.，15bk5.10bk，30-b30k1.找特殊点,即起点、终点或转折点;2.根据函数图象的特征判定函数的类型,利用待定系数法求相应的解析式;3.结合实际,求点的坐标或相应的最值等.一次函数的实际应用一次函数的实际应用命题角度命题角度3提分技法提分技法解决分段函数问题的一般思路解决分段函数问题的一般思路例42020山东滨州如图,在平面直角坐标系中,直线y=x-1与直线y=-2x+2相交于点P,并分别与x轴相交于点A,B.(1)求交点P的坐标;(2)求PAB的面积;(3)请把图象中直线y=-2x+2
18、在直线y=x-1上方的部分描黑加粗,并写出此时自变量x的取值范围.一次函数的综合应用一次函数的综合应用命题角度命题角度421-21-【思路分析】(1)联立两直线的解析式,解之即得点P的坐标.(2)先求出点A,B的坐标,再利用点P的坐标和三角形面积公式即可求得PAB的面积.(3)根据所给函数图象即可得到x的取值范围.一次函数的综合应用一次函数的综合应用命题角度命题角度4第三章函第三章函 数数安徽中考考点过关安徽中考考点过关第三节反比例函数及其应用第三节反比例函数及其应用目录目录（安徽（安徽中考中考）考点考点 考点1 反比例函数的概念 考点2 反比例函数的图象与性质 考点3 反比例函数中|k|的几
19、何意义 考点4 反比例函数的应用方法方法 命题角度1 反比例函数表达式的确定 命题角度2 利用反比例函数的性质比较大小 命题角度3 反比例函数中|k|的几何意义 命题角度4 反比例函数与一次函数的综合 命题角度5 反比例函数的应用考点考点 考点考点1反比例函数的概念反比例函数的概念1.一般地,形如y=(k0,k为常数)的函数称为反比例函数,其中自变量x的取值范围是x0.2.确定反比例函数的解析式,实质上就是确定比例系数k的值,找出双曲线上任意一点P(x,y),利用xy=k,即可求出双曲线的解析式.xk考点考点2反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质解析式y=(k0)k的范围k0k0(或x
20、0).减小减小增大增大考点考点3反比例函数中反比例函数中|k|的几何意义的几何意义1.如图,P是反比例函数y=(k0)的图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点M,N,则矩形PMON的面积为.xk2.常见图形的面积 S阴影=|k|S阴影=S阴影=|k|2k|k|考点考点4反比例函数的应用反比例函数的应用1.1.反比例函数与一次函数的综合运用反比例函数与一次函数的综合运用(1)根据点的坐标确定函数解析式;(2)根据图象比较两函数值的大小;(3)求三角形或四边形的面积;(4)由几何图形面积确定点的坐标或函数的解析式.考点考点4反比例函数的应用反比例函数的应用2.2.反比例函数的实际应
21、用反比例函数的实际应用(1)数学学科中的应用面积一定的三角形(或四边形),底边长与底边上高的关系或耕地面积一定,人均耕地面积与人口数之间的关系等.考查知识点:根据关系确定图象(注意自变量取值范围)、根据图象确定函数解析式或已知图象中某点的横(纵)坐标求纵(横)坐标等.(2)跨学科的应用在物理与化学学科中有很多涉及反比例函数关系的公式,如p=,I=以及=等.考查知识点:运用待定系数法求函数解析式;已知一个变量,根据解析式(或图象)求另一变量;根据解析式确定函数图象(自变量的取值一般大于0).方法方法 命题角度命题角度1反比例函数表达式的确定反比例函数表达式的确定例12020贵州黔西南州如图,在菱
22、形ABOC中,AB=2,A=60,菱形的一个顶点C在反比例函数y=(k0)的图象上,则反比例函数的解析式为()【思路分析】先求出点C的坐标,再利用待定系数法求解.xkB命题角度命题角度2利用反比例函数的性质比较大小利用反比例函数的性质比较大小例22020天津若点A(x1,-5),B(x2,2),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1x2x3B.x2x3x1C.x1x3x2D.x3x10)的图象上,过点A作ABx轴,垂足为点B,交反比例函数y2=(x0)的图象于点C.P为y轴上一点,连接PA,PC,则APC的面积为()A.5 B.6 C.11 D.1
23、2【思路分析】连接OA,OC,将求APC的面积转化为求AOC的面积,再利用反比例函数中|k|的几何意义及SAOC=SOAB-SOBC求解即可.B此类问题一般是反比例函数图象与几何图形(常见的是三角形或四边形)相结合,且几何图形的部分顶点在函数图象上.遇到此类问题可以直接利用|k|的几何意义进行求解,同时还要注意转化思想在解题中的运用.若图形为不规则图形,则可将其割补成规则图形,再求各部分面积之和(差).反比例函数中反比例函数中|k|的几何意义的几何意义命题角度命题角度3提分技法提分技法计算与双曲线上的点有关的图形的面积的一般思路计算与双曲线上的点有关的图形的面积的一般思路命题角度命题角度4反比
24、例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数的综合例42020山东淄博如图,在直角坐标系中,直线y1=ax+b与双曲线y2=(k0)分别相交于第二、四象限内的A(m,4),B(6,n)两点,与x轴相交于点C.已知OC=3,tanACO=.(1)求y1,y2对应的函数表达式;(2)求AOB的面积;(3)直接写出当x 的解集.xk32xk【思路分析】(1)根据OC=3,tanACO=,可求得直线y1=ax+b与y轴的交点坐标,然后利用待定系数法求出y1对应的函数表达式,再求出点A的坐标,进而确定y2对应的函数表达式;(2)利用(1)中结论求出点B的坐标,再根据SAOB=SAOC+SBOC进行计算即可
25、;(3)当x0a0大致图象 开口方向向上向下顶点坐标(,)对称轴直线x=增减性当x 时,y随x的增大而.当x 时,y随x的增大而 .最值当x=时,y有最小值,为 .当x=时,y有最大值,为 .1 1.二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质a2b-a2b-a2b-a2b-a2b-a2b-a2b-a4b-ac42a2b-减小减小增大增大增大增大减小减小a4b-ac42a4b-ac42考点考点2二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质2.2.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与系数与系数a,b,ca,b,c的关系的关系a决定抛物线的开口方向和大小.a0,抛物线开口;a0,抛物线
26、与y轴交于正半轴;c0,抛物线与x轴有2个交点;b2-4ac=0,抛物线与x轴有1个交点;b2-4ac0(a0)的解集二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分对应自变量的取值范围;ax2+bx+c0(a0)的解集二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方部分对应自变量的取值范围.方法方法 命题角度命题角度1二次函数图象的顶点、对称轴二次函数图象的顶点、对称轴例12020江苏淮安二次函数y=-x2-2x+3的图象的顶点坐标为.1.公式法:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点坐标是 ,对称轴是直线x=.2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x-h)2+k的形式,得
27、到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x1,m),(x2,m),则对称轴为直线x=,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标.求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3 3种方法种方法提分技法提分技法(-1,4)命题角度命题角度2二次函数图象的顶点、对称轴二次函数图象的顶点、对称轴例22019浙江温州已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-
28、1D.有最大值7,有最小值-2D命题角度命题角度2二次函数图象的顶点、对称轴二次函数图象的顶点、对称轴1.如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在图象的顶点处取得最大值或最小值,即当x=时,y最值=.2.如果自变量的取值范围是x1xx2(x10时,y最小=.y的最大值要看 与 的大小:当前者大时,y最大=y1;当后者大时,y最大=y2.当a0时,y最大=.y的最小值要看 与 的大小:当前者大时,y最小=y1;当后者大时,y最小=y2.求二次函数求二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的最值的方法的最值的方法提分技法提分技法命题角度命题角度3二次函数的图象与系数二次
29、函数的图象与系数a,b,c的关系的关系2020山东滨州对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)如图所示,小明同学得出了以下结论：abc4ac,4a+2b+c0,3a+c0,a+bm(am+b)(m为任意实数),当x0;开口向下a0;交于负半轴,则c0,则有最小值 ;若a0可求得x的取值范围.(2)利用二次函数的图象与性质即可得到y的最大值及此时x的值.命题角度命题角度1二次函数的实际应用二次函数的实际应用命题角度命题角度2二次函数与几何图形的综合应用二次函数与几何图形的综合应用例4如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC,点P是第一象限内抛物线上一动点,过点P作PDy轴,交直线BC于点D,过点P作PEBC,垂足为点E.(1)求二次函数的解析式.(2)当DE的长最大时,求点P的坐标.【思路分析】(1)利用待定系数法求解即可.(2)根据点B,C的坐标用待定系数法求得直线BC的解析式,设点P的横坐标为m,用含m的式子表示出点P,D的坐标,进而表示出PD的长.根据PD与DE的数量关系,可知DE长最大时,PD长也最大,结合PD关于m的解析式求解即可.命题角度命题角度2二次函数与几何图形的综合应用二次函数与几何图形的综合应用
